TDsuspension de voiture

MODÉLISATION D’UNE SUSPENSION DE VOITURE
T.D. G.E.I.I.
1. Modèle de voiture
Un modèle simpli…é de voiture peut être obtenu en supposant le véhicule soumis uniquement
à la force de traction u dûe au moteur (donc dans le sens du déplacement) et à la force
dx
aérodynamique de pénétration dans l’air F = f
= f x; si l’on suppose le déplacement
dt
rectiligne le long de l’axe x:
(a) Déterminer le transfert u ! x entre la force de traction u et la position x , en déduire
celui de u ! v = x entre la force de traction u et la vitesse v:
(b) Distinguer les variables des paramètres et préciser le rôle des di¤érentes variables.
2. Modèle de la suspension de voiture
La suspension de voiture est assurée d’une part par les quatre amortisseurs, chacun réalisant
l’absorption des chocs grâce à un frottement visqueux et présentant une force de rappel de
la liaison roue-caisse de coe¢ cient kv ; d’autre part grâce aux pneus, que l’on suppose avoir
une compressibilité su¢ sante pour que le frottement visqueux soit omis, chaque roue est donc
soumise à une force de rappel de coe¢ cient kr relativement à la route d’ordonnée r:
schéma de principe d’une suspension
Rappel :
loi de Hooke
force de rappel f = k(l
y)
Pr. I. Zambettakis
force de rappel
frottement visqueux :
B=
by
proportionnel à la vitesse de déplacement vertical de la caisse y;
frottement visqueux
(a) En notant L et l les longueurs à vide des ressorts kv et kr respectivement, écrire le bilan
statique des e¤orts et en déduire les positions d’équilibre vertical Y0 de la caisse (masse
M ) et y0 de la roue (masse m).
Remarque : on peut prendre r = 0 comme position d’équilibre de la route, ça ne change
rien à la généralité du problème.
(b) En dynamique : écrire les équation reliant les écarts Y = Y
positions par rapport à celles d’équilibre.
Y0 et y = y
y0 des
(c) Quel est l’ordre du système ?
(d) Préciser les variables d’entrée et de sortie.
(e) Donner les transferts r ! Y et r ! y:
Pr. I. Zambettakis
SOLUTION
1. Voiture
(a) Le transfert u ! x s’obtient en écrivant la loi fondamentale de la dynamique en translation
pour le mouvement rectiligne de la voiture le long de l’axe x soit :
m•
x=u
fx
on obtient donc l’équation di¤érentielle relative à la position :
f
u
x• + x =
m
m
et l’équation di¤érentielle relative à la vitesse s’écrit :
f
u
v+ v= ;
m
m
d’où les transferts :
1
1 1=f
m
x= v=
u avec = .
p
p1+ p
f
m
).
f
remarque 1 : Un système décrit par une équation di¤érentielle linéaire est un système
linéaire mais un système linéaire n’est pas nécessairement décrit par une équation différentielle.
Les paramètres étant constants, le système est dit stationnaire; s’ils étaient fonction du
temps uniquement le système serait dit linéaire non stationnaire; s’ils étaient fonction des
variables u; x ou v il serait dit non linéaire.
remarque 2 : ce modèle simpli…é de la voiture suppose, entre autres, qu’on a négligé
l’inertie rotationnelle des roues et qu’on a un écoulement laminaire du vent autour du
véhicule, donc une vitesse faible permettant d’utiliser le modèle linéaire F = f x:
(b) commande u
sorties x ou v = x
paramètres f et m ( ou 1=f et
2. Suspension
(a) Bilan statique des e¤orts
e¤orts à l’équilibre
Pr. I. Zambettakis
la loi fondamentale de la dynamique écrite, suivant l’axe vertical, pour la caisse puis pour
la roue lorsqu’il n’y a pas de mouvement conduit à :
0=
0=
M g + kv [L
mg kv [L
(Y0
(Y0
y0 )]
y0 )] + kr (l
(1)
y0 )
en sommant ces deux équations membre à membre on obtient :
y0 = l
(M + m)
g
kr
puis en reportant dans l’équation statique relative à M; :
Y0 = y 0 + L
Mg
kv
(b) En dynamique :
En écrivant soigneusement les élongations des ressorts à l’aide du schéma ci-dessous,
e¤orts en dynamique
la loi fondamentale de la dynamique conduit maintenant à :
8
< M Y• = M g + kv (L Y + y) b Y y
: m•
y=
mg
kv (L
Y + y) + b Y
y + kr (l
y + r)
:
(2)
Les équations relatives aux écarts s’obtiennent en faisant la di¤érence membre à membre
des équations dynamiques 2 avec les équations statiques 1 pour la caisse et pour la roue
respectivement, soit :
Pr. I. Zambettakis
M Y• =
M g + kv (L
Y + y)
0 =
M g + kv [L
(Y0
b Y
y
y0 )]
M Y• = kv ( y
Y)
b Y
M Y• = kv ( y
Y)
b
y
ou encore :
Y
(3)
y
car Y•0 = Y0 = y0 = 0:
de même pour la roue :
m•
y =
mg
kv (L
Y + y) + b Y
0 =
mg
kv [L
(Y0
y + kr (l
y0 )] + kr (l
m•
y=
kv ( y
Y)+b Y
m y• =
kv ( y
Y)+b
y + r)
y0 )
y + kr (r
y)
ou encore :
Y
y + kr (r
(4)
y)
car y•0 = Y0 = y0 = 0:
(c) Le système (3; 4) est constitué de deux équations di¤érentielles linéaires d’ordre 2, c’est
donc un système linéaire d’ordre 4.
(d) entrée r, le pro…l de la route;
sorties y et Y : c’est un système S.I.M.O..
Remarque : il ne s’agit cependant pas d’un système multivariable car seule une sortie est
commandable par l’entrée r, l’autre s’en déduit; un système multivariable doit comporter
plusieurs entrées, on réalise alors un découplage pour pouvoir commander séparément les
sorties avec des entrées di¤érentes : c’est la di¤érence entre le virage d’un avion de chasse
et celui d’un avion civil, pour lequel le roulis et le lacet sont découplés.
(e) Transferts
Le système (3; 4) s’écrit à l’aide de l’opérateur de dérivation p :
M p2 Y kv ( y
mp2 y + kv ( y
Y ) + bp ( Y
Y ) bp ( Y
y) = 0
y) + kr y = kr r
Pr. I. Zambettakis
soit sous forme matricielle :
A B
C D
avec :
A = M p2 + bp + kv ;
Donc :
B=C=
Y
y
bp
kv ;
1
=
0
kr r
D = mp2 + bp + kv + kr :
Y
y
=
Y =
Akr
Bkr
r et y =
r
AD BC
AD BC
AD
BC
D
C
B
A
0
kr r
soit :
transferts dont le dénominateur AD
BC est bien un polynôme d’ordre 4.
Pr. I. Zambettakis