Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

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Fonctions trigonométriques et
trigonométriques inverses
6
6.1 Rappel (fonctions trigonométriques)
Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites
élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont
indispensables à l’étude des phénomènes périodiques.
mesure d’angles
’
La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un
angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation
d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont
le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point
θ
d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est
positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles
figure 6.1.1 d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le
sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).
’
θ
Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est
associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le
figure 6.1.2 segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une
rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le
nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur ellemême en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il
est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radian
360°
comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonométriques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée des
figure 6.1.3
fonctions exponentielles et logarithmiques.
définition 6.1.1 On mesure un angle θ en radians en traçant
le radian d’abord un cercle centré sur le sommet de
lorsque r = 1, la mesure l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc
en radians de l’angle de cercle s qu’il sous-tend et le rayon r du
AOB correspond à la cercle. L’unité «radian» est habituellement
longueur de l’arc AB omise.
secteur angulaire
une révolution
θ AA
r
s
θ
2π
⇒
s = rθ
=
longueur de l’arc
circonférence
=
s
2πr
et
B
O
1
s
A
θ=
aire du secteur
= aire du cercle
=
A = 2 r2θ
θ
r
A
πr 2
s
r
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
relation entre
degrés et radians
Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ
= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de
s
πr
θ = r =
r = π
Par conséquent
180° = π radians .
exemple 6.1.1 Convertir 30° en radians.
____________
pour convertir des
degrés en radians, on
multiplie la mesure en
π
degrés par
180
Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est la
quantité cherchée,
 180° = π
30°× π
π
⇒
θ = 180° = 6

 30° = θ
exemple 6.1.2 Convertir π/4 radians en degrés
____________
pour convertir des
radians en degrés, on
multiplie la mesure en
180
radians par
π
Si θ est la quantité cherchée,
 180° = π

 θ = π/4
⇒
θ =
π/4× 180°
= 45°
π
exemple 6.1.3 Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.
____________
π/3
s=?
On a S = rθ (où θ est un angle en radians)
= 6(π/3)
= 2π (6,28)
figure 6.1.4
r=6
définition 6.1.2 Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une
les six rapports distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.
trigonométriques
sinus:
tangente:
;
cosécante:
;
sécante:
;
cotangente:
r
cosec θ = y
r
sec θ = x
x
cotg θ = y
nu
té
po
hy
θ
côté adjacent
André Lévesque
côté opposé
Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angle
aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six
rapports trigonométriques de la manière suivante.
se
O
cosinus:
P (x, y)
r
y
θ
x
y
sin θ = r
x
cos θ = r
y
tg θ = x
côté opposé
sin θ = hypoténuse
côté adjacent
cos θ = hypoténuse
côté opposé
tg θ = côté adjacent
;
;
;
6-2
hypoténuse
cosec θ = côté opposé
hypoténuse
sec θ = côté adjacent
côté adjacent
cotg θ = côté opposé
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
les six fonctions
trigonométriques
le cercle
trigonométrique
Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles
fonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg),
sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grandement simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.
On considère d’abord un cercle de rayon 1
centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on
nomme cercle trigonométrique. On trace un
angle de θ radians ayant pour sommet le point
(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe
positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en
un point (x, y). On appelle
• sin θ la valeur de y,
• cos θ la valeur de x,
• tg θ la valeur de y/x,
r=
1
(cos θ, sin θ)
θ
(0, 0)
• cosec θ la valeur de 1/y,
• sec θ la valeur de 1/x,
• cotg θ la valeur de x/y.
exemple 6.1.4 Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).
__________________________________
(0, 1)
L’angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;
π/2
⇒ sin(π/2) = 1
cos(π/2) = 0
;
;
tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ )
;
cotg(π/2) = 0/1 = 0 ;
sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ )
cosec(π/2) = 1/1 = 1
exemple 6.1.5 Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ
__________________________________
côté opposé 4
sin θ = hypoténuse = 5 , par la relation de Pythagore on a
côté adjacent =
5
4
θ
52 - 42 = 3
52 - 4 2

√
= 3
côté adjacent
3
hypoténuse
5
; sec θ = côté adjacent = 3
⇒ cos θ = hypoténuse = 5
côté opposé
4
tg θ = côté adjacent = 3
hypoténuse
5
; cosec θ = côté opposé = 4
côté adjacent 3
cotg θ = côté opposé = 4
Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur
exacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3.
(1/2, 3/2)
sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) = √
 3/2
( 3/2,1/2)
André Lévesque
1
1
1
π/3
sin(π/4) = 
√ 2/2
cos(π/4) = √
 2/2
sin(π/3) = 
√ 3/2
cos(π/3) = 1/2
π/4
( 2/2, 2/2)
π/6
angles remarquables
3/2
2/2
1/2
π/6
3/2
π/4
π/3
2/2
6-3
1/2
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
exemple 6.1.6 Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,
cosec(π/6).
____________
cotg(π/6) , sec(π/6) et
( 3/2, 1/2)
L’angle de π/6 est associé au couple
(x, y) = (√
 3/2, 1/2) ;
⇒
π/6
sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) = √
 3/2
tg(π/6) =
1/2
1
1 √ 3
3
=
=
= √
3
 3/2
√
√ 3
√ 3 √
3
3/2
cotg(π/6) = √1/2 = √ 3
2
2 √ 3
2 3
1
=
=
= √
3
3
3
3
3/2

√
√ √


√
2
cosec(π/6) = 1 = 2
sec(π/6) =
II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur
le cercle trigonométrique.
π/2 (90°) → (0, 1)
π/3 (60°) → (1/2, 3/2)
2π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)
π/4 (45°) → ( 2/2, 2/2)
3π/4 (135°) → (- 2/2, 2/2)
5π/6 (150°) → (- 3/2, 1/2)
π/6 (30°) → ( 3/2, 1/2)
(-,+)
(+,+)
π (180°) → (−1, 0)
0 (0°) → (1, 0)
(-,-)
(+,-)
11π/6 (330°) → ( 3/2, -1/2)
7π/6 (210°) → (- 3/2, -1/2)
7π/4 (315°) → ( 2/2, - 2/2)
5π/4 (225°) → (- 2/2, - 2/2)
5π/3 (300°) → (1/2, - 3/2)
4π/3 (240°) → (-1/2, - 3/2)
3π/2 (270°) → (0, -1)
André Lévesque
6-4
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
identités
trigonométriques
une fonction ƒ(x) est
périodique de période
p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x)
pour toute valeur de x
(cos θ, sin θ)
θ
−θ
(cos θ, -sin θ)
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
1.
2.
sin( θ ± 2kπ) = sin θ
cos(θ ± 2kπ) = cosθ
(k est un nombre entier)
La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinus
est une fonction paire.
3.
4.
sin(- θ) = -sin θ
cos(-θ) = cosθ
Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires et
celles permettant les translations horizontales.
5.
6.
π
π
2
( ) = cos(θ - )
cos θ = sin( - θ) = sin(θ + )
sin θ = cos 2 - θ
π
2
π
2
Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.
sin θ
cos θ
cos θ
11. cotg θ =
sin θ
1
cos θ
1
8. cosecθ =
sin θ
1
tg θ =
9.
cotg θ
7.
r=
1
(cos θ, sin θ)
θ
cos θ
sin θ
sec θ =
10.
tg θ =
En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a
12. sin2 θ + cos2 θ = 1
Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θ on obtient
l’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 par
sin2 θ on obtient l’identité 14,
13. tg2 θ + 1 = sec2 θ
14. 1 + cotg2 θ = cosec2 θ
Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:
mais attention!
sin(θ1+θ2) ≠ sinθ1 + sinθ2
sin(θ1 -θ2) ≠ sinθ1 - sinθ2
cos( θ1+θ2) ≠ cosθ1 + cosθ2
cos( θ1 -θ2) ≠ cosθ1 - cosθ2
15. sin( θ1+θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1
16. sin( θ1–θ2) = sin θ1 cos θ2 – sin θ2 cos θ1
17. cos(θ1+θ2) = cosθ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2
18. cos(θ1–θ2) = cosθ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
André Lévesque
6-5
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur le
sinus et le cosinus d’angles doubles.
19. sin 2θ = 2 sinθ cos θ
20. cos 2θ = cos 2 θ - sin2 θ
En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient
1 - cos 2θ
2
1 + cos 2θ
22. cos2 θ =
2
21. sin2 θ =
résolution d’équations On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigonotrigonométriques métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.
exemple 6.1.7 Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x ∈ [0, 2π[ .
____________
on s’assure d’abord que les
arguments des fonctions
trigonométriques sont les
mêmes puis, si c’est
possible, on transforme tout
en sinus ou en cosinus
sin 2x
2 sin x cos x
2 sin x cos x - sinx
(sin x)(2 cos x - 1)
⇒
=
=
=
=
sin x
sin x
0
0
sin x = 0
ou
(identité 19)
cos x = 21
Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a
sin x = 0
cos x = 21
⇒
⇒
 x → (1, 0) ⇒

 x → (-1, 0) ⇒



x=π
x → (1/2, √ 3/2) ⇒
x → (1/2, -√ 3/2) ⇒
Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont
André Lévesque
x=0
6-6
x = 3π
x = 5π
3
{ 0 ,π3 , π , 5π3 } .
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
exemple 6.1.8 Résoudre l’équation sin2 x - cos2 x + sin x = 0 pour x ∈ [0, 2π[ .
____________
sin2 x - cos2 x + sin x = 0
sin2 x - (1 - sin2 x) + sin x = 0 (identité 12)
sin2 x - 1 + sin2 x + sin x = 0
2 sin2 x + sin x - 1 = 0
(2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0
⇒
1
sin x = 2
ou
sin x = -1
Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a
sin x = 1 ⇒
2
sin x = -1 ⇒



⇒
x=6
x → (-√ 3/2, 1/2)
⇒
x= 6
x → (0, -1)
⇒
x= 2
Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont
exemple 6.1.9 Résoudre l’équation
____________
π
x → (√
 3/2, 1/2)
5π
3π
{ 6π ,3π2 ,5π6 } .
cos2 x = sin2 x pour x ∈ [0, 2π[ .
il n’est pas toujours
nécessaire de tout
exprimer en sinus ou en
cosinus
rép:
André Lévesque
6-7
{ 4π , 3π4 , 5π4 , 7π4 }
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
graphiques
des fonctions
trigonométriques
y
y
1
1
la fonction sinus est une
fonction impaire de
période 2π
−3π/2 −π
−π/2
π/2
π
3π/2
la fonction cosinus est
une fonction paire de
période 2π
x
−3π/2 −π −π/2
π/2
−1
π
3π/2
x
−1
ƒ(x) = sin x
ƒ(x) = cos x
dom sin: R
ima sin: [-1, 1]
dom cos: R
ima cos: [-1, 1]
y
y
la fonction tangente est
une fonction impaire de
période π
la fonction cotangente
est une fonction impaire
de période π
−3π/2 −π
−π/2
π/2
π
3π/2
x
−3π/2 −π
ƒ(x) = tg x
ima tg: R
André Lévesque
3π/2
x
ima cotg: R
y
1
1
−3π/2 −π
π
dom cotg: R \ { 0 , ±π , ±2π ...}
y
la fonction cosécante est
une fonction impaire de
période 2π
π/2
ƒ(x) = cotg x
dom tg: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}
la fonction sécante est
une fonction paire de
période 2π
−π/2
−π/2
π/2
π
3π/2
x
−1
−3π/2 −π
−π/2
π/2
π
3π/2
x
−1
ƒ(x) = sec x
ƒ(x) = cosec x
dom sec: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}
ima sec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
dom cosec: R \ { 0 , ±π , ±2π …}
ima cosec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
6-8
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
L’importance des fonctions trigonométriques tient au fait qu’une
grande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques.
Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Le
courant électrique, le champ électromagnétique produit par un microonde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore la
température sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’à
penser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique.
Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ont
un point en commun leur périodicité. Il a été démontré que
« tout phénomène périodique quel qu’il soit peut être
représenté comme une combinaison algébrique de
fonctions sinus ou cosinus ».
Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus et
cosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phénomène à caractère périodique.
caractérisques du
graphique du sinus
lorsqu’on multiplie
l’argument par une
quantité supérieure à 1
ou inférieure à -1, la
courbe se contracte
y
1
y = sin x
B > 1 ou B < -1
−3π/2
−π
y = sin(2x)
1
Si l’on multiplie l’argument de
sin x par une quantité
−π/2
la période de cette fonction
diminue; elle devient
π/2
π
3π/2
x
−1
2π
B
y
2
y = sin x
lorsqu’on multiplie
l’argument par une
fraction, la courbe
s’allonge
-1 < B < 1
−3π/2
−π
y = sin(x/2)
1
Si l’on multiplie l’argument de
sin x par une quantité
−π/2
la période de cette fonction
augmente; elle devient
π/2
π
3π/2
x
−1
2π
B
y
3
y = sin x
l’amplitude correspond
à la moitié de la
différence entre le
maximum et le minimum
de la fonction
Si l’on multiplie sin x par une
quantité
A≠0
l’amplitude de cette fonction
devient |A|.
−3π/2
−π
2
1
−π/2
π/2
−1
−2
André Lévesque
6-9
y = 2 sin x
π
3π/2
x
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
4
le déplacement
horizontal (vers la droite
ou vers la gauche) de la
courbe du sinus
détermine le déphasage
de cette courbe
Si on soustrait une quantité C
positive à l’argument du sinus,
le graphique subit une translation horizontale de C unités vers
la droite tandis que si on
soustrait une quantité C négative
à l’argument du sinus le graphique subit une translation
horizontale de C unités vers la
gauche.
y
y = sin x
−3π/2
−π
1
−π/2
−1
y
5
Si on ajoute une quantité D
positive à la fonction sin x, le
graphique subit une translation
verticale de D unités vers le
haut tandis que si on ajoute une
quantité D négative à la
fonction sin x, le graphique
subit une translation verticale
de D unités vers le bas.
π/2
π
3π/2
x
y = sin(x+π /2)
2
y = sin x + 1
1
−3π/2
−π
−π/2
π/2
−1
π
3π/2
x
y = sin x
−2
y
En résumé
y = A sin B (x - C) + D
D + |A|
en physique, tous les
ƒ(x) = A sin B(x - C) + D
mouvements vibratoires
simples, telles les ondes correspond à une fonction
électromagnétiques et les sinusoïdale
cordes vibrantes, peuvent
2π
la période est
être représentés par des
|B|
sinusoïdes; on les utilise
l’amplitude est |A|
aussi pour représenter les
mouvements oscillatoires
le déphasage est C
d’un pendule ou d’un
ressort déplacement vertical de
D
exemple 6.1.10
D
C + 2π x
|B|
C
D - |A|
(C > 0 et D > 0)
Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x.
____________________
y
période:
2π
2π
=
|3|
3
2
amplitude: |2| = 2
π/3
déphasage: aucun
−2
déplacement vert.: aucun
André Lévesque
6-10
2π/3
x
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
exemple 6.1.11
Tracer le graphique de ƒ(x) = 31 sin x - π2 .
( )
____________________
période:
amplitude:
déphasage:
déplacement vert.:
exemple 6.1.12
Tracer le graphique de ƒ(x) = cos(4x + π) + 1 .
____________________
période:
les mêmes
considérations
s’appliquent à la
fonction cosinus
exemple 6.1.13
amplitude:
déphasage:
déplacement vert.:
Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit la
courbe ci-dessous.
____________________
y
période:
3
amplitude:
π
déphasage:
déplacement vert.:
−3
équation:
André Lévesque
6-11
2π
x
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
L’exemple qui suit nous montre comment on peut utiliser la fonction
sinus comme modèle pour approximer un phénomène concret.
À partir de données expérimentales recueillies entre 1941 et 1970 sur
la température moyenne de l’air (en degrés Fahrenheit) à Fairbanks en
Alaska,
70
Tempé rature (°F)
60
50
40
30
20
10
-10
-20
la variable x représente le
nombre de jours écoulés
depuis le début de l’année
ainsi le 31 janvier la
température moyenne à
Fairbanks en Alaska est
37 sin
[
]
2π
(31 - 101)
365
+ 25
jan
fév
mars
mai
avril
juillet
juin
sept
nov
jan
mars
fév
août
oct
déc
avril
on a utilisé la fonction
2π
ƒ(x) = 37 sin  365 (x - 101) + 25


pour approximer le phénomène étudié.
= -9,6 °F
André Lévesque
6-12
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
Exercices 6.1
1. Convertir en radians la mesure d’angle donnée.
a)
b)
c)
135°
15°
-150°
d)
e)
f)
-240°
540°
1°
2. Evaluer si possible sans l’aide de votre calculatrice.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
sin(π/3)
cos(3π/2)
tg(5π/6)
sin(4π/3)
sec(5π/4)
tg(3π/4)
cosec(π/3)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
tg(π/2)
cotg π
cotg(π/2)
sec(5π/2)
cosec π
cosec(-π/4)
sin(-2π/3)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
sec(-3π/4)
cotg(-5π/4)
cosec(7π/6)
cotg(-2π/3)
sin (5π)
sin(-3π)
tg(5π/4)
3. Soit un triangle rectangle en C. Les angles A, B et C sont
opposés respectivement aux côtés a, b et c. Trouver
a) c si a = 3 et b = 4,
b) b si a = 1 et c = 3,
c) sin A , cos B , tg A , sec B
si a = 6 et b = 8,
d) sin A , sin B , cotg A , cosec B si a = 2 et b = 2,
e) a et b si c = 1 et A = π/6.
v)
w)
x)
y)
z)
tg(3π/2)
cotg(5π)
sec(9π/4)
cosec(23π/6)
tg(-25π/4)
B
c
A
b
a
C
4. A l’aide des identités trigonométriques montrer que
a)
cos4 x - sin4 x = 1 - 2sin2 x
d)
(cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x
b)
sec θ - cos θ = sin θ . tg θ
1
1
2
1 + sin u + 1 - sin u = 2 sec u
e)
cos 2x . cos x + sin 2x . sin x = cos x
f)
sec(π - x) = -sec x
c)
5. Résoudre pour x ∈ [0, 2π[ .
a)
b)
2 sin x - 1 = 0
sin x cos x = 0
f)
g)
sin2 x - cos2 x + 3 sin x = 1
sin 2x + sin x = 0
c)
sin2 x + sin x - 2 = 0
3
4 cos x = cos x
2 cos2 x + sin x = 1
h)
tg x = 2 sin x
i)
2 cos2 x = sin 2x
j)
sin2 x - 3 cos2 x = 0
d)
e)
André Lévesque
6-13
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
6. Tracer le graphique des fonctions suivantes sur une période.
a)
y = sin 4 x
1
c)
b)
y = 4 sin(3x + 2π)
d)
( π)
y = 3 sin(13 x + π5)
1
y = 4 cos 2x - 2
7. Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit les courbes suivantes.
a)
d)
y
y
2
5
2π
x
−5
4π/3
b)
x
e)
y
y
1
1/2
3π/4
π/3
x
−1
−1/2
c)
y
2
π/4
5π/4
x
−−2
André Lévesque
6-14
x
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
Réponses aux exercices 6.1
1. a)
b)
c)
3π/4
π/12
-5π/6
2. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
√ 3/2

0
-√
 3/3
-√
 3/2
-√
2
-1
2√
 3/3
3. a)
5
5. a)
b)
c)
d)
e)
{ π/6 , 5π/6 }
{ 0 , π , π/2 , 3π/2 }
{ π/2 }
{ π/6 , 5π/6 , 7π/6 , 11π/6 }
{ π/2 , 7π/6 , 11π/6 }
h)
∃/
i)
/
∃
j)
0
k)
∃/
l)
∃/
m) -√ 2
n) -√
 3/2
d)
e)
f)
-4π/3
3π
π/180
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
-√
2
-1
-2
 3/3
√
0
0
1
h)
i)
j)
c)
y
y
1
1/4
4π
8π
π/4
x
−1
5π/4
x
27π/5
x
d)
y
y
4
−2π/3
−π/3
3
−3π/5
x
y = 5 sin(x - π)
d)
( )
y = 2sin(2x - π2)
e)
y = sin 43 x
André Lévesque
12π/5
−3
−4
c)
3π/4
−1/4
b)
b)
1 √
3
e) 2 , 2
{ π/6 , 5π/6 }
g) { 0 , π , 2π/3 , 4π/3 }
{ 0 , π/3 , π , 5π/3 }
{ π/4 , π/2 , 5π/4 , 3π/2 }
{ π/3 , 2π/3, 4π/3, 5π/3 }
f)
6. a)
7. a)
2 √
2
d) √2 , 2 , 1 , √
2
c) 3 , 3 , 3 , 5
5 5 4 3
b) 2√
2
v) ∃/
w) ∃/
x) √
2
y) -2
z) -1
y = sin 32 x - 2π + 1
y = 21 sin(3x - π)
(
6-15
)
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
6.2 Limites et continuité (fonctions trigonométriques)
_
proposition 6.2.1 Si lim ƒ(x) = b ( a ∈R et b ∈R )
x→ a
alors a) lim sin ƒ(x) = sin lim ƒ(x) = sin b,
x→ a

x→ a
b) lim cos ƒ(x) = cos lim ƒ(x) = cos b.
x→ a

x→ a
exemple 6.2.1
prop. 6.2.1 et prop. 1.2.3
_
Évaluer chacune des limites si elles existent dans R .
____________
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
lim sin x = sin lim x = sin 0 = 0,
x→ 0 
x→ 0
lim cos x
x→ 0
lim cos(x + π)
x→ 0
(
)
1
cos2 x
lim
x→ 3π/4 2
lim sec(3r)
r→ -π
lim
x→ π/2+
lim
u→ π +
tg x
cosec u
(1)
lim sec x
x→ - ∞
lim
θ→ 0
1 - cos θ
√

rép: b) 1 ; c) -1 ; d)
André Lévesque
1
4
; e) -1 ; f)
6-16
-∞
; g) -∞ ; h) 1 ; i) 0
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
les formes
sin(±∞) et cos(± ∞ )
_
( a ∈R )
Si lim ƒ(x) = ∞ ou lim ƒ(x) = -∞
x→ a
x→ a
lim sin ƒ(x) ∃/
alors
lim cos ƒ(x) ∃/ .
et
x→ a
x→ a
Dans chacun des cas les fonctions ne s’approchent d’aucune valeur
précise, ils oscillent indéfiniment entre -1 et 1.
_
exemple 6.2.2 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R .
____________
cos( ∞) ne s’approche
d’aucune valeur précise
a)
b)
cos x = cos lim x  = cos ∞ ∃/ ,
x→ ∞ 
lim
x→ ∞
 sin x
lim
x→ - ∞  x 
rép: b) 0
Pour obtenir la dérivée de y = sin x ou de y = cos x nous aurons à
utiliser les deux limites suivantes:
lim sin x
x
lim cos x - 1
x
et
x→ 0
x→ 0
Penchons-nous d’abord sur le premier problème.
lim
x→ 0
sin x
0
x = 0 IND.
Pour lever l’indétermination, on doit transformer l’expression. Il n’est
pas possible présentement de procéder de cette façon étant donné la
on doit s’assurer que la
calculatrice est en mode nature de la fonction. Contentons-nous seulement d’estimer la limite
radian en question en utilisant une calculatrice.
En examinant les tableaux du bas,
x
sin x
x
x
sin x
x
André Lévesque
1
0,5
0,1
0,84147 0,95885 0,99833
-1
-0,5
-0,1
0,84147 0,95885 0,99833
6-17
0,05
0,001
0,99958 0,99999
-0,05
-0,001
0,99958 0,99999
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
on obtient
lim sin x
x
x→ 0
sin x
lim
= 1
x→ 0+ x
sin x
lim
x = 1
x→ 0




⇒
sin x
lim x = 1
x→ 0
Si le tableau avait été complété en mode degré, on aurait obtenu une
valeur limite de 0,01745... On verra à la section 3 que les dérivées des
fonctions trigonométriques ont une forme beaucoup plus simple
lorsque la limite précédente vaut 1 plutôt que 0,01745... Pour cette
raison, le radian sera préféré au degré comme mesure d’angle dans le
calcul différentiel.
_
sin x
exemple 6.2.3 Sachant que lim
=
1
évaluer
dans
R
x→ 0 x
sin2x
lim
2 .
x→ 0 4x
____________
2
lim sin x
x→ 0 4x2
1
sin x sin x
= 4  lim x . x 
 x→ 0

1
sin x
sin x
= 4  lim x   lim x 
 x→ 0
  x→ 0

1
1
= 4 (1) (1) = 4
_
sin θ
exemple 6.2.4 Sachant que lim
= 1 évaluer dans R
θ→ 0 θ
3sin θ - 5θ
lim
θ→ 0 2θ + sin θ
____________
3sin θ - 5θ
lim
=
θ→ 0 2θ + sin θ
sin θ
3 θ - 5 

lim 
θ→ 0  2 + sin θ 

θ 
rép: -
André Lévesque
6-18
2
3
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
_
sin x
exemple 6.2.5 Sachant que lim x = 1 évaluer dans R
x→ 0
lim cos x - 1
x
x→ 0
____________
on multiplie le
cos x - 1 . (cos x + 1)
lim cos x - 1
numérateur et le
= lim
x
x
(cos x + 1)
x→ 0
x→ 0
dénominateur par le
conjugué de (cos x - 1)
sin 2x + cos 2x = 1 ⇒
cos2x - 1 = -sin2x
cos2x - 1
= lim x (cos x + 1)
x→ 0
-sin2x
= lim x (cos x + 1)
x→ 0
sin x
-sin x
= lim  x   cos x + 1
x→ 0 


la limite d’un produit est
égale au produit des
limites si chacune des
limites existe
lim
x→ 0
[ ]=1
sin x
x
sin x
-sin x
= lim  x  . lim  cos x + 1
x→ 0 
x
→
0



=
=
0
1 . 2
0
_
sin x
exemple 6.2.6 Sachant que lim x = 1 évaluer dans R
x→ 0
x sin x
lim
.
x→ 0 1 - cos x
____________
rép: 2
André Lévesque
6-19
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
proposition 6.2.2 Si g(x) est continue sur l’intervalle ouvert I alors la fonction
sin x et cos x sont deux
a) ƒ(x) = sin g(x) est continue sur I,
fonctions continues sur R
b) ƒ(x) = cos g(x) est continue sur I.
exemple 6.2.7
Étudier la continuité de ƒ(x) = cos√
1 - x sur ]0, 2π[.
____________
continue sur ] -∞, 1[
(forme irrationnelle)
678
ƒ(x) = cos 1 - x
14444244443
la fonction ƒ(x) est donc
continue sur ]-∞, 1[
(prop. 6.2.2)
La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.
exemple 6.2.8 Étudier la continuité de ƒ(x) = tg x sur ]0, 2π[.
____________
la fonction sinus est continue sur R
(prop. 6.2.2)
678
ƒ(x) = tan x =
sin x
cos x
123
la fonction cosinus est
continue sur R (prop. 6.2.2)
14444444244444443
la fonction ƒ(x) est donc continue surR
(l'intersection des deux réponses du haut)
sauf pour les valeurs qui annulent le
dénominateur c'est-à-dire sauf pour
{ ±π/2, ±3π/2, ... } (prop.2.2.3)
La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.
1
exemple 6.2.9 Étudier la continuité de ƒ(x) =
sin x - cos x
____________
sur ]0, 2π[.
rép: la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[
(elle présente deux discontinuités une en x = π/4 et une en x = 5π/4)
André Lévesque
6-20
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
exemple 6.2.10 Étudier la continuité de ƒ(x) = √
2 sin x + 3 sur ]0, 2π[.
____________
rép: la fonction est continue sur ]0, 2π[
André Lévesque
6-21
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
Exercices 6.2
_
1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R.
a)
lim (3x + 2) cos πx
x→ 1
n)
cos x - 2
lim  1 - cos x


x→ 0
b)
lim sec 2x
x→ π/3
o)
lim
x→ 0
3 sin x
4x
c)
lim sin2 x 8- π
x→ -π
p)
lim
x→ 0
tg2 x
x2
d)
lim (tg x - sec x)
x→ π
q)
lim
x→ 0
sin 2x
x
e)
lim cosec2 x
x→ 0
r)
cos2 x - 1
lim  x sin x 

x→ 0 
f)
lim
sec x
x→ π/2-
s)
x - sin x
lim 
x

x→ 0 
g)
lim cotg x
x→ π-
t)
x - sin x
lim 
x

x→ ∞ 
h)
lim cosec x
x→ π+
u)
x + tg x
lim  sin x 

x→ 0 
i)
lim cotg 1x
x→ ∞
()
v)
sin x

lim  2
x→ 0  x + 3x
j)
lim
x→ ∞
k)
x
lim sin x
x→ ∞
x)
sin2 x
lim  1 - cos x

x→ 0 
l)
sin x
lim
x→ - ∞ x
y)
lim
x→ 0
(1 + cos x) sin2 x
3x2
m) lim √
sin x - 1
x→ π/2
z)
lim
(cosec x - cotg x)
( )
André Lévesque
(1x + sin x)
cos x - 1
w) lim  5x sin x 

x→ 0 
x→ 0
6-22
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.
a)
ƒ(x) = x + sin x
d)
cotg x
h(x) = 1 + 2 sin x
b)
g(x) =
1 - cos x
sin x
e)
ƒ(x) = √
cos x

c)
ƒ(x) = sec x + tg x
f)
1 - sin x

ƒ(x) = √
cos x + 2
André Lévesque
6-23
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
Réponses aux exercices 6.2
1. a)
b)
c)
d)
-5
-2
1/2
1
n)
o)
p)
q)
-∞
3/4
1
2
e)
r)
-1
s)
0
t)
1
u)
2
i)
∞
∞
-∞
-∞
∞
v)
1/3
j)
∃/
w) -1/10
k)
l)
∃/
0
x)
y)
2
2/3
m)
∃/
z)
0
f)
g)
h)
2. a) la fonction est continue sur ]0, 2π[.
b) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π).
c) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π/2 et x = 3π/2).
d) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π , x = 7π/6 et x = 11π/6).
e) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est continue sur ]0, π/2[ ∪ ]3π/2, 2π[ ).
f) la fonction est continue sur ]0, 2π[.
André Lévesque
6-24
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
6.3 Dérivée (fonctions trigonométriques)
proposition 6.3.1
par définition
sin(x + ∆x) =
sin x cos ∆x + sin ∆x cos
x
d
dx sin x = cos x
d
sin(x + ∆x) - sin x
lim
dx sin x = ∆x
∆x
→0
0
= 0 IND.
(sin x cos ∆x + sin ∆x cos x) - sin x
= lim
∆x
∆x→ 0
(sin x cos ∆x - sin x) + sin ∆x cos x
= lim
∆x
∆x→ 0
= lim
∆x→ 0
la limite d’une somme est
égale à la somme des
limites et la limite d’un
produit est égale au
produit des limites
* les deux limites ont été
évaluées à la section
précédente
sin x (cos ∆x - 1) + sin ∆x cos x
∆x
= lim  sin x 

∆x→ 0 
cos ∆x - 1
sin ∆x
+  ∆x  cos x 
∆x




cos ∆x - 1
sin ∆x
= lim sin x . lim 
+ lim  ∆x  . lim cos x
∆x
 ∆x→ 0
 ∆x→ 0
∆x→ 0
∆x→ 0
= sin x . (0)* + (1)* . cos x
= cos x
ƒ(x) = sin x
La dérivée de la fonction
sinus en x = c correspond à
l’image de la fonction
cosinus en x = c.
-3π/2
-π
-π/2
π
3π/2
-
Si ƒ(x) = sin x alors
ƒ’(-π) = cos(-π) = -1,
ƒ’(-π/2) = cos(-π/2) = 0,
ƒ’(0) = cos 0 = 1,
ƒ’(π) = cos π = -1, etc.
ƒ'(x) = cos x
-3π/2
André Lévesque
π/2
6-25
-π
-π/2
π/2
π
3π/2
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
proposition 6.3.2
d
dx cos x = -sin x
démonstration
d
sin x
exemple 6.3.1 Trouver dx  1 - cos x .


____________
toutes les formules de
dérivation déjà vues
s’appliquent ainsi que
les deux nouvelles
règles:
d
sin x = cos x
dx
d
cos x = -sin x
dx
cos x
678
d
d
sin x - sin x dx (1 - cos x)
d  sin x  (1 - cos x) dx
=
dx  1 - cos x
(1 - cos x)2
=
(1 - cos x) cos x - sin x sin x
(1 - cos x)2
=
cos x - cos2 x - sin2 x
(1 - cos x)2
=
cos x - 1
(1 - cos x)2
=
- (1 - cos x)
(1 - cos x)2
-1
= (1 - cos x)
André Lévesque
sin x
64748
ou
6-26
1
cos x - 1
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
proposition 6.3.3
démonstration
d
2
dx tg x = sec x
d
dx tg x
d sin x
= dx  cos x


cos x
678
=
sin 2 x + cos2 x = 1
-sin x
678
d
d
cos x . dx sin x - sin x . dx cos x
cos2 x
cos2 x + sin2 x
cos2 x
1
=
ou sec2 x
cos2 x
=
1
= sec x
cos x
proposition 6.3.4
d
2
dx cotg x = - cosec x
démonstration
proposition 6.3.5
d
dx sec x = sec x tg x
démonstration
André Lévesque
6-27
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
proposition 6.3.6
d
dx cosec x = - cosec x cotg x
démonstration
d  tg2 θ 
.
dθ  2 
____________
exemple 6.3.2 Trouver
sec2 θ
678
d
tg θ
dθ
64748
2 (tg θ)
d  tg2 θ 
dθ  2 
1 d
= 2
(tg θ )2
dθ
1
= 2 (2 tg θ sec2 θ)
= tg θ sec2 θ
Lorsque l’argument est composé on aura recours à la règle de
dérivation en chaîne.
d
exemple 6.3.3 Trouver
dx sin 2x
____________
 y = sin u
y = sin 2x est le résultat de la composition de 
 u = 2x
dy
dy du
Par la règle de dérivation en chaîne, dx =
du . dx
d
d
d
⇒
dx sin 2x = du sin u . dx 2x
= cos u . (2)
puisque u = 2x
André Lévesque
= 2 cos 2x
6-28
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
De la même façon on obtient les formules générales des 6 fonctions
trigonométriques.
règle 14
règle 15
règle 16
règle 17
règle 18
règle 19
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
sin ƒ(x) = cos ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
cos ƒ(x) = - sin ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
tg ƒ(x) = sec2 ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
cotg ƒ(x) = - cosec2 ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
sec ƒ(x) = sec ƒ(x) tg ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
cosec ƒ(x) = - cosec ƒ(x) cotg ƒ(x) . dx ƒ(x)
d
exemple 6.3.4 Trouver dx sin (3x2 + 5) .
____________
6x
6447448
par la règle 14
d
d
2
2
2
dx sin (3x + 5) = cos(3x + 5) . dx (3x + 5)
= 6x cos(3x2 + 5)
d
3
exemple 6.3.5 Trouver
dx tg (5 - 2x) .
____________
-2
678
d
(5 - 2x)
dx
6447448
3(5 - 2x)2
par la règle 16
d
d
3
3
3
2
dx tg (5 - 2x) = sec (5 - 2x) . dx (5 - 2x)
= - 6 (5 - 2x)2 sec2(5 - 2x)3
d
exemple 6.3.6 Trouver dt sec4 (5 - 2t) .
____________
rép: -8 sec4(5 - 2t) tg(5 - 2t)
André Lévesque
6-29
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
d
exemple 6.3.7 Trouver dv cos4 (5 - 2v)3 .
____________
rép: 24(5 - 2v) 2 sin(5 - 2v) 3 cos3(5 - 2v)3
d39
exemple 6.3.8 Trouver dx39 sin x .
____________
rép: - cos x
dy
exemple 6.3.9 Trouver
dx si
____________
sin2 y = y - cos x.
sin2 y = y - cos x
on trouve y’
implicitement
(sin y)2 = y - cos x
dy
dx
678
cos y
d
dy
2 sin y dx sin y = dx - (- sin x)
dy
dy
2 sin y cos y dx =
dx + sin x
dy dy
2 sin y cos y dx dx = sin x
dy
dx (2 sin y cos y - 1) = sin x
dy
sin x
sin x
dx = 2sin y cos y - 1 ou sin 2y - 1
André Lévesque
6-30
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
Exercices 6.3
dy
1. Trouver dx .
a)
y = sin 3x
n)
3x2 + 1
y = cotg 
√
b)
y = cos(1 - 2x)
o)
y =
c)
y = 3 sin x2
p)
y = sec3(2x - 1)2
d)
y = cos3(4x - 1)
q)
sec x
y = cosec x
e)
y =
sin2(1 - 3x)3
18
r)
y =
f)
y = 4√
sin √ x

s)
y = 2x sin x + 2 cos x - x 2 cos x
g)
y = sin2(cos 2x)
t)
y = 2 sin 2x cos x - cos 2x sin x
h)
y = sin x - x cos x
u)
cos x
y = 1 + sin x
i)
y = (cos x + 2x sin x) 3
v)
y =
j)
y = sec 3x
w) y =
k)
y = 2 tg √ x
x)
y = cotg4 x - cosec4 x
l)
y = cosec2 5x
y)
y = x cos2 x sin3 x
z)
sin x - x cos x
y = cos x + x sin x
m) y =
sec3 2x
3
cosec x2

√
sec7 x sec5 x
7 - 5
cos2 x
1 + sin2 x
1 - sin x

√
1 + sin x
2. Trouver y’.
a)
y = e2 sin 5x
d)
y = ln|cosec 2x - cotg 2x|
b)
y = sec e3x
e)
y = ln(cos2 e3x)
c)
y = ln|sec x|
André Lévesque
6-31
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
d2y
3. Trouver dx2 .
a) y = (1 + cos x) sin x
c) y = 3x2 sin x - 6 sin x - x3 cos x + 6x cos x
b) y = cos2 2x - sin2 2x
4. Trouver
a)
d36
sin x
dx36
b)
d61
cos x
dx61
c)
x cos y = sin(x + y)
dy
5. Trouver dx implicitement.
a)
x sin x + y cos y = 0
b)
cos 3y = tg 2x
dy
6. Trouver dx en utilisant le procédé de dérivation logarithmique.
a)
y =
André Lévesque
x sin3 x
1 + sec2 x

√
b)
y = (sin x)x (sin x > 0)
6-32
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
Réponses aux exercices 6.3
1. a)
3x2 + 1
3x cosec2 
√
3 cos 3x
n)
-
b)
2 sin(1 - 2x)
o)
- x cotg x2 
cosec x2
√
c)
6x cos x2
p)
12(2x - 1) sec3(2x - 1)2 tg(2x - 1)2
d)
-12 sin(4x - 1) cos2(4x - 1)
q)
sec2 x
e)
- (1 - 3x)2 sin(1 - 3x)3 cos(1 - 3x)3
r)
sec5 x tg3 x
cos √
x
3x2 + 1
√

s)
x2 sin x
g)
x sin √ x

√
-4 sin 2x sin(cos 2x) cos(cos 2x)
t)
3 cos x cos 2x
h)
x sin x
u)
i)
3(sin x + 2x cos x) (cos x + 2x sin x)2
v)
j)
3 sec 3x tg 3x
w)
1 + sin x

√
k)
sec2 √ x
x
√
x)
4 cotg x cosec2 x
l)
-10 cotg 5x cosec2 5x
y)
sin2 x cos x (sin x cos x - 2x sin2 x + 3x cos2 x )
m)
2 sec3 2x tg 2x
z)
x2
(cos x + x sin x)2
10 e2 sin 5x cos 5x
d)
2 cosec 2x
b)
3 e3x sec(e3x) tg(e3x)
e)
-6 e3x tg(e3x)
c)
tg x
c)
x2(3 sin x + x cos x)
b)
- sin x
f)
2. a)
3. a)
b)
4. a)
- (4 cos x + 1) sin x
-1
1 + sin x
4 sin x cos x
(1 + sin2 x)2
1 - sin x
-16 cos 4x ou -16(cos2 2x - sin2 2x)
sin x
André Lévesque
6-33
cos x
(1 - sin x)2
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
5. a)
b)
6. a)
b)
sin x + x cos x
y sin y - cos y
c)
cos y - cos(x + y)
x sin y + cos(x + y)
2 sec2 2x
- 3 sin 3y
x sin3 x
2
 1 + 3 cotg x - sec x tg x 
x
1 + sec2 x 
1 + sec2 x 

√
(sin x)x [ln(sin x) + x cotg x]
André Lévesque
6-34
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
6.4 Applications (fonctions trigonométriques)
exemple 6.4.1 Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = 3x - 4 sin x + sin 2x sur
l’intervalle [0, 2π].
____________
a) dom ƒ = [0, 2π],
la fonction
est continue sur R
b) ƒ est continue sur [0, 2π],
c) sans intérêt puisque l’étude porte seulement sur [0, 2π],
les asymptotes
horizontales et obliques
sont sans intérêt lorsque
l’étude porte sur [0,2π]
d) asymptote verticale: aucune puisque la fonction ne possède
pas de point de discontinuité sur [0, 2π],
e) ƒ’(x) = (2 cos x - 1)
0 si x = π/3, 5π/3

=
 ∃/ aucune valeur
2
⇒ n.c.: { π/3, 5π/3 }
0 si x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π

=
 ∃/ aucune valeur
ƒ’’(x) = 4 sin x (1 - 2 cos x)
⇒ n.t.: { 0, π/3, π, 5π/3, 2π }
f) tableau de variation de la fonction.
x
π/3
0
0
0
ƒ ’(x)
ƒ ’’(x)
+
-
π
+
0
+
+
5π/3
0
0
+
-
2π
+
+
ƒ(x)
0
PI: (0,54)
PI: (9,42)
PI: (18,31)
18,85
Graphique de la fonction
y
(5π/3; 18,31)
18
16
14
12
10
(π; 9,42)
8
6
4
2
(π/3; 0,54)
π/3
André Lévesque
2π/3
π
6-35
4π/3
5π/3
x
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
exemple 6.4.2 Un triangle a deux côtés de 4 cm de longueur.
a) Quelle doit être la mesure de l’angle θ déterminé par ces
deux côtés pour que l’aire du triangle soit maximale?
b) Quelle est l’aire maximale?
____________
• Représentation graphique et identification des variables.
4
Soit
cm
θ : l’angle (en radians) déterminé
par les deux côtés de 4 cm,
h: la hauteur du triangle (en cm)
h
θ
4 cm
• Quantité à optimiser.
4h
Soit A l’aire du triangle: A = 2 = 2h.
h
Étant donné que sin θ =
4
alors
h = 4 sin θ
et par conséquent
A = 2(4 sin θ)
⇒
dans un triangle tout
angle est compris entre
0° et 180°
A = 8 sin θ
• Domaine et étude de continuité.
• dom A = ]0, π[ ,
• A est continue sur ]0, π[ (sin θ est continue sur R).
• Extremums absolus.
 0 si θ = π/2
A’ = 8 cos θ = 
 ∃/ aucune valeur
θ
π/2
0
A’
⇒ n.c.: { π/2 }
+
0
π
-
MAX ABSOLU (8)
A
0
0
• Réponse du problème.
L’aire maximale est 8 cm2 lorsque l’angle θ est 90°.
André Lévesque
6-36
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
Exercices 6.4
1. Calculer la pente de la tangente à chacune des fonctions pour les valeurs suivantes:
π
x=0 ; x =
2 ; x = -π
a) ƒ(x) = sin 3x
b)
x
g(x) = cos 2
 
c)
h(x) = cos 3x - 3 sin x.
2. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacune
des fonctions sur l’intervalle indiqué.
a) ƒ(x) = - (sin x + cos x) sur ]0, 2π[
b) g(x) = sin2 x - cos x
c) h(x) =
sin3 x + cos3 x
3
sur ]0, 2π[
sur ]0, π[ .
3. Pour chacune des fonctions, déterminer sur l’intervalle indiqué:
• pour quelles valeurs la fonction est continue,
• les asymptotes verticales de la fonction,
• ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,
• ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,
• le tableau de variation de la fonction,
• le graphique de la fonction.
x
a) ƒ(x) = sin x - 2
sur [0, 2π]
b) g(x) = x + cos x
sur [0, 2π]
c) h(x) = 4 sin2 x
sur [0, π]
(
4. L’équation s(t) = 10 sin 5t par rapport à un point fixe O.
a)
b)
c)
d)
e)
π
4
)
décrit la position (en cm) d’une particule après t secondes
Représenter graphiquement ce mouvement sur une période.
Déterminer la vitesse et l’accélération de la particule au temps t.
Quelle est la position, la vitesse et l’accélération initiale de la particule.
Est-ce que la particule se rapproche ou s’éloigne du point O au temps t = 0 ?
La particule accélère-t-elle ou décélère-t-elle au temps t = 0 ?
André Lévesque
6-37
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
5. Après t secondes, la hauteur atteinte par un objet en mouvement oscillatoire est donnée par
l’équation
y = a cos t + b sin t + 5 centimètres
Si au temps t = 0 s, la hauteur de l’objet est y = 6 cm et sa vitesse est v = 3 cm/s alors trouver
a)
b)
a et b,
l’accélération initiale de l’objet.
6. Un golfeur frappe une balle avec une vitesse initiale
Vo = 30 m/s. En négligeant la résistance de l’air, la
portée R en mètres de la balle frappée à un angle θ
du plan horizontal est donnée par
θ
V 2 sin 2θ
R = o
où g = 9,8 m/s2
g
R
a) Calculer la portée pour θ = 30° puis pour θ = 40°.
b) Déterminer l’angle θ pour lequel la portée R sera maximale.
c) Si la balle est frappée par le golfeur avec l’angle obtenu en b), calculer la distance
horizontale R parcourue par celle-ci.
7. Soit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm.
a) Déterminer la valeur de l’angle θ qui maximise l’aire
du triangle.
b) Quelle est cette aire maximale?
8. Trouver la valeur de l’angle θ pour que l’aire du trapèze de
la figure de droite soit maximale. Trouver cette aire
maximale.
aire du trapèze =
5
cm
θ
θ
θ
1m
1m
(grande base + petite base) hauteur
2
1m
y
9. Un poids suspendu à l’extrémité d’un ressort décrit
un mouvement de va-et-vient de telle façon que sa
position y (en cm) par rapport à un point fixe O
après t secondes est représentée par le graphique cicontre.
2
5π
Au temps t = 18 secondes,
a)
b)
c)
d)
2π
3 t
quelle est la position du poids ?
quelle est la vitesse du poids ?
quelle est l’accélération du poids ?
le poids accélère ou décélère ?
André Lévesque
-2
6-38
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
Réponses aux exercices 6.4
0
-3
1
2
a)
2.
a) croissante sur
décroissante sur
minimum relatif
maximum relatif
]π/4, 5π/4[
]0, π/4[ ∪ ]5π/4, 2π[
(π/4, -√ 2)
(5π/4, √ 2)
b) croissante sur
décroissante sur
minimum relatif
maximums relatifs
]0, 2π/3[ ∪ ]π, 4π/3[
]2π/3, π[ ∪ ]4π/3, 2π[
(π, 1)
(2π/3, 5/4) , (4π/3, 5/4)
3. a)
3
2
√
1.
b)
0
-
ƒ’(x) = cos x - 1/2 ; ƒ’’(x) = - sin x
4
b)
y
c)
-3
3
c) croissante sur
décroissante sur
minimum relatif
maximum relatif
3
]π/4, π/2[
]0, π/4[ ∪ ]π/2, π[
(π/4, √ 2/6)
(π/2, 1/3)
ƒ’(x) = 1 - sin x ; ƒ’’(x) = - cos x
y
(π/3; 0,34)
(2π; 7,28)
7
π/3
π
5π/3
x
5
(3π/2; 4,71)
−1
(π; −1,57)
3
−2
(π/2; 1,57)
−3
(2π, -π)
1
(5π/3; −3,48)
c)
π/2
ƒ’(x) = 8 sin x cos x ou 4 sin 2x ;
ƒ’’(x) = 8(cos2 x - sin2 x) ou 8 cos 2x
y
(π/2; 4)
4
3
2
(π/4; 2)
(3π/4; 2)
1
π/4
André Lévesque
π/2
3π/4
(0; 1)
x
6-39
π
3π/2
x
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
4
a)
10
π/20
π/4
9π/20
-10
b)
c)
d)
e)
s(t) = 10 sin(5t - π/4) ; v(t) = 50 cos(5t - π/4) ; a(t) = -250 sin(5t - π/4)
position initiale: -5√ 2 cm ; vitesse initiale: 25√ 2 cm/s ; accélération initiale: 125√ 2 cm/s2
se rapproche du point fixe O (car la position et la vitesse sont de signe contraire)
accélère (car la vitesse et l’accélération initiale sont du même signe)
5.
a)
b)
a = 1 et b = 3
-1 cm/s2 (à ce moment la vitesse diminue et la hauteur augmente)
6.
a)
b)
c)
Lorsque l’angle est de 30°, la portée est 79,5 m,
lorsque l’angle est de 40°, la portée est 90,4 m,
45°
91,8 m
7.
a)
b)
45°
6,25 cm2
8.
a)
b)
60°
3√
 3 m2
4
a)
b)
c)
d)
1 cm
-3√
 3 cm/s
-9 cm/s2
il accélère puisque v et a sont de même signe
9.
André Lévesque
6-40
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
6.5 Rappel (fonctions trigonométriques inverses)
Il arrive souvent que l’on doive trouver la mesure d’un angle à partir
d’une équation trigonométrique. Par exemple sin x = 1/2 possède
plusieurs solutions.
l’ensemble
des solutions
de sin x = 1/2
correspond à
{
π/6 + 2πn
5π/6 + 2πn
sin x = 1/2
⇒
 x → (√
 3/2, 1/2)

 x → (-√ 3/2, 1/2)
⇒
x = π/6
⇒
x = 5π/6
Cette fonction étant périodique de période de 2π, les angles 13π/6,
17π/6, ... ou -7π/6, -11π/6, ... sont autant de solutions possibles.
y
où n ∈ Z
1/2
−11π/6 −7π/6
π/6
5π/6
x
figure 6.5.1
En principe, ces fonctions ne peuvent pas avoir de réciproque qui soit
fonctionnelle. En pratique toutefois on peut remédier à cet inconvénient
en limitant leur domaine.
Soit Sin la fonction définie par l’équation.
-π/2 ≤ x ≤ π/2
y = sin x,
la courbe en trait
continu correspond au
graphique de la fonction
Sin tandis que la courbe
en pointillés fait partie
du graphique de la
fonction sin
y
−π/2
π/2
x
figure 6.5.2
* une relation est
biunivoque si tout
élément du domaine est
associé à un et un seul
élément de l’image et
réciproquement tout
élément de l’image est
associé à un et un seul
élément du domaine
André Lévesque
Ainsi définie cette fonction est biunivoque* . Par conséquent elle
possède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle
Arc Sin
ou
Sin-1
Pour éviter toute confusion avec (sin x)-1 (l’inverse multiplicatif de
sin x), on utilisera la notation Arc Sin plutôt que Sin-1. Il en sera de
même pour les autres fonctions trigonométriques.
6-41
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
définition 6.5.1 La fonction Arc Sin est définie par l’équation
Arc Sin
pourquoi utilise-t-on le
nom Arc Sin ?
 sin y = x
y = arcsin x ⇔ 
 -π/2 ≤ y ≤ π/2
Quand on cherche à évaluer arcsin 1/2, on cherche à trouver la
longueur de l’arc d’un cercle de rayon unitaire dont le sinus vaut
1/2. Puisque par définition la réponse doit se situer dans l’intervalle
[-π/2, π/2], on obtient arcsin 1/2 = π/6. La longueur de l’arc de cercle
demandée est donc π/6 ou 0,52.
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis,
les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Sin.
on retient que la fonction
Arc Sin
a pour domaine
l’intervalle [-1, 1]
et pour image,
l’intervalle [-π/2, π/2]
(un angle de la région
hachurée)
y
x
arc sin x
1
3/2 (0.87)
2/2 (0,71)
1/2
0
-1/2
- 2/2 (-0,71)
- 3/2 (-0,87)
-1
π/2
π/2
π/3
π/4
−1
π/6
0
-π/6
-π/4
-π/3
-π/2
1
−π/2
• dom Arc Sin = [-1, 1]
• ima Arc Sin = [-π/2, π/2]
exemple 6.5.1 Évaluer
a) sin(arcsin √
 2/2),
b) arcsin(sin (-π/3)).
____________
a) sin(arcsin √
 2/2) = sin(π/4) = √ 2/2,
b) arcsin(sin (-π/3)) = arcsin(-√
 3/2) = -π/3.
D’une façon générale
 sin(arcsin x) = x

 arcsin(sin y) = y
André Lévesque
si
x ∈ [-1, 1]
si
y ∈ [-π/2, π/2]
6-42
x
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
En procédant de la même façon définissons maintenant la fonction
Arc Cos. Restreignons d’abord le domaine de la fonction cosinus de
façon à obtenir une fonction biunivoque. Soit Cos la fonction
définie par l’équation y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
y
π/2
π
x
figure 6.5.3
La fonction Cos possède une réciproque fonctionnelle que l’on
appelle
Arc Cos ou Cos-1
définition 6.5.2 La fonction Arc Cos est définie par l’équation
Arc Cos
 cos y = x
y = arccos x ⇔ 
 0≤y≤π
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, les
comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Cos.
on retient que la fonction
Arc Cos
a pour domaine
l’intervalle [-1, 1]
et pour image,
l’intervalle [0, π]
(un angle de la région
hachurée)
y
x
arccos x
1
3/2 (0.87)
2/2 (0,71)
1/2
0
-1/2
- 2/2 (-0,71)
- 3/2 (-0,87)
-1
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
De plus on a
André Lévesque
π
π/2
−1
1
• dom Arc Cos = [-1, 1]
• ima Arc Cos = [0, π]
 cos(arccos x) = x

 arccos(cos y) = y
6-43
si
x ∈ [-1, 1]
si
y ∈ [0, π]
x
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
La fonction Arc Tg est la réciproque de la fonction Tangente définie
par l’équation y = tg x, -π/2 < x < π/2 .
y
−π/2
π/2
x
figure 6.5.4
La fonction Tg possède une réciproque fonctionnelle que l’on
appelle
Arc Tg ou Tg-1
définition 6.5.3 La fonction Arc Tg est définie par l’équation
Arc Tg
 tg y = x
y = arctg x ⇔ 
 -π/2 < y < π/2
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, les
comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Tg.
on retient que la fonction
Arc Tg
a pour domaine R
et pour image,
l’intervalle ]-π/2, π/2[
(un angle de la région
hachurée)
y
x
arctg x
3 (1,73)
1
1/ 3 (0,57)
0
-1/ 3 (0,57)
-1
- 3 (-1,73)
π/3
π/2
π/4
π/6
x
0
-π/6
-π/4
-π/3
−π/2
• dom Arc Tg = R
• ima Arc Tg = ]-π/2, π/2[
De plus on a
 tg(arctg x) = x

 arctg(tg y) = y
si
x∈R
si
y ∈ ]-π/2, π/2[
Les trois dernières fonctions trigonométriques inverses sont définies
d’une façon analogue.
André Lévesque
6-44
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
définition 6.5.4 La fonction Arc Cotg est définie par l’équation
Arc Cotg
 cotg y = x
y = arccotg x ⇔ 
 0<y<π
y
on retient que la fonction
Arc Cotg
a pour domaine R
π
π/2
x
et pour image,
l’intervalle ]0, π[
(un angle de la région
hachurée)
• dom Arc Cotg = R
• ima Arc Cotg = ]0, π[
De plus on a
 cotg(arccotg x) = x

 arccotg(cotg y) = y
si
x∈R
si
y ∈ ]0, π[
définition 6.5.5 La fonction Arc Sec est définie par l’équation
Arc Sec
sec y = x

y = arcsec x ⇔ 
 -π ≤ y < -π/2 ou 0 ≤ y < π/2
y
on retient que la
fonction Arc Sec
a pour domaine
]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
π/2
−1
1
x
−π/2
−π
et pour image,
[-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[
(un angle de la région
hachurée)
• dom Arc Sec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
• ima Arc Sec = [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[
De plus on a
André Lévesque
 sec(arcsec x) = x

 arcsec(sec y) = y
6-45
si
x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
si
y ∈ [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
définition 6.5.6 La fonction Arc Cosec est définie par l’équation
Arc Cosec
cosec y = x

y = arccosec x ⇔ 
 -π < y ≤ -π/2 ou 0 < y ≤ π/2
y
on retient que la fonction
Arc Cosec
a pour domaine
π/2
]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
−1
1
x
−π/2
−π
et pour image, l’intervalle
]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]
(un angle de la région
hachurée)
• dom Arc Cosec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
• ima Arc Cosec = ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]
De plus on a
 cosec(arccosec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

 arccosec(cosec y) = y si y ∈ ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]
exemple 6.5.2 Évaluer (sans l’aide de votre calculatrice)
a) arccotg 1,
b) arccotg (-1),
c) arcsec √ 2,
d) arcsec (-√
 2),
e) arccosec 2,
f) arccosec (-2),
g) sin(arcsec (-1)),
h) cotg(arccotg 3),
André Lévesque
6-46
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
L’évaluation des fonctions trigonométriques inverses s’effectue
rapidement pour certaines valeurs de l’argument mais en général, on
doit utiliser une calculatrice. Les calculatrices scientifiques permettent
l’évaluation des fonctions Arcsin, Arccos et Arctg. Pour les trois
dernières fonctions on utilise les identités suivantes.
l’identité 2 est de loin la
plus utile
1)
π
arccotg x = 2 - arctg x
2)



3)
arcsec x =
arccosec x =
( 1)
-arccos x
()
arccos 1x



∨
– x ∈ R,
si x ≤ -1
si x ≥ 1
( 1) - π
arcsin(1x)
-arcsin x
si x ≤ -1
si x ≥ 1
exemple 6.5.3 À l’aide d’une calculatrice (en mode radians) vérifier les évaluations
suivantes.
a) arctg 3 = 1,25
b) arcsin 0,2 = 0,20
c) arcsec 1,5 = 0,84
d) arcsec (-4) = -1,82
e) Qu’arrive-t-il lorsqu’on tente d’évaluer arcsin 2 à l’aide d’une
calculatrice? Pourquoi?
exemple 6.5.4 Résoudre les équations suivantes (utiliser une calculatrice)
a) 5 arcsin x = π
André Lévesque
b) cos(3x - 1) = 0,25
(0 < 3x - 1 < π/2)
c) sin x - 2 cos x = 0
(0 < x < π/2)
6-47
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
exemple 6.5.5 Soit y ∈]0, π/2[ tel que y = arcsin(3/5), trouver sans l’aide d’une
calculatrice
a) sin y
b) cos y
c) tg y.
____________
_
proposition 6.5.1 Si lim ƒ(x) = b (a, b ∈ R) alors
x→ a
limite
[
[
]
]
(-1 < b < 1)
a) lim arcsin ƒ(x) = arcsin lim ƒ(x) = arcsin b
x→ a
x→ a
(-1 < b < 1)
b) lim arccos ƒ(x) = arccos lim ƒ(x) = arccos b
x→ a
x→ a
c) lim arctg ƒ(x) = arctg lim ƒ(x) = arctg b
x→ a
x→ a
d) lim arccotg ƒ(x) = arccotg lim ƒ(x) = arccotg b
x→ a
x→ a
(b < -1, b > 1)
e) lim arcsec ƒ(x) = arcsec lim ƒ(x) = arcsec b
x→ a
x→ a
f) lim arccosec ƒ(x) = arccosec lim ƒ(x) = arccosec b (b < -1, b > 1)
x→ a
x→ a
[
]
[
]
[
]
[
]
_
exemple 6.5.6 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R.
____________
prop. 6.5.1 b)
x = arccos 0 = π
a) lim arccos x = arccosxlim
2
→
0


x→ 0
b) lim arctg(3x2 - 4) =
x→ 1
arcsin(cos x) =
c) lim
x→ 2π/3
1
d) lim arccotg x =
 
x→ ∞
3x2 + 4x - 4 
e) lim arcsec 2
 x + 8x + 12 
x→ -2
André Lévesque
6-48
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
cas d’exception Si à la suite de l’évaluation d’une limite on obtient arcsin(±1),
arccos(±1), arcsec(±1) ou arccosec(±1) on est alors confronté à un
arcsin(±1), arccos(±1),
arcsec(±1), arccosec(±1) nouveau cas d’exception. Chacune de ces limites peut exister et
correspondre à son image lorsque la fonction est définie près de la
valeur de l’argument. Autrement, elles n’existent pas.
 arcsin 1+ ∃/
• arcsin 1 = 
 arcsin 1- = π/2
 arccos 1+ ∃/
• arccos 1 = 
 arccos 1- = 0
+
 arcsec 1 = 0
• arcsec 1 = 
 arcsec 1- ∃/
+
 arccosec 1 = π/2
• arccosec 1 = 
 arccosec 1 - ∃/
 arcsin -1+ = -π/2
• arcsin -1 = 
 arcsin -1- = ∃/
 arccos -1 + = π
• arccos -1 = 
 arccos -1 - = ∃/
+
 arcsec -1 ∃/
• arcsec -1 = 
 arcsec -1- = -π
+
 arccosec -1 ∃/
• arccosec -1 = 
 arccosec -1- = -π/2
_
exemple 6.5.7 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R.
____________
sin x
a) lim arccos(sin x) = arccosxlim
→
π/2


x→ π/2
(car sin x ≤ 1 ∨
– x)
= arccos 1= arccos 1 = 0 (puisque -1 < 1-< 1)
arcsin x
b) lim
1-x =
x→ 1
c) lim arccos(x2 - 1) =
x→ 0
d) lim arcsec 2x =
x→ -1
les formes À l’aide des graphiques des fonctions trigonométriques inverses on
admet sans peine que
arcsin(±∞), arccos(±∞),
arctg(±∞), arccotg(±∞),
arcsec(±∞), arccosec(±∞)
André Lévesque
• arcsin ∞
∃/
• arccos ∞
∃/
• arctg ∞ = π/2
• arcsin(-∞ ) ∃/
• arccos(-∞)
• arccotg ∞ = 0
• arccotg(-∞ ) = π
• arcsec ∞ = π/2
• arccosec ∞ = 0
• arcsec(-∞) = -π/2
• arccosec(-∞ ) = -π
6-49
∃/
• arctg(-∞) = -π/2
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
_
exemple 6.5.8 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R.
____________
1
=
a) lim
3
x→ ∞ arcsec(1 - x )
arctg x
b) lim
arccotg
x =
x→ - ∞
proposition 6.5.2 Si g(x) est une fonction continue sur l’intervalle ouvert I alors
continuité
a) ƒ(x) = arcsin g(x) et ƒ(x) = arccos g(x) sont continues sur I
pourvu que -1 < g(x) < 1 ∨
– ∈ I,
b) ƒ(x) = arctg g(x) et ƒ(x) = arccotg g(x) sont continues sur I,
c) ƒ(x) = arcsec g(x) et ƒ(x) = arccosec g(x) sont continues sur I
pourvu que g(x) > 1 ou g(x) < -1 ∨
– ∈ I.
exemple 6.5.9 Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
____________
a) ƒ(x) =
arccos x
x
arctg x
b) g(x) = arcsin x - arccos x
André Lévesque
6-50
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
Exercices 6.5
1. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a)
arcsin 0
i)
arcsec(2√
 3/3)
b)
arcsin(-1/2)
j)
arccosec(1/2)
c)
arccos √
3
k)
arcsec(-2)
d)
arccos(- √
 3/2)
l)
arccosec(-2√ 3/3)
e)
arctg(√
 3/3)
m) cotg(arcsec(-1))
f)
arctg(-√
 3)
n)
sec(arctg 1)
g)
arccos(- √
 2/2)
o)
sin(arcsin 1 - arccos(√ 3/2))
h)
arccotg(-√ 3)
p)
arcsin(2 cos(2π/3))
2. Évaluer à l’aide d’une calculatrice.
a)
arcsin(-0,6)
d)
arcsec(4/3)
b)
arctg 5
e)
arcsec(-π)
c)
arccos √
2
f)
arccos(√
 5/2)
π
3. Soit 0 < θ < 2
a)
Si θ = arcsin(1/3) alors trouver cos θ et tg θ.
b)
Si θ = arcsec(√
 5/2) alors trouver sin θ et cotg θ.
c)
Si θ = arccos 3x alors trouver sin θ et tg θ.
d)
Si θ = arctg x2 alors trouver sec θ et sin θ.
(compléter ce numéro sans l’aide d’une calculatrice)
4. Résoudre sans l’aide d’une calculatrice.
a)
3 arcsin x = π/2
c)
2 sin(arcsin x) = 1/3
b)
arctg(x - 1) = π/3
d)
arctg(tg x2) = π/9
b)
3 tg x = √10
5. Résoudre à l’aide d’une calculatrice.
a)
arccos 2x = 1/4
André Lévesque
6-51
(0 < x < π/2)
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
6. Une échelle de 8 mètres est appuyée contre un mur. Si le pied
de l’échelle est à 5 mètres du mur, trouver l’angle θ (en degrés)
que fait le pied de l’échelle avec le sol.
8
θ
5
7. Soit a et b des nombres positifs. Montrer que si arcsin a = arccos b alors a 2 + b2 = 1.
8. Trouver la valeur de l’angle α
9. Évaluer les expressions suivantes provenant du calcul d’une limite.
a)
arctg ∞
d)
arctg (-1)
g)
arccos ∞
b)
c)
arccos 1+
arcsin 0
e)
arccotg(- ∞)
f)
arcsec 1-
h)
i)
1/arccos 1arctg(- ∞)
j)
arcsec 1+
_
10. Évaluer chacune des limites si elles existent dans R
arcsin(x/2)
a) lim
x→ √
3
i)
b) lim
x→ 0+
arcsin x
ln x
j)
c) lim
x→ 1-
arccos x
2
k)
d) lim
x→ 2
arcsec x
π
l)
lim
arcsin(1/x)
lim
arctg(ln x)
lim
arcsec(x - 1)
lim
x arcsin(x - 4)
x→ 1
x→ 1
x→ 2
x→ 3
e) lim arctg(1/x)
x→ 0
1
m) lim arctg x
x→ 0
arcsec x
f) lim arctg x
x→ ∞
n)
g) lim x arctg(x - 2)
x→ 1
o)
h) lim
earccotg x
x→ - ∞
p)
André Lévesque
lim
x→ -
√ 3/2
lim
x→ -1/2
arctg 2x
(arcsin x + arccos x)
x2 + 1
lim
arccos 3 
 x 
x→ ∞
6-52
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
11. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
a) ƒ(x) = (arctg x)3 - 1
b) ƒ(x) = arcsin x - √
2x - 1
1
c) ƒ(x) = arcsin x
d) ƒ(x) = ln(arccotg x)
arctg x
e) ƒ(x) = 1 √-
arccos x
André Lévesque
6-53
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
Réponses aux exercices 6.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a)
0
i)
π/6
b)
-π/6
j)
∃/
c)
d)
∃/
5π/6
k) -2π/3
l) -2π/3
e)
π/6
/
m) ∃
f)
-π/3
n) √
2
g)
h)
3π/4
5π/6
o) √ 3/2
p) -π/2
a)
b)
-0,64
1,37
d) 0,72
e) -1,89
c)
∃/
f)
a)
2 2
2
cos θ = √3 et tg θ = √
4
b)
 5 et cotg θ = 2
sin θ = √
5
c)
sin θ =
1 - 9x2

√
et tg θ =
d)
sec θ =
1 + x4
√
et sin θ =
a)
1
2
1
c) 6
b)
1+√
3
π
d) ± √
3
a)
0,48
b) 0,81
∃/
1 - 9x2

√
3x
x2
1 + x4

√
51,3°
7.
8.
42,22°
André Lévesque
6-54
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
9.
10.
11.
∃/
∃/
a)
π/2
f)
b)
c)
d)
e)
∃/
0
-π/4
π
g)
h)
i)
j)
a)
b)
π/3
0
i)
j)
∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: π/2)
c)
0
k)
d)
1/3
l)
∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: 0)
∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: -3π/2)
e)
f)
g)
h)
∃/ (à gauche: -π/2 ; à droite: π/2)
1
-π/4
eπ
m)
n)
o)
p)
-∞
-π/3
π/2
π/2
a)
b)
c)
d)
e)
continue sur R
continue sur ]1/2, 1[
continue sur ]-1, 1[ \ { 0 }
continue sur R
continue sur ]0, 1[ \ { 0,5403 }
André Lévesque
∞
-π/2
0
0
6-55
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
6.6 Dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
proposition 6.6.1
démonstration
d
dx arcsin x =
1
1 - x2
√

Par définition
y = arcsin x ⇔ sin y = x
puisque
sin 2 y + cos2 y = 1
alors
cos y = ± 
√
1 - sin2 y
mais cos y ≥ 0
lorsque y ∈ [-π/2, π/2],
par conséquent

1 - sin2 y
cos y = √
proposition 6.6.2
En dérivant implicitement l’équation de droite on obtient,
d
d
dx sin y = dx x
dy
cos y dx = 1
1
dy
= cos y
(-π/2 ≤ y ≤ π/2)
dx
1
=
1 - sin2 y

√
1
=
(car sin y = x)
1 - x2

√
d
dx arccos x =
-1
1 - x2

√
démonstration
André Lévesque
(-π/2 ≤ y ≤ π/2)
6-56
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
proposition 6.6.3
d
1
dx arctg x = 1 + x2
démonstration
proposition 6.6.4
d
-1
dx arccotg x = 1 + x2
démonstration
André Lévesque
6-57
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
proposition 6.6.5
d
dx arcsec x =
1
x2 - 1
x√

démonstration
proposition 6.6.6
d
dx arccosec x =
-1
x√
x2 - 1

démonstration
André Lévesque
6-58
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
exemple 6.6.1
d arcsin x 
Trouver dx 
 arccos x 
____________
d
d
arccos x dx arcsin x - arcsin x dx arccos x
d  arcsin x 
dx  arccos x  =
(arccos x) 2
-1 
1 
- arcsin x 
arccos x 

√

2
1-x 
1 - x2

√
 
=
(arccos x)2
=
arccos x + arcsin x
1 - x2 (arccos x) 2

√
exemple 6.6.2 Trouver d x(arctg x)2
dx
____________
rép: arctg x
(arctg x +
2x
1 + x2
)
exemple 6.6.3 Trouver d arcsin 5x
dx
____________
rép:
André Lévesque
6-59
5

√
1 - 25x2
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
Pour obtenir la dérivée de y = arcsin ƒ(x) on décompose la fonction de
la façon suivante.
y = arcsin u et u = ƒ(x)
Puis par la règle de dérivation en chaîne on obtient
dy
dy . du
dx = du dx
=
=
1
.
1 - u2
√

1
1 - ƒ(x)2

√
d
dx ƒ(x)
d
dx ƒ(x)
.
On obtient de la même façon les formules générales des autres
fonctions trigonométriques inverses.
règle 20
d
dx arcsin ƒ(x) =
règle 21
d
dx arccos ƒ(x) =
règle 22
d
1
. d
dx arctg ƒ(x) = 1 + ƒ(x)2 dx ƒ(x)
règle 23
-1
d
. d ƒ(x)
arccotg ƒ(x) =
2
dx
dx
1 + ƒ(x)
règle 24
d
1
. d
dx arcsec ƒ(x) = ƒ(x) ƒ(x)2 - 1 dx ƒ(x)

√
règle 25
d
dx arccosec ƒ(x) =
exemple 6.6.4 Trouver d arcsin √
x
dx
____________
d
x =
dx arcsin √
André Lévesque
1
. d ƒ(x)
dx
1 - ƒ(x)2

√
-1
1 - ƒ(x)2
√

-1
ƒ(x) √
ƒ(x)2 - 1

1
1 - (√
 x)2

√
=
1
1-x

√
=
1
2√
x(1
- x)

6-60
. d ƒ(x)
dx
.
1
2√
x
.
d
x
dx √
. d ƒ(x)
dx
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
exemple 6.6.5 Trouver d arcsec(e2x)
dx
____________
rép:
exemple 6.6.6 Trouver d arccos 1
3t
dt
____________
()
2

√
e4x - 1
(t < 0)
rép: -
1
t√

9t2 - 1
exemple 6.6.7 Trouver y’ si y = 2x(arccos 2x) - 
1 - 4x2
√
____________
rép: 2 arccos 2x
exemple 6.6.8 Calculer la pente de la droite tangente à la fonction
ƒ(x) = (arcsin x)(arccos x)
lorsque x = -1/2.
____________
rép:
André Lévesque
6-61
5
√ 3π
9
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
1 - x2 .
√
exemple 6.6.9 Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = x(arcsin x) +
____________
a) dom ƒ = [-1, 1]
b) ƒ est continue sur ]-1, 1[
c) ƒ(-x) = (-x)(arcsin(-x) +
= x(arcsin x) + 
1 - x2
√
= ƒ(x) (ƒ est symétrique par rapport à l’axe des y)
arcsin(-x) = -arcsin x
les asymptotes
horizontales et obliques
sont sans intérêt car le
dom ƒ = [-1, 1]
1 - (-x)2
√
d) asymptote verticale: aucune car pour les deux points de
discontinuité x = -1 et x = 1 on a
π
π
lim x(arcsin x) + √
1 - x2 = 2 ; lim x(arcsin x) + √
1 - x2 = 2


+
x→ 1
x → -1
e)
ƒ’(x) = arcsin x +
x
-
2x
2√
1 - x2

 0 si x = 0
= arcsin x = 
⇒ n.c.: { -1, 0, 1}
 ∃/ si x ≥ 1 ou x ≤ -1
ƒ’’(x) =
1 - x2

√
 0 aucune valeur
=
1 - x2  ∃/ x ≥ 1 ou x ≤ -1

√
1
⇒ n.t.: { -1, 1 }
f) Tableau de variation de la fonction.
seules les valeurs de x
dans l’intervalle [0, 1]
sont considérées dans le
tableau de variation car
la fonction est
symétrique par rapport à
l’axe des y
x 0
ƒ ’(x)
ƒ ’’(x)
1
+
+
ƒ(x)
π/2
1
Graphique de la fonction
y
(−1; π/2)
2
(1; π/2)
(0; 1)
−1
André Lévesque
1
6-62
x
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
exemple 6.6.10 Un ballon lâché au niveau d’un observateur
s’élève à la vitesse de 5 m/s. Si l’observateur
est placé à 50 m du ballon, trouver le taux de
variation de l’angle d’élévation du ballon par
rapport au temps lorsque celui-ci est à 30 m du
sol.
____________
x
θ
50 m
rép: 4,2°/s
André Lévesque
6-63
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
Exercices 6.6
dy
1. Trouver dx
[
( )]
y = a arcsec xa
a)
y = arcsin 3x
l)
b)
y = 2(arcsin √ x)
m) y = arccotg(sin x)
c)
y = arccos x2
n)
arcsec 2x
y = arccosec 2x
d)
y = arccos x
o)
y = arctg(tg x)
e)
y = arctg 3x2
p)
y = ln(arcsin 5x)2
f)
y = arctg 3x
()
q)
y = x2 arccos 2x
g)
y = arccosec √ x
r)
y = x(arccotg x) + ln
1 + x2
√
h)
y = arccotg 1 - x
s)
y = x√
4 - x2 + 4 arcsin 2

i)
y = (arcsec 2x)2
t)
y =
j)
y =
u)
1
y = ab
arctg
k)
1
y = arccosec x
(2)
(1 + x)
4
1 - x)
(arcsin √
v)
(a < 0)
()
(x < 0)
[
x2 - 4
√

x2
( x) ]
()
x
+ 21 arcsec 2
(b tga x)
y = x[arccosec(1x)] + √
1 - x2

2. Trouver la pente de la droite tangente à chacune des fonctions au point indiqué.
a)
ƒ(x) = arcsin x
;
x=0
b)
g(x) = (arctg x)2
;
x = -1
c)
h(x) = x(arccos x)
;
x = 1/2
dy
3. Trouver dx implicitement si ln(x2 + y2) = arctg xy .
()
André Lévesque
6-64
(x > 0)
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
4. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de
chacune des fonctions.
a)
ƒ(x) = arctg(x3 - 12x)
b)
g(x) = arccotg x2
5. Trouver x qui maximise θ si
( x)
(x)
θ = arctg 2 - arctg 1
(x > 0)
6. Soit ƒ(x) = x + 3 cos x. Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de cette fonction
sur [0, π/2]. (Utiliser une calculatrice pour résoudre ce problème.)
θ
7. Le sommet d’une échelle de 15 m glisse vers le bas d’un mur à
raison de 3 m/s. Calculer le taux de variation par rapport au
temps de l’angle que fait l’échelle avec le mur lorsque celle-ci est
à une hauteur de 9 m.
8. Un observateur regarde un oiseau à 8 m d’altitude. L’oiseau
s’éloigne à une vitesse de 1 m/s. Quel est le taux de variation par
rapport au temps de l’angle que fait le segment qui relie
l’observateur à l’oiseau et le sol lorsque la distance qui sépare
l’observateur à l’oiseau est de 10 m.
x
8m
θ
9. Tracer le graphique de chacune des fonctions en indiquant
•
•
•
•
•
•
•
pour quelles valeurs la fonction est continue,
si la fonction est paire, impaire ou ni paire, ni impaire,
les asymptotes verticales de la fonction,
ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,
ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,
le tableau de variation de la fonction,
le graphique de la fonction.
a) ƒ(x) = arcsin x - 3(arccos x)
André Lévesque
b) g(x) = arctg x -
6-65
15 m
x
x
2
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
Réponses aux exercices 6.6
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2.
a)
3
l)
1 - 9x2

√
1
1-x
x √
√

-2x
m)
n)
1 - x4

√
-1
o)
4 - x2

√
6x
1 + 9x4
p)
-3
x2 + 9
-1
2x√
x-1

-1
1 + x2
2(arcsec 2x)
-2(arcsin√
1 - x)

x√
x2 - 1 (arccosec x)2

1
-cos x
1 + sin2 x
arccosec 2x + arcsec 2x
4x2 - 1 (arccosec 2x)2
x√

1
10
1 - 25x2 arcsin 5x

√
-2x
arccotg x
s)
2√
4 - x2

8
x2 - 4
x3 √

u)
sec2 x
2
a + b2 tg2 x
v)
arccosec x
c)
π
1
π-√
3
3 - √ 3 =
3
(1)
y - 2x
2y + x
André Lévesque
( )]
r)
π
b) - 4
3.
[
+ 2x arccos 2x
x2 - 4

√
3
1-x
√ x √

1
x√
x2 - a2

q)
t)
4x2 - 1
x√

-a2
6-66
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
4.
a)
b)
croissante sur
décroissante sur
min. rel. au point:
max. rel. au point:
croissante sur
décroissante sur
min. rel. au point:
max. rel. au point:
]-∞ , -2[ ∪ ]2, ∞[
]-2, 2[
(2; arctg -16)
(-2; arctg 16)
]-∞ , 0[
]0, ∞[
aucun
(0; π/2)
5.
2
√
6.
max. abs. au point:
min. abs. au point:
7.
14,3°/s (l’angle augmente de 14,3° par seconde)
8.
-7,6°/s (l’angle diminue de 7,6° par seconde)
9. a)
ƒ’(x) =
4
1 - x2

√
(0,34; 3,17)
(1,57; 1,57)
; ƒ’’(x) =
b)
4x
(1 - x2)3

√
y
ƒ’(x) =
y
(1; π/2)
−1
1
(1 - x)(1 + x)
-2x
; ƒ’’(x) =
2
2(1 + x )
(1 + x2)2
(1; (−2+π)/4)
x
−π
(0; −3π/2)
(0; 0)
−2π
−3π
(−1; (2−π)/4)
(−1; −7π/2)
André Lévesque
6-67
x
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
Exercices de révision
_
1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R.
1 - cos x
x2
a)
lim
cosec x
x→ 0-
d)
lim
x→ 0
b)
sec x
lim
1
cos2 x
x→ 0
e)
3x2 - 4x
lim (sin x)(cos x)
x→ 0
c)
lim
x→ 0
f)
2x - sin x
lim
cos
x - 3x
x→ ∞
x + 2 sin x
x
2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.
a)
ƒ(x) = tg x - cotg x
b)
g(x) =
1
sin x + 2

√
3. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.
a)
sin x
y = 2 + cos x
e)
y = x√
cotg x2

b)
y = 2 cosec3 √
x
f)
y = ln3(sin2 x)
c)
y =
g)
y =
d)
y = sec3 2x - 3 sec 2x
h)
y = ex (sin 2x - 2 cos 2x)
sin5 x 2 sin3 x
+ sin x
5 3
4. Trouver
d2y
dx2 si y = cosec 3x.
5. Trouver
dy 
si y = tg3 2x
dx x = π/6
6. Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir
a)
y =
André Lévesque
1 + cos2 x
sin x 
√
tg3 x
tg2 3x
ln(cos 3x)
6 +
3
dy
dx
b)
y = (sin x)sin x
6-68
(sin x > 0)
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
7. Trouver les extremums relatifs de
y = 2 sin x - cos 2x
sur ]0, 2π[.
8. Tracer le graphique de la fonction
ƒ(x) = 8 cos x - 2 cos 2x sur [0, 2π]
si
ƒ’(x) = 8(sin x)(cos x - 1)
ƒ’’(x) = 8(2 cos x + 1)(cos x - 1)
_
9. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R .
a)
b)
arctg(cos x)

√
c)
(arcsin x - arccos x)
lim
x→ 1-
d)
lim
x→ 0
lim
x→ 1-
arcsin(1 + √
1 - x2 )

arctg x
lim
arccotg
x
x→ - ∞
10. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
arccos x
a) ƒ(x) = arcsin x
b)
arctg x
g(x) = 6 arccotg x - π
11. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.
a)
y = (arcsin x)(arccos x)
d)
y = arcsec√
x2 + 1

b)
y = (arctg 2x)3
e)
y = earcsin 3x
c)
y = arcsin tt +- 11
f)
y = x(arccotg x) + ln
1 + x2
√
( )
(t > 0)
12. La base d’un triangle rectangle est de 20 cm. Si la hauteur du
triangle augmente à raison de 5 cm par minute, à quelle vitesse
augmente l’angle opposé à la hauteur lorsque le triangle est isocèle.
(x < 0)
θ
20 cm
13. Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = arccotg(sin x) sur [0, 2π]
si
ƒ’(x) =
ƒ’’(x) =
André Lévesque
-cos x
1 + sin2 x
(sin x)(2 + cos2 x)
(1 + sin2 x)2
6-69
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
Réponses aux exercices de révision
1. a)
b)
c)
-∞
∞
2. a)
b)
continue sur ]0, 2π[ \ { π/2, π, 3π/2 }
continue sur ]0, 2π[
3. a)
2 cos x + 1
(2 + cos x)2
b)
d)
e)
f)
3
1/2
-4
-2/3
cotg x2 - x2(cosec2 x2)
e)
-3(cosec3 √ x )(cotg √ x )
x
√
cotg x2
√

f)
6 cotg x ln2(sin2 x)
c)
cos5 x
g)
tg3 3x
d)
6(tg3 2x)(sec 2x)
h)
5 ex sin 2x
4.
9(cosec 3x)(cotg2 3x + cosec2 3x)
5.
72
6. a)
1 + cos2 x 
sin x 
(sin x)(cos x) 3 sec2 x 
√
- tg x
ctg
x
tg3 x


1 + cos2 x
b)
7.
(sin x)sin x cos x (ln(sin x) + 1)
MIN REL: (7π/6, -3/2), (11π/6, -3/2)
MAX REL:
8.
(π/2, 3), (3π/2, -1)
y
(2π; 6)
π
x
(2π/3; −3)
(4π/3; −3)
(π; −10)
André Lévesque
6-70
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
9. a)
b)
√π

2
π
2
10. a) continue sur ]-1, 1[ sauf { 0 }
11. a)
arccos x - arcsin x
1 - x2
√

c)
∃/
d)
1
-2
b)
continue sur R sauf { √ 3 }
d)
-1
x2 + 1
b)
6(arctg 2x)2
1 + 4x2
e)
c)
1
(t + 1)√ t
f)
3 earcsin 3x
1 - 9x2

√
arccotg x
12. 7,16°/min (l’angle augmente de 7,16° par minute)
13.
y
(3π/2; 3π/4)
3π/4
π/2
(0; π/2)
(π; π/2)
(2π; π/2)
π/4
(π/2; π/4)
π/2
André Lévesque
π
3π/2
x
6-71
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