Pour être complet, il faut préciser • que le sinus d`un angle inscrit

Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Trigonométrie 1.
Enoncez et démontrez l’identité qui exprime sin ( a + b ) .
Pour être complet, il faut préciser
•
•
que le sinus d'un angle inscrit dans un cercle de diamètre 1, c'est la corde de l'angle
que des angles inscrits qui interceptent le même arc (ou la même corde), sont égaux
et il faut rappeler la formule du triangle rectangle
c = a!cos!
Jean-Pierre Verbeque
1 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Trigonométrie 2.
a) Un observateur, dont l’oeil est situé au ras du sol à 72m du pied d’une tour verticale, observe
celle-ci sous un angle de 43°15’. Quelle est la hauteur de cette tour ?
sin a + sin 2a
b) Vérifiez l’identité:
= tga
1 + cos a + cos 2a
a)
Voici un schéma de la situation :
Notons h la hauteur de la tour et d la distance de l’oeil au pied de la tour.
!!!h = d " tg43°15 ' = 72m " 0, 94071 = 67, 73m
b)
Calculons :
sin a (1 + 2 cos a )
sin a + sin 2a duplication sin a + 2 sin a cos a
sin a
=
=
=
= tga .
2
Carnot
mise
!
en
simplification
1 + cos a + cos 2a
cos a + 2 cos a évidence cos a (1 + 2 cos a )
cos a
Jean-Pierre Verbeque
2 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Trigonométrie 3a.
Résolvez l’équation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
2 sin 2 x + 3cos 2 x = 2, 75
2 sin 2 x + 3cos 2 x = 2, 75 .
Vu que 2 sin 2 x + 2 cos 2 x = 2 (formule fondamentale),
3
on déduit cos 2 x = 0, 75 et cos x = ±
.
2
!
Dès lors, x = k! ± où k !! .
6
Jean-Pierre Verbeque
3 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Trigonométrie 3b.
Résolvez l’équation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
2 sin 2x + 3cos 2x = 2, 75
Calculons
2
2, 75
cos 2x + sin 2x =
3
3
2
3
en multipliant les deux membres de l’égalité par cos ! " 0, 832
on obtient:
cos 2x cos+ sin 2x sin ! = 0, 7627
prenons!! = 0, 588!de!sorte!que!tg! =
cos ( 2x " ! ) = 0, 7627
2x " ! = 2k# ± 0, 7033
2x = 2k# ± 0, 7033 + 0, 588
2x = 2k# + 1, 291!ou!2x = 2k# " 0,1153
x = k# + 0, 646!ou!x = k# " 0, 058
Jean-Pierre Verbeque
4 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Trigonométrie 3c.
Résolvez l’inéquation suivante et représentez ses solutions sur le cercle trigonométrique :
tg ( 2x ! 1) > 2
Calculons :
tg ( 2x ! 1) > 2
ssi!2x ! 1 = " + k#!avec!1,107 < " <
#
2
#
ssi!x = $ + k !avec!1, 054 < $ < 1, 285
2
Jean-Pierre Verbeque
5 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Continuité et limites 1.
1) Définissez dans un contexte adéquat : f est continue au point a.
1
1
2) Démontrez que f ( x ) = x + est continue au point 5.
2
2
1)
Voir cours.
2)
!!!B "B0 ( 3) , #A "B0 ( 5 ) : f ( A ) $ B
!!B !B0 ( 3)
*!B = ]3 ! ", 3 + "[ !avec!" > 0
Prenons A + ]5 ! ", 5 + "[ avec 0 < ! < 2" et prouvons que A convient.
!!f ( A ) ! B
!!x !A
!!f ( x ) !B
Raisonnons :
x !A
!!5 " # < x < 5 + #
!!5 " 2$ < x < 5 + 2$
5
x 5
!! " $ < < " $
2
2 2
x 1
!!3 " $ < + < 3 + $
2 2
!!f ( x ) !B!!!!!!!!!!!
Jean-Pierre Verbeque
6 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Continuité et limites 2.
#x + 3!si!x < !1
%1
1
%
Voici la fonction numérique réelle définie par f ( x ) = $ x + !si!1 < x .
2
%2
2
%&x !si!!1 " x < 1
a) Faites un graphe cartésien soigné de f.
b) Quel est le domaine de définition de f ?
c) Quel est le domaine de continuité de f ?
d) Déterminez lim f;!lim f;!lim f et justifiez vos réponses.
!1
0
1
a)
b)
domf = ! \ {1}
c)
dom c f = ! \ {!1,1}
d)
lim f n’existe pas pcq les limites de f à gauche et à droite de –1 sont différentes.
!1
A gauche elle égale 2 et à droite elle égale 1.
lim f = 0 pcq f est continue en 0 et f(0) = 0.
0
lim f = 1 pcq les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1.
1
Jean-Pierre Verbeque
7 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Continuité et limites 3.
1)
2)
3)
3x 2 ! 7x + 2
2x 2 ! 7x + 6
Déterminez le domaine de définition de f.
Démontrez que f est partout continue.
Expliquez pourquoi lim f a un sens.
4)
Calculez lim f et justifiez vos calculs.
Voici la fonction numérique réelle f ( x ) =
1)
2)
3)
4)
2
2
{
}
$3 '
domf = x !! 2x 2 " 7x + 6 # 0 = ! \ % , 2 (
&2 )
f est partout continue, comme quotient de deux fonctions continues (fonctions polynômes).
lim f a un sens pcq 2 !domf et 2 adhère à domf.
2
3x 2 ! 7x + 2 (x ! 2)(3x ! 1) 3x ! 1
=
=
!si!x " 2
2x 2 ! 7x + 6 (x ! 2)(2x ! 3) 2x ! 3
3x ! 1
Considérons la fonction g(x) =
.
2x ! 3
Visiblement, g prolonge f en 2 et g est continue
Donc : lim f = g(2) = 5
f (x) =
2
Jean-Pierre Verbeque
8 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Culture générale.
Justifiez :
1
a)
n’existe pas
0
b) # ! = # "
c) ! " 3,14
d) La composition des fonctions est une loi de composition
e) Identité, formule et équation sont trois notions différentes.
Ces questions ont été traitées en classe et devraient se retrouver au cahier.
a)
1
est une écriture quiu représente l’inverse de 0 pour la multiplication,
0
càd le nombre réel x tel que x ! 0 = 1 . Ce nombre n’existe pas puisque !x "! :!x # 0 = 0 .
b)
Il y a une bijection entre !!et!" , par exemple
$x
&& 2 !si!x!est!pair
b : ! !!
" ",!x # b ( x ) = %
&# x + 1 !si!x!est!impair
&' 2
Donc # ! = # " .
c)
π est un nombre irrationnel et 3,14 est un nombre rationnel.
Or ! ! I = " . Donc π ≠ 3,14.
d)
Notons F l’ensemble des fonctions.
La composée des fonctions f et g étant une fonction notée g ! f on met ainsi en évidence la loi de
# F ,!( f,g ) " ! ( f,g ) = g ! f
composition ! : F ! F ""
e)
Identité = Egalité vérifiée pour toutes les valeurs de la ou des variable(s)
EX : sin 2 x + cos 2 x = 1 est vérifiée pour tout réel x.
Equation = Egalité vérifiée pour certaines valeurs de la ou des variable(s)
EX : 3x + 2y = 0 est vérifiée pour tous les couples (x,y) multiples de (–2,3)
Formule = Expression concise, générale (souvent symbolique), définissant avec précision soit des
relations fondamentales entre termes qui entrent dans la composition d'un tout, soit les règles à
suivre pour un type d'opérations. (C’est tellement bien dit par Le Petit Robert)
EX en Chimie, H 2 O est la formule de l’eau.
EX en Physique, P = mg est la formule qui exprime le poids en fonction de la masse.
n
EX en Mathématique, ( x + a ) = ! Cin a i x n"i est la formule du binôme de Newton.
n
i=0
Jean-Pierre Verbeque
9 / 10
Une correction du CS de mathématiqu
du 10 décembre 2008 en 5SM-FM
Algèbre
Voici le plan usuel π et c un de ses points.
Notons Rc l’ensemble des rotations du plan de centre c.
Notons r! la rotation de centre c et d’angle ! .
Notons ! la composition des fonctions.
1) Définissez r! ! r"
2)
1)
Prouvez que ( Rc ,!) est un groupe commutatif.
r! ! r" = r"+!
La composée de la rotation d’angle α suivie de la rotation d’angle β égale la rotation d’angle α+β.
Insistons sur le fait que ces rotations sont centrées au même point c de π..
2)
(a) La composition des rotations de centre c est interne (par définition) et partout définie (car
l’addition des réels est partout définie).
(b) La composition des rotations de centre c est associative pcq la composition des fonctions est
associative (et aussi pcq l’addition des réels est associative).
(c) La composition des rotations de centre c admet un élément neutre, à savoir la rotation d’angle 0
(qui n’est autre que l’identité sur π).
(d) Chaque rotation r! de centre c admet une inverse pour la composition, à savoir r!"
(e) La composition des rotations de centre c est commutative pcq l’addition des réels est commutative.
En langage symbolique :
(
)
# Rc , rx , ry " rx ! ry = rx+y
(a) ! : Rc ! Rc ""
(b) !a, b, c "Rc : ( a ! b ) ! c = a ! ( b ! c )
(c) !e "Rc , #a "Rc : a ! e = e ! a!!(e = 1$ = l’identité sur π = la rotation d’angle 0 )
(d) !a "Rc , #b "Rc : a ! b = b ! a = 1$ ( a étant la rotation d’angle α, b est la rotation d’angle −α )
(e) !a, b "Rc : a ! b = b ! a
Jean-Pierre Verbeque
10 / 10