probabilites(2) :loi binomiale

PROBABILITES(2) :LOI BINOMIALE
I. SCHEMA DE BERNOULLI
A) EPREUVE DE BERNOULLI
Définition : Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui ne compte que 2
issues
succès ( S ) de probabilité p
échec ( S ) de probabilité 1 – p
Loi de Bernoulli :
La loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli
de paramètre p est :
issue
S
S
Total:
Prob
p
…........
1
Exemple 1 : Un archer a une probabilité de 0,7 pour atteindre une cible. On appelle succès l’événement « il
atteint la cible » et échec « il rate la cible ». Cette expérience ne comporte que deux issues, c'est donc une
épreuve de Bernoulli.
…... S
….....
E
B) SCHEMA DE BERNOULLI
Définition 2 : On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon
identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli.
S
S
p
S
1-p
Remarque : Une issue de cette expérience aléatoire est une liste ordonnée de n éléments pris parmi{ S ; E }.
Exemple : ( S, S, E, ….., S, E, S)
retour exemple 1 : L'archer tire trois . Ces épreuves sont indépendantes. On est donc en présence d’un schéma
de Bernoulli de paramètres 3 et 0,7 .On peut représenter les éventualités sur un arbre pondéré :
issue
Probabilité
S
0,7
S
E
0,7
0,3
0,7
S
0,7
E
0,3
0,7
E
S
E
(S,E,S)
(S,E,E)
S
E
(E,S,S)
(E,S,E)
S
(E,E,S)
(E,E,E)
0,3
0,7
0,3
(S,S,S)
(S,S,E)
S
0,3
0,3
0,7
E
0,3
E
LOI BINOMIALE
II .
A) DEFINITION
Définition 3 : La loi binomiale de paramètres n et p, notée Bn , p est la loi de la variable X qui donne le
nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p.
Exemple : L' archer : X suit la loi binomiale B(3 ; 0,7)
L'archer tire trois. Avec 3 tirs successifs, le nombre de succès varie de 0 à 3.
X peut prendre 4 valeurs : 0, 1,2 ou 3.
La loi de probabilité associée est
Valeurs prises par X
P(X= x i ) = p i
0
1
2
….......
…...........
….........
3
….......
B) ESPERANCE
Calculons la moyenne espérée pour l'archer : X = 0 × (0,3)^3 + ...+ 3 ×(0,7)^3 = …........
On remarque que n×p= …...........
Propriété (admise): Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n;p)
- L'espérance est E(X)= X = …..............
- La variance est V  X =np 1 – p .
C) COEFFICIENTS BINOMIAUX
Exemple 2 : Un DS comporte un Q.C.M. Il y a 4 questions indépendantes, et pour chaque question,il y
a 5 propositions dont une seule est juste. Un élève décide de répondre au hasard (la probabilité qu'il
choisisse la bonne réponse à une question est de p=0,2).
A chaque question, la réponse est juste ou fausse.
Les réponses sont indépendantes et sont répétées 4 fois, c'est bien un schéma de Bernoulli.
La variable X compte le nombre de sucées lors des 4 questions, X suit bien une loi binomiale B(4 ; 0,2).
S
S
E
0,2
S
S
E
0,2
E
0,8
0,2
S
0,2
E
0,8
S
E
S
E
S
E
s
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
0,8
s
S
0,2
E
E
s
0,8
S E
E
E
La loi de probabilité associée est
Valeurs prises par X
0
1
2
3
4
P(X= x i ) = p i
Remarques :
-Nous observons une symétrie des coefficients 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1.
-Ces coefficients correspondent au nombre de chemins qui réalisent exactement k succès parmi les 4 succès
possibles.
Définition 4 : n ∈ N et k un entier compris entre 0 et n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté
on lit k parmi n. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
  et
n
k
Exemples :
( ) =......... ; ( ) =........... ; ( ) =.............. ; ( ) =..........; ( ) =.......
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
propriété 1: X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p)
–
pour tout entier k , 0  k  n,
P(X = k) = ….................................................
Avec exemple 2 : P(X=3 ) =
Application : retour QCM avec 20 questions. X suit une loi binomiale B(20;0,2)
L'arbre devient impossible, on utilise donc la formule (intégrée dans la calculatrice)
Calculer :
P(X= 4) ≈0,218
P(X 8) ≈0,990
PROPRIETES DES COEFFICIENTS
III .
Propriétés : 1) ∀ n ∈ℕ*
=

n
k

n
0
n
et 1 =
2) ∀ n ∈ℕ , ∀ k ∈ℕ , k ⩽n
(symétrie des coefficients)
()
( ) + ( k n+ 1) = …...............
3) ∀ n ∈ℕ , ∀ k ∈ℕ , 1⩽k ⩽n – 1
n
=..............................
k
n
k
Preuve :
Propriété : Le triangle de Pascal
k
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A l'intersection de la ligne « n » et de la colonne « k », on lit
n
k
n
n
La prop1/ permet de placer
=1 et
=1.
0
n
()
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5 + 10
10
5
1
=


La prop3/ permet de compléter les autres cases.
La prop2/ permet de vérifier la symétrie des coefficients.
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1