Pour être complet, il faut préciser • que le sinus d`un angle inscrit

Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Jean-Pierre Verbeque 1 / 10
Trigonométrie 1.
Enoncez et démontrez l’identité qui exprime
sin a +b
( )
.
Pour être complet, il faut préciser
• que le sinus d'un angle inscrit dans un cercle de diamètre 1, c'est la corde de l'angle
• que des angles inscrits qui interceptent le même arc (ou la même corde), sont égaux
et il faut rappeler la formule du triangle rectangle
c=a!cos!

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Trigonométrie 2.
a) Un observateur, dont l’oeil est situé au ras du sol à 72m du pied d’une tour verticale, observe
celle-ci sous un angle de 43°15’. Quelle est la hauteur de cette tour ?
b) Vérifiez l’identité:
sin a +sin 2a
1+cos a +cos 2a
=tga
a) Voici un schéma de la situation :
Notons h la hauteur de la tour et d la distance de l’oeil au pied de la tour.
!!!h=d"tg43°15 ' =72m "0, 94071 =67, 73m
b) Calculons :
sin a +sin 2a
1+cos a +cos 2a =
Carnot
duplication sin a +2 sin a cos a
cos a +2 cos2a=
mise!en
évidence
sin a 1+2 cos a
( )
cos a 1 +2 cos a
( )
=
simplification
sin a
cos a =tga
.

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Trigonométrie 3a.
Résolvez l’équation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
2 sin2x+3cos2x=2, 75
2 sin2x+3cos2x=2, 75
.
Vu que
2 sin2x+2 cos2x=2
(formule fondamentale),
on déduit
cos2x=0, 75
et
cos x = ± 3
2
.
Dès lors,
x=k!±!
6
où
k!!
.

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Trigonométrie 3b.
Résolvez l’équation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
2 sin 2x +3cos 2x =2, 75
Calculons
cos 2x +2
3sin 2x =2, 75 3
prenons!!=0, 588!de!sorte!que!tg!=2
3
en multipliant les deux membres de l’égalité par
cos ! " 0, 832
on obtient:
cos 2x cos+sin 2x sin !=0, 7627
cos 2x " !
( )
=0, 7627
2x " ! =2k#±0, 7033
2x =2k#±0, 7033 +0, 588
2x =2k#+1, 291!ou!2x =2k#"0,1153
x=k#+0, 646!ou!x=k#"0, 058

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Trigonométrie 3c.
Résolvez l’inéquation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
tg 2x !1
( )
>2
Calculons :
tg 2x !1
( )
>2
ssi!2x !1="+k#!avec!1,107 <"<#
2
ssi!x=$+k#
2
!avec!1, 054 <$<1, 285