Chapitre 1 Groupes

Chapitre 1
Groupes
1.1 D´efinitions et exemples
1.1.1 Groupes :
Gensemble non vide muni d’une loi de composition interne not´ee ∗
g, g0∈G, g ∗g0est d´efini comme un ´el´ement de G
(G, ∗) est un groupe si et seulement si ∗est associative, poss`ede un ´el´ement neutre e, tout
´el´ement admet un sym´etrique.
Si de plus ∗est commutative, (G, ∗) est un groupe commutatif.
Si Gest un ensemble fini, card Gs’appelle l’ordre du groupe.
Remarque : l’´el´ement neutre est unique.
1.1.2 Morphisme :
(G, ∗),(G0,4) deux groupes, f:G→G0
fest un morphisme de groupe si et seulement si
∀(x, y)∈G,
f(x∗y) = f(x)4f(y)
Remarque : e´el´ement neutre de G, e0de G0
On a f(e) = e0
si on note x−1le sym´etrique de x
f(x−1) = f(x)−1
Proposition 1.1.1 : Si fest bijective et morphisme de groupe alors f−1est un mor-
phisme de G0sur G.
On dit alors que fest un isomorphisme de Gsur G0.
Remarque : f:G→Gisomorphisme, on dit que fest un automorphisme.
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1.2 Sous groupes
1.2.1 D´efinition-Propri´et´es
H⊂G, (H, ×) groupe pour la loi induite par celle de G.
Th´eor`eme 1.2.1 (G, ×)un groupe d’´el´ement neutre e.
Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
1)Hest un sous groupe de G
2)Hest stable, e∈Het ∀x∈H, x−1∈H
3)Hest stable, H6=φet ∀x∈H, x−1∈H
4)H6=φet ∀(x, y)∈H2, xy−1∈H
Remarque : Hsous groupe de G, K sous groupe de Halors Ksous groupe de G
Proposition 1.2.2 G, G0deux groupes f:G→G0morphisme
1) f(G)est un sous groupe de G0
2) si H0sous groupe de G0alors f−1(H0)est un sous groupe de G.
3) finjective ⇔f−1({e0}) = {e}.
On note Kerfcet ensemble.
Proposition 1.2.3 (G, +) un groupe, Het H0des sous groupes de Galors H∩H0est
un sous groupe.
Remarque : On peut g´en´eraliser `a une intersection quelconque de sous groupes.
H∪H0n’est pas un sous groupe en g´en´eral
Proposition 1.2.4 Tous les sous groupes de (Z,+) sont de la forme nZ, n ∈N
1.2.2 Sous groupe engendr´e
Gun groupe, A⊂G, existe-t-il un plus petit sous groupe de Gcontenant A?
C’est `a dire si A={sous groupe de Gcontenant A}, ordonn´e par ⊂,Aposs`ede-t-il un
plus petit ´el´ement ? \
H∈A
Hest un sous groupe.
A⊂Hpour tout H∈ A donc A⊂\
H∈A
Het c’est le plus petit ´el´ement de A
On l’appelle le sous groupe engendr´e par A. On le note [A]
Exemple : (G, ×) un groupe, a∈G, [a] = {an, n ∈Z}
D´efinition 1.2.5 ordre d’un ´el´ement
Th´eor`eme 1.2.6 Ggroupe fini, a∈G
L’ordre de adivise l’ordre de G.
Th´eor`eme 1.2.7 Soit(G, ×)groupe fini d’ordre n,
alors ∀a∈G, an=e
Remarque : notation additive [a] = {na, n ∈Z}.
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1.3 Groupe sym´etrique de {1, . . . , n}:Sn
1.3.1 Sn:
Proposition 1.3.1 Sn={bijections de {1, . . . , n}sur lui mˆeme}. On pose I={1, . . . , n}.
Sngroupe fini d’ordre n! Les ´el´ements de Sns’appellent des permutations.
Sngroupe fini d’ordre n!
notation : σ:1 2 . . . . . . n
σ(1) σ(2) σ(n)
exemple : σ=123
321
D´efinition 1.3.2 :t∈Snest une transposition s’il existe i, j dans Itq i6=j , t(i) = j ,
t(j) = i
et ∀k∈I\{i, j}, t(k) = k.
Proposition 1.3.3 tune transposition de Sn.
On a t◦t=IdI
t−1=t
D´efinition 1.3.4 1≤i1, i2, . . . , ir≤n, r ≥2
le cycle associ´e `a i1, . . . , irest la permutation γde Sntq
γ(i1) = i2, . . . , γ(ir−1) = ir, γ(ir) = i1
γ(k) = k si k ∈I\{i1, . . . , ir}
On note γ= (i1, . . . , ir)
r=longueur du cycle γ
Remarque : L’ordre d’un cycle de longueur ret r.
si γ= (i1, . . . , ir)
γ−1= (ir, ir−1, . . . , i1)
D´efinition 1.3.5 γ= (i1, . . . , ip)et γ0= (j1, . . . , jq)sont disjoints si et seulement si
{i1, . . . , ip}∩{j1, . . . , jq}=φ.
remarque : 2 cycles disjoints commutent.
1.3.2 Th´eor`eme de d´ecomposition :
Th´eor`eme 1.3.6 Toute permutation de Sn, n ≥2est un produit pour ◦de transpositions.
L’ensemble des transpositions de Snengendrent Sn.
1.3.3 Signature d’une permutation :
Th´eor`eme 1.3.7 Il existe un unique morphisme de (Sn,◦)dans le groupe multiplicatif
{1,−1}tq
1) (t) = −1pour toute transposition t.
2) si σ∈Snest produit de stranspositions alors (σ) = (−1)s.
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D´efinition 1.3.8 (σ) = signature de σ.
Remarque :
(IdI) = 1
(σ1σ2) = (σ1)(σ2)
(σ−1=(σ)
Calcul pratique d’une signature :
a) On d´ecompose σen produit de transpositions.
b) (σ) = Y
i<j
σ(j)−σ(i)
j−i
c) si γest un cycle de longueur r, (γ) = (−1)r+1
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Chapitre 2
Anneaux et Corps
2.1 Anneau :
2.1.1 D´efinitions :
Aensemble muni de 2 lois de composition interne not´ees par exemple + et ×.
(A, +,×) est un anneau si et seulement si
•(A, +) groupe commutatif
• • × associative
• • • × distributive par rapport `a +
• • • • × poss`ede un ´el´ement neutre not´e 1
L’anneau est commutatif si la multipication est commutative.
On a les r`egles de calculs suivantes :
1) 0x=x0 = 0
2) (−x)y=−(xy) o`u −x= sym´etrique de x
3) (−x)(−y) = xy
Dans un anneau, xy = 0 n’implique pas x= 0 ou y= 0.
D´efinition 2.1.1 a∈A , a est un diviseur de 0 si et seulement si a∈A\{0}et il
existe b∈A\{0}tq ab =ba = 0.
On pose A∗=A\{0}.
Aest un anneau int`egre si et seulement si A6={0}, A commutatif et An’admet pas de
diviseur de 0.
D´efinition 2.1.2 ´el´ement inversible d’un anneau A6={0}.
a∈A, a est inversible si et seulement si il existe b∈Atq ab =ba = 1, b est alors unique.
On le note a−1
Proposition 2.1.3 L’ensemble des ´el´ements inversibles de Aest un groupe multiplicatif.
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