© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Soit une application croissante telle que ℝ. Prouver que ℝ.
Déterminer les applications telles que :
.
Soit une application de dans vériant et telle que
2
On rappelle que Im et on note l’ensemble des points xes de , c’est-à-dire
Montrer que .
En déduire que .
Montrer que Im .
Montrer que pour tout ,.
En déduire que et en déduire .
Les applications suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives?
1 1;
2 2
2;
3+ 3
;
4 3;
5 3.
Soient un ensemble, et deux parties xées de , et l’application de dans
dénie par
Etude de l’injectivité de .
Calculer .
Calculer .
Prouver que est injective si et seulement si
Etude de la surjectivité de .
Le couple admet-il un antécédent par ?
Déterminer une condition nécessaire et susante sur et pour que soit
surjective.
Soit dénie par
si est pair
si est impair.
Etudier l’injectivité et la surjectivité de .
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Soit un ensemble non vide et et deux parties de .
Montrer que si , alors pour toute partie de
Soit l’application 2
.
Montrer que n’est pas surjective.
Montrer que est injective si et seulement si .
Soit une application injective, telle que , . Montrer que
,.
Soit . Pour tel que , on pose
.
Montrer que est dénie sur .
Soit tel que . Montrer que si et seulement si .
Montrer que induit une bijection de sur .
Soit une application. Montrer que est injective si et seulement si
pour tout couple 2.
Soient et deux applications d’un ensemble dans lui-même, telles que
et .
On suppose que est injective. Démontrer que et sont bijectives.
On suppose que est surjective. Démontrer que et sont bijectives.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct. est le point d’axe . On dénit
une application qui au point d’axe associe le point d’axe
.
Étudier l’injectivité et la surjectivité de .
Déterminer l’ensemble des points de invariants par .
Deux points et ′de sont dits associés s’ils ont la même image par
. Montrer que les points et ′, d’axes respectifs et ′, sont associés si et
seulement si ′ou ′.
On note l’axe réel privé du point . Déterminer l’ensemble .
Soient et les points d’axes et . Déterminer l’ensemble
−1.
Soit
𝑧−𝑧 est-elle injective? surjective?
Déterminer et .
Soit
𝑧−𝑧 est-elle injective? surjective?
Déterminer et .
Soit 2 ∗
𝑚 . Montrer que est bijective.
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Dans chacun des cas suivants, déterminer l’image de l’ensemble par la fonction :
et
.
et 2
.
et
.
et
3.
et
tan .
Soit .
Montrer que est injective si et seulement si pour toute partie de ,−1
.
Montrer que est surjective si et seulement si pour toute partie de ,−1
.
Soit 2. Déterminer les ensembles suivants :
;
;
;
−1;
−1;
−1;
−1;
−1;
−1−.
Soit l’application de ∗dans dénie par
.
est-elle injective ? surjective ?
On considère les ensembles et Re
.
Si on identie au plan, donner la nature géométrique de et , et donner
leurs équations cartésiennes.
Vérier que .
Montrer que induit une bijection de sur .
Soient . On dénit la diérence symétrique de et par :
Montrer que ,
1AΔB 1A1B2
Montrer que ,
Montrer que
Soient trois ensembles. On pose et .
Déterminer les fonctions indicatrices de et en fonction de celles de ,et .
En déduire à quelle condition nécessaire et susante (portant sur et ) les en-
sembles et sont égaux.
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Démontrer que
lim
𝑥→0
Soient des entiers positifs. Etudier
lim
𝑥→0 𝑚𝑚
𝑛
Démontrer que
lim
𝑥→0
2
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes
lim
𝑥→0 2
;
lim
𝑥→−∞ 2
;
lim
𝑥→2 2
2;
lim
𝑥→π
sin2
cos;
lim
𝑥→0 2
;
lim
𝑥→+∞ ;
lim
𝑥→0
3
2
2;
lim
𝑥→1
𝑛.
Soit une application dérivable de dans .
Si est paire ou impaire, que peut-on dire de la parité de ′, de (𝑛) pour ?
Si est périodique, que peut-on dire de la périodicité de ′, de (𝑛) pour ?
Etudier la dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions suivantes.
42
√𝑥2+𝑥+1
ln 2
ln cos
Déterminer deux réels et tels que ,
2
Calculer la dérivée -ième sur de la fonction
2
Soit . Pour tout , calculer la dérivée -ième de
𝑥cos(α) cossin
Tracer la courbe représentative de la fonction 3.
Sans calculs, tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
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On considère la fonction réelle dénie par ln
2et sa courbe représentative.
Montrer que le point est le seul point de la courbe où la tangente est parallèle à la
droite d’équation .
Montrer que l’équation ln admet une unique solutions sur ∗
+.
Montrer que la fonction dénie par
𝑥
induit une bijection de sur un ensemble à déterminer.
Soit la fonction dénie sur par
2.
est-elle injective ? surjective ?
Montrer que induit une bijection de sur un intervalle de à préciser.
Soit 2. Etudier la fonction , puis représenter graphiquement. On
précisera les tangentes remarquables ainsi que les asymptotes.
Etudier les fonctions suivantes. On précisera également leurs images.
𝑥
ln
2
sin
sin
Soient 2et 𝑓sa courbe représentative dans un repère ortho-
normé.
Donner l’ensemble de dénition de .
Calculer pour tout . En déduire sans justication une symétrie de
𝑓.
Justier que est dérivable sur . Calculer sa dérivée. En déduire les variations de
que l’on présentera dans un tableau de variations.
On précisera les limites de aux bornes de son ensemble de dénition
Montrer que 𝑓admet une asymptote oblique en dont on déterminera une
équation. En déduire sans calcul que 𝑓admet également une asymptote oblique
en dont on précisera une équation.
Préciser la position de 𝑓par rapport à ses asymptotes.
Tracer 𝑓. On fera gurer les asymptotes et les tangentes remarquables.
Soit ∗. Déterminer en fonction de le nombre de solutions de l’équation 𝑛ln
2.
Soit ∗
+. Déterminer le nombre de solutions réelles de l’équations 𝑥.
On considère la fonction réelle 2
Etudiez , déterminez ses éventuelles asymptotes, puis tracez la courbe 𝑓.
Prouvez que 𝑓possède un centre de symétrie.
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6
1
/
6
100%
