probabilites(2) :loi binomiale

I. SCHEMA DE BERNOULLI
A) EPREUVE DE BERNOULLI
Définition : Une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
est une expérience aléatoire qui ne compte que 2
issues
succès ( S ) de probabilité
p
échec (
S
) de probabilité
1– p
Loi de Bernoulli :
La loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli
de paramètre
p
est :
issue S
S
Total:
Prob
p
…........ 1
Exemple 1 : Un archer a une probabilité de 0,7 pour atteindre une cible. On appelle succès l’événement « il
atteint la cible » et échec « il rate la cible ». Cette expérience ne comporte que deux issues, c'est donc une
épreuve de Bernoulli.
…... S
…..... E
B) SCHEMA DE BERNOULLI
Définition 2 : On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon
identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli.
Remarque : Une issue de cette expérience aléatoire est une liste ordonnée de
n
éléments pris parmi{
S
; E }.
Exemple : ( S, S, E, ….., S, E, S)
retour exemple 1 : L'archer tire trois . Ces épreuves sont indépendantes. On est donc en présence d’un schéma
de Bernoulli de paramètres 3 et 0,7 .On peut représenter les éventualités sur un arbre pondéré :
issue Probabilité
S
0,7
S E
0,7 0,3
0,7 S
S E E
0,7 0,3 0,3
S
0,7 E
0,3 0,7 S 0,3
E 0,3 0,7 S
E 0,3 E
(S,S,S)
(S,S,E)
(S,E,S)
(S,E,E)
(E,S,S)
(E,S,E)
(E,E,S)
(E,E,E)
S
S
S
p p p
1-p
PROBABILITES(2) :LOI BINOMIALE

II . LOI BINOMIALE
A) DEFINITION
Définition 3 : La loi binomiale de paramètres n et p, notée
Bn , p
est la loi de la variable X qui donne le
nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p.
Exemple : L' archer : X suit la loi binomiale B(3 ; 0,7)
L'archer tire trois. Avec 3 tirs successifs, le nombre de succès varie de 0 à 3.
X peut prendre 4 valeurs : 0, 1,2 ou 3. La loi de probabilité associée est
Valeurs prises par X 0 1 2 3
P(X=
xi
) =
pi
…....... …........... …......... ….......
B) ESPERANCE
Calculons la moyenne espérée pour l'archer :
X
= 0 × (0,3)^3 + ...+ 3 ×(0,7)^3 = …........
On remarque que n×p= …...........
Propriété (admise): Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n;p)
- L'espérance est E(X)=
X
= …..............
- La variance est
VX=np 1– p
.
C) COEFFICIENTS BINOMIAUX
Exemple 2 : Un DS comporte un Q.C.M. Il y a 4 questions indépendantes, et pour chaque question,il y
a 5 propositions dont une seule est juste. Un élève décide de répondre au hasard (la probabilité qu'il
choisisse la bonne réponse à une question est de p=0,2).
A chaque question, la réponse est juste ou fausse.
Les réponses sont indépendantes et sont répétées 4 fois, c'est bien un schéma de Bernoulli.
La variable X compte le nombre de sucées lors des 4 questions, X suit bien une loi binomiale B(4 ; 0,2).
S
S E
0,2 S
S E s E
0,2 0,8 E
0,2 S S
S E E E
0,2 0,8 0,8 S
0,2 S E
s
E S E E
0,8 0,2 0,8 s
0,8 0,2 S S E
E 0,8 E E
La loi de probabilité associée est
Valeurs prises par X 0 1 2 3 4
P(X=
xi
) =
pi
Remarques :
-Nous observons une symétrie des coefficients 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1.
-Ces coefficients correspondent au nombre de chemins qui réalisent exactement k succès parmi les 4 succès
possibles.
Définition 4 : n ∈ N et k un entier compris entre 0 et n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté
n
k
et
on lit k parmi n. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.

Exemples :
(
4
0
)
=......... ;
(
4
1
)
=........... ;
(
4
2
)
=.............. ;
(
4
3
)
=..........;
(
4
4
)
=.......
propriété 1: X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p)
–
pour tout entier k , 0 k  n, P(X = k) = ….................................................
Avec exemple 2 : P(X=3 ) =
Application : retour QCM avec 20 questions. X suit une loi binomiale B(20;0,2)
L'arbre devient impossible, on utilise donc la formule (intégrée dans la calculatrice)
Calculer : P(X= 4) ≈0,218 P(X 8) ≈0,990
III . PROPRIETES DES COEFFICIENTS
n
k
Propriétés : ) ∀1
n
∈ℕ*
n
0
= et
n
1
=
2) ∀
n
, ∈ℕ ∀
k
∈ℕ ,
k⩽n
(
n
k
)
=..............................
(symétrie des coefficients)
3) ∀
n
, ∈ℕ ∀
k
∈ℕ ,
1⩽k⩽n – 1
(
n
k
)
+
(
n
k+1
)
= …...............
Preuve :
Propriété : Le triangle de Pascal
A l'intersection de la ligne « n » et de la colonne « k », on lit
(
n
k
)
La prop1/ permet de placer
n
0
=1 et
n
n
=1.
La prop3/ permet de compléter les autres cases.
La prop2/ permet de vérifier la symétrie des coefficients.
012345678
0 1
1 1 1
2 1 2 1
31331
414641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
k
n
+
=