TDsuspension de voiture

MODÉLISATION D’UNE SUSPENSION DE VOITURE
T.D. G.E.I.I.
1. Modèle de voiture
Un modèle simpli…é de voiture peut être obtenu en supposant le véhicule soumis uniquement
à la force de traction udûe au moteur (donc dans le sens du déplacement) et à la force
aérodynamique de pénétration dans l’air F=fdx
dt =fx; si l’on suppose le déplacement
rectiligne le long de l’axe x:
(a) Déterminer le transfert u!xentre la force de traction uet la position x, en déduire
celui de u!v= xentre la force de traction uet la vitesse v:
(b) Distinguer les variables des paramètres et préciser le rôle des di¤érentes variables.
2. Modèle de la suspension de voiture
La suspension de voiture est assurée d’une part par les quatre amortisseurs, chacun réalisant
l’absorption des chocs grâce à un frottement visqueux et présentant une force de rappel de
la liaison roue-caisse de coe¢ cient kv;d’autre part grâce aux pneus, que l’on suppose avoir
une compressibilité su¢ sante pour que le frottement visqueux soit omis, chaque roue est donc
soumise à une force de rappel de coe¢ cient krrelativement à la route d’ordonnée r:
schéma de principe d’une suspension
Rappel :
loi de Hooke
force de rappel f=k(ly)
Pr. I. Zambettakis

force de rappel
frottement visqueux :
B=by
proportionnel à la vitesse de déplacement vertical de la caisse y;
frottement visqueux
(a) En notant Let lles longueurs à vide des ressorts kvet krrespectivement, écrire le bilan
statique des e¤orts et en déduire les positions d’équilibre vertical Y0de la caisse (masse
M) et y0de la roue (masse m).
Remarque : on peut prendre r= 0 comme position d’équilibre de la route, ça ne change
rien à la généralité du problème.
(b) En dynamique : écrire les équation reliant les écarts Y =YY0et y =yy0des
positions par rapport à celles d’équilibre.
(c) Quel est l’ordre du système ?
(d) Préciser les variables d’entrée et de sortie.
(e) Donner les transferts r!Y et r!y:
Pr. I. Zambettakis

SOLUTION
1. Voiture
(a) Le transfert u!xs’obtient en écrivant la loi fondamentale de la dynamique en translation
pour le mouvement rectiligne de la voiture le long de l’axe xsoit :
m•x=ufx
on obtient donc l’équation di¤érentielle relative à la position :
•x+f
mx=u m
et l’équation di¤érentielle relative à la vitesse s’écrit :
v+f
mv=u m;
d’où les transferts :
x=1
pv=1 p
1=f
1 + puavec =m f.
(b) commande usorties xou v= xparamètres fet m( ou 1=f et m
f).
remarque 1 : Un système décrit par une équation di¤érentielle linéaire est un système
linéaire mais un système linéaire n’est pas nécessairement décrit par une équation dif-
férentielle.
Les paramètres étant constants, le système est dit stationnaire; s’ils étaient fonction du
temps uniquement le système serait dit linéaire non stationnaire; s’ils étaient fonction des
variables u; x ou vil serait dit non linéaire.
remarque 2 : ce modèle simpli…é de la voiture suppose, entre autres, qu’on a négligé
l’inertie rotationnelle des roues et qu’on a un écoulement laminaire du vent autour du
véhicule, donc une vitesse faible permettant d’utiliser le modèle linéaire F=fx:
2. Suspension
(a) Bilan statique des e¤orts
e¤orts à l’équilibre
Pr. I. Zambettakis

la loi fondamentale de la dynamique écrite, suivant l’axe vertical, pour la caisse puis pour
la roue lorsqu’il n’y a pas de mouvement conduit à :
0 = Mg +kv[L(Y0y0)]
0 = mg kv[L(Y0y0)] + kr(ly0)(1)
en sommant ces deux équations membre à membre on obtient :
y0=l(M+m)
kr
g
puis en reportant dans l’équation statique relative à M; :
Y0=y0+LMg
kv
(b) En dynamique :
En écrivant soigneusement les élongations des ressorts à l’aide du schéma ci-dessous,
e¤orts en dynamique
la loi fondamentale de la dynamique conduit maintenant à :
8
<
:
M• Y=Mg +kv(LY+y)b Yy
m•y=mg kv(LY+y) + b Yy+kr(ly+r):(2)
Les équations relatives aux écarts s’obtiennent en faisant la di¤érence membre à membre
des équations dynamiques 2 avec les équations statiques 1 pour la caisse et pour la roue
respectivement, soit :
Pr. I. Zambettakis

M• Y=Mg +kv(LY+y)b Yy
0 = Mg +kv[L(Y0y0)]
M• Y=kv(y Y )b Yy
ou encore :
M • Y=kv(y Y )b Yy(3)
car • Y0= Y0= y0= 0:
de même pour la roue :
m•y=mg kv(LY+y) + b Yy+kr(ly+r)
0 = mg kv[L(Y0y0)] + kr(ly0)
m•y=kv(y Y ) + b Yy+kr(ry)
ou encore :
m•y=kv(y Y ) + b Yy+kr(ry)(4)
car •y0= Y0= y0= 0:
(c) Le système (3;4) est constitué de deux équations di¤érentielles linéaires d’ordre 2, c’est
donc un système linéaire d’ordre 4.
(d) entrée r, le pro…l de la route; sorties y et Y : c’est un système S.I.M.O..
Remarque : il ne s’agit cependant pas d’un système multivariable car seule une sortie est
commandable par l’entrée r, l’autre s’en déduit; un système multivariable doit comporter
plusieurs entrées, on réalise alors un découplage pour pouvoir commander séparément les
sorties avec des entrées di¤érentes : c’est la di¤érence entre le virage d’un avion de chasse
et celui d’un avion civil, pour lequel le roulis et le lacet sont découplés.
(e) Transferts
Le système (3;4) s’écrit à l’aide de l’opérateur de dérivation p:
Mp2Y kv(y Y ) + bp (Y y) = 0
mp2y +kv(y Y )bp (Y y) + kry =krr
Pr. I. Zambettakis