Formulaire Applications linéaires

-Concours 2018 18
Applications linéaires : l’essentiel en une page
Eet Fdésignent deux K-espaces vectoriels et fune application linéaire de Edans F.
Définition. fest linéaire si : @pu, vqPE2,@p, µqPK2,fpu`µvq“fpuq`µfpvq.
Noyau. Kerf“tuPE,fpuq“0u.Kerfest un s.e.v. de E.Kerf“0ôfest injective.
Image. Im f“tvPF, DuPE, fpuq“vu“tfpuq,u PEu. Im fest un s.e.v. de F, et : Im f“Fôfest surjective.
Si Eest de dimension finie et a pour famille génératrice pu1,u
2,...,u nq, Im f“Vect pfpu1q,fpu2q,¨¨¨,fpunqq.
Formule du rang. Si Eest de dimension finie : dim Kerf`dim Im f“dim E.
Propriété. Si Eet Fsont de même dimension finie :fest injective ôfest surjective.
Droites, plans, hyperplans.
–Un s.e.v. de Eest une droite s’il est de dimension 1,unplans’ilestdedimension2,unhyperplans’ilest
le supplémentaire d’une droite dans E.SiEest de dimension finie, un hyperplan de Eest un s.e.v. de Ede
dimension n´1.
–Tout vecteur non nul d’une droite vectorielle en forme une base.
–Les noyaux des formes linéaires non nulles sur Esont les hyperplans de E.Démonstrationàconnaître,àl’aide
de la formule du rang et du théorème de la base incomplète.
Endo-, iso-, automorphismes.
–fest un endomorphisme de Esi fest linéaire de Edans E.
–fest un isomorphisme de Esi fest linéaire et bijective de Edans F.
–fest un endomorphisme de Esi fest linéaire bijective de Edans E.
–fest une forme linéaire sur Esi fest linéaire de Edans K.
Caractérisation des isomorphismes. fest un isomorphisme de Edans Fsi et seulement si l’une de ces
conditions (équivalentes) est remplie :
–@vPF, D!uPE,fpuq“v.
– Il existe g,linéairedeFdans E,tellequefog“id et gof “id.
–fest injective (Kerf“t0u)etfest surjective (Im f“F).
Si dim E“dim F,fest un isomorphisme si, et seulement si :
–fest injective ou surjective, les deux propositions étant alors équivalentes.
–ftransforme une base (ou "toute base") de Een une base de F.
–la matrice représentative de fest inversible.
Projecteurs. Soient E1et E2deux s.e.v. supplémentaires dans E.ToutélémentdeEs’écrit sous forme x1`x2,
où x1PE1et x2PE2.Laprojectionpsur E1parallèlement à E2associe à tout xPEsa composante x1PE1.Ona:
–Kerp“E2,Im p“E1et ainsi : Kerp‘Im p“E.
–Kerpp´idq“E1et Im pp´idq“E2,etainsi:Kerpp´idq‘Im pp´idq“E.
–pest un projecteur si et seulement si pest linéaire et vérifie p˝p“p.
Symétries. En conservant les notations précédentes, la symétrie sd’axe E2associe à tout xPEécrit sous forme
x“x1`x2,l’élémentx1´x2.Ona:
–Kerps´idq“E2,Kerps´idq“E1et ainsi : Kerps´idq‘Kerps`idq“E.
– Im ps´idq“E2et Im ps`idq“E1, et ainsi : Im ps´idq‘Im ps`idq“E.
–sest une symétrie si et seulement si sest linéaire et vérifie s˝s“id.