Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

Fonctions trigonométriques et
trigonométriques inverses 6
6.1 Rappel (fonctions trigonométriques)
Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites
élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont
indispensables à l’étude des phénomènes périodiques.
mesure d’angles
’
θ
figure 6.1.1
θ
’
figure 6.1.2
360°
figure 6.1.3
La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un
angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation
d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont
le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point
d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est
positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le
sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).
Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est
associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le
segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une
rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le
nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle-
même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il
est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radian
comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-
triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée des
fonctions exponentielles et logarithmiques.
définition 6.1.1
le radian
lorsque r = 1, la mesure
en radians de l’angle
AOB correspond à la
longueur de l’arc AB
On mesure un angle θ en radians en traçant
d’abord un cercle centré sur le sommet de
l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc
de cercle s qu’il sous-tend et le rayon r du
cercle. L’unité «radian» est habituellement
omise.
θ
s
rA
B
O
θ = s
r
A
θs
r
A
secteur angulaire
une révolution = longueur de l’arc
circonférence = aire du secteur aire du cercle
θ
2π = s 2πr = A
πr2
⇒ s = rθ et A = 1
2 r2θ

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-2
relation entre
degrés et radians Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ
= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de
θ = s
r = πr
r = π
Par conséquent 180° = π radians .
exemple 6.1.1
pour convertir des
degrés en radians, on
multiplie la mesure en
degrés par
π
180
Convertir 30° en radians.
____________
Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est la
quantité cherchée,
 180° = π
30° = θ ⇒θ = 30°× π
180° = π 6
exemple 6.1.2
pour convertir des
radians en degrés, on
multiplie la mesure en
radians par 180
π
Convertir π/4 radians en degrés
____________
Si θ est la quantité cherchée,
 180° = π
θ = π/4 ⇒θ = π/4× 180°
π = 45°
exemple 6.1.3
π /3
r = 6
s = ?
figure 6.1.4
Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.
____________
On a S = rθ (où θ est un angle en radians)
= 6(π/3)
= 2π (6,28)
définition 6.1.2
les six rapports
trigonométriques
(x, y)
θ
r
x
y
P
O
hypoténuse
côté adjacent
côté opposé
θ
Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une
distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.
sinus: sin θ = y
r ; cosécante: cosec θ = r y
cosinus: cos θ = x
r ; sécante: sec θ = r x
tangente: tg θ = y
x ; cotangente: cotg θ = x y
Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angle
aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six
rapports trigonométriques de la manière suivante.
sin θ = côté opposé
hypoténuse ; cosec θ = hypoténuse côté opposé
cos θ = côté adjacent
hypoténuse ; sec θ = hypoténuse côté adjacent
tg θ = côté opposé
côté adjacent ; cotg θ = côté adjacent côté opposé

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-3
les six fonctions
trigonométriques
Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles
fonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg),
sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grande-
ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.
le cercle
trigonométrique
On considère d’abord un cercle de rayon 1
centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on
nomme cercle trigonométrique. On trace un
angle de θ radians ayant pour sommet le point
(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe
positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en
un point (x, y). On appelle
r = 1
(0, 0)
θ
(cos θ, sin θ)
•sin θ la valeur de y, •cosec θ la valeur de 1/y,
•cos θ la valeur de x, •sec θ la valeur de 1/x,
•tg θ la valeur de y/x, •cotg θ la valeur de x/y.
exemple 6.1.4
π /2
(0, 1)
Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).
__________________________________
L’angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;
⇒sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ );sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ )
cos(π/2) = 0 ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ; cosec(π/2) = 1/1 = 1
exemple 6.1.5
θ
4
5
52 - 42 = 3
Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ
__________________________________
sin θ = côté opposé
hypoténuse = 4 5 , par la relation de Pythagore on a
côté adjacent = √
52 - 42 = 3
⇒cos θ = côté adjacent
hypoténuse = 3 5 ; sec θ = hypoténuse côté adjacent = 5 3
tg θ = côté opposé
côté adjacent = 4 3; cosec θ = hypoténuse côté opposé = 5 4
cotg θ = côté adjacent
côté opposé = 3 4
angles remarquables Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur
exacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3.
sin( π /6) = 1/2
cos( π /6) = √ 3/2
sin( π /4) = √ 2/2
cos( π /4) = √ 2/2
sin( π /3) = √ 3/2
cos( π /3) = 1/2
1/2
1
π/6
π/3
(3/2,1/2)
3/2
1
π/4
π/4
(2/2, 2/2)
2/2
2/2
1
π/3
π/6
(1/2, 3/2)
3/2
1/2

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-4
exemple 6.1.6 Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,
cosec(π/6).
____________
L’angle de π/6 est associé au couple
(x, y) = (√ 3/2, 1/2) ;
⇒sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) = √ 3/2
cotg(π/6) , sec(π/6) et
π/6
(3/2, 1/2)
tg(π/6) = 1/2
√ 3/2 = 1
√ 3 = 1 √ 3 √ 3 √ 3 = √ 3
3
cotg(π/6) = √ 3/2
1/2 = √ 3
sec(π/6) = 1
√ 3/2 = 2 √ 3 = 2 √ 3 √ 3 √ 3 = 2√ 3
3
cosec(π/6) = 2
1 = 2
II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur
le cercle trigonométrique.
π (180°) →(−1, 0) 0 (0°) →(1, 0)
3π/2 (270°)
→ (0, -1)
π/3 (60°) → (1/2, 3/2)
π/4 (45°)
→ (2/2, 2/2)
π/6 (30°)
→ (3/2, 1/2)
11π/6 (330°)
→ (3/2, -1/2)
7π/4 (315°)
→ (2/2, - 2/2)
5π/3 (300°)
→ (1/2, - 3/2)
4π/3 (240°)
→ (-1/2, - 3/2)
5π/4 (225°)
→ (- 2/2, - 2/2)
7π/6 (210°)
→ (- 3/2, -1/2)
5π/6 (150°)
→ (- 3/2, 1/2)
3π/4 (135°) → (- 2/2, 2/2)
2π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)
(+,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
π/2 (90°) →(0, 1)

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-5
identités
trigonométriques
une fonction ƒ(x) est
périodique de période
p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x)
pour toute valeur de x
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
(k est un nombre entier)
1. sin(θ ± 2kπ)= sin θ
2. cos(θ ± 2kπ)= cos θ
(cos θ, -sin θ)
(cos
θ, sin θ)
θ
−θ
La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinus
est une fonction paire.
3. sin(-θ)= -sin θ
4. cos(-θ)= cos θ
Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires et
celles permettant les translations horizontales.
5. sin θ= cos
()
π
2 - θ = cos ()
θ - π
2
6. cos θ= sin()
π
2 - θ = sin()
θ + π
2
Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.
7. sec θ= 1
cos
θ10. tg θ= sin θ cos θ
8. cosec
θ= 1
sin θ11. cotg θ= cos
θ
sin θ
9. tg θ= 1
cotg θ
cos θ
r = 1
θ
(cos θ, sin θ)
sin θ
En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a
12. sin2 θ + cos2 θ = 1
Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θ on obtient
l’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 par
sin2 θ on obtient l’identité 14,
13. tg2 θ + 1 = sec2 θ
14. 1 + cotg2 θ = cosec2 θ
mais attention!
sin( θ
1+
θ
2)
≠ sin θ
1 + sin
θ
2
sin( θ
1 -
θ
2)
≠ sin θ
1 - sin
θ
2
cos( θ
1+
θ
2)
≠ cos θ
1 + cos
θ
2
cos( θ
1 -
θ
2)
≠ cos θ
1 - cos
θ
2
Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:
15. sin(θ1+θ2)= sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1
16. sin(θ1–θ2)= sin θ1 cos θ2 – sin θ2 cos θ1
17. cos(θ1+θ2)= cos θ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2
18. cos(θ1–θ2)= cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2