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PSI* 11-12
– DS N°7 –
DS n°7 ( le 10/03/2012)
Calculatrices autorisées.
Un problème au choix.
PROBLÉME I (CCP MP 2008) MATRICES DONT LES VALEURS PROPRES SONT SUR LA DIAGONALE
Les matrices diagonales et les matrices triangulaires sont des exemples triviaux de matrices ayant leurs
valeurs propres sur la diagonale. Ce problème s’intéresse aux matrices vérifiant cette particularité.
Dans ce problème, toutes les matrices sont à coefficients réels et n est un entier, n ¾ 2 . On dira
qu’une matrice A = (ai j) de M n (R) est une matrice à diagonale propre si son polynôme caractéristique
est scindé sur R et si ses termes diagonaux sont ses valeurs propres avec le même ordre de multiplicité,
c’est-à-dire si le polynôme caractéristique de A est
χA (X) =
n €
Y
i=1
Š
ai,i − X
On pourra noter en abrégé : A est une MDP pour A est une matrice à diagonale propre. On notera En
l’ensemble des matrices de M n (R) à diagonale propre.
I. EXEMPLES


1 −1
α


−α 
1. Soit α un réel et M(α) = 0 2
1 1 2−α
a) Calculer, en donnant le détail des calculs, le polynôme caractéristique de la matrice M(α) .
Démontrer que, pour tout α , la matrice M(α) est une matrice à diagonale propre.
b) Quelles sont les valeurs de α pour lesquelles la matrice M(α) est diagonalisable ?


0 0 −1


2. On considère la matrice A = 0 0 0  . Cette matrice antisymétrique A est-elle une matrice à
1 0 0
diagonale propre ?
3. Cas n = 2 :
Déterminer E2 puis montrer que E2 est une partie fermée de M2 (R) .
II. TEST DANS LE CAS n = 3
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice à diagonale propre soit inversible.
Donner un exemple de matrice à diagonale propre (non diagonale) de M3 (R) , inversible et telle que
A−1 est également une matrice à diagonale propre. On donnera A−1 .
5. Soit A = (ai j ) une matrice de M3 (R) , démontrer que A est une matrice à diagonale propre si et
n
Y
seulement si, elle vérifie les deux propriétés suivantes : det A =
ai,i et a12 a21 + a13 a31 + a23 a32 = 0
i=1
6. Utilisation de la calculatrice
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a) Écrire un algorithme en français qui, à partir d’une matrice A = (ai j ) ∈ M3 (R) , teste si la matrice
est ou n’est pas une matrice à diagonale propre. On considère que l’algorithme suppose connu le
calcul du déterminant.
b) Écrire ensuite cet algorithme sur la calculatrice (il n’est pas demandé d’écrire sur la copie le
programme en langage calculatrice). Parmi les matrices suivantes, indiquer les matrices à diagonale
propre :






−1 0 3
5 2 2
1 −1 4






A1 = −3 2 3 A2 = −8 4 0 A3 = 0 2 −4
0 0 2
1 1 4
1 1 −2






4
2 0
1 1 1
2
0 2






2 0 A5 = −1 1 1 A6 = −2 4 2
A4 =  0
−2 −2 2
−2 3 6
2 −2 2




0 1 0
0 1 0




A7 = 0 2 1 A8 = 0 0 0
1 0 1
1 0 3
c) Conjecturer une condition nécessaire et suffisante sur les produits a12 a21 ; a13 a31 et a23 a32 pour
qu’une matrice A = (ai j ) ∈ M3 (R) à diagonale propre inversible soit telle que A−1 soit également
une matrice à diagonale propre (on demande juste de donner cette conjecture sans chercher à la
prouver).
d) Question subsidiaire : Démontrer votre conjecture précédente.
III. EXEMPLES DE MATRICES PAR BLOCS
–
™
A B
7. Si M =
est une matrice de M n (R) par blocs (les matrices A et C étant des matrices carrées),
0 C
démontrer que
det M = (det A)(det C)
–
™
–
™
Ir 0
A B
(on pourra utiliser les matrices par blocs
et
en donnant des précisions sur les tailles
0 C
0 Is
des matrices qui interviennent).
8. Donner un exemple d’une matrice M à diagonale propre de M4 (R) (matrice 4 × 4 ) dans chacun des
cas suivants :
a) La matrice M contient treize réels non nuls (on expliquera brièvement la démarche).
–
™
A B
b) M =
où les matrices A , B et C sont toutes des matrices de M2 (R) ne contenant aucun
0 C
terme nul (on expliquera brièvement la démarche).
IV. QUELQUES PROPRIéTéS
9. Si A est une matrice de M n (R) à diagonale propre, démontrer que, pour tout couple (a, b) de réels,
les matrices aA + bIn et les matrices a t A + bIn sont encore des matrices à diagonale propre.
10. Si on note Gn l’ensemble des matrices à diagonale propre inversibles, démontrer que Gn est dense
dans En .
11. Matrices trigonalisables
a) Une matrice trigonalisable est-elle nécessairement une matrice à diagonale propre ?
b) Justifier qu’une matrice à diagonale propre est trigonalisable.
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c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de M n (R) soit semblable à
une matrice à diagonale propre.
12. Démontrer que toute matrice de M n (R) est somme de deux matrices à diagonale propre. En est-il un
sous-espace vectoriel de M n (R) ?
V. MATRICES SYMÉTRIQUES ET MATRICES ANTISYMÉTRIQUES
On notera Sn le sous-espace vectoriel de M n (R) formé des matrices symétriques et An le sous-espace
vectoriel de M n (R) formé des matrices antisymétriques.
Les 3/2 pourront admettre le résultat suivant :
Si A ∈ Sn , il existe une matrice D = diag(λ1 , . . . , λn ) et une matrice P ∈ GLn (R) telles que
P−1 = t P et A = PDP−1 .
13. Question préliminaire
Soit A = (ai j ) une matrice de M n (R) , déterminer tr( tA A) .
14. Matrices symétriques à diagonale propre
a) Soit A = (ai j ) une matrice de M n (R) , symétrique dont les valeurs propres sont notées λ1 , .., λn .
Démontrer que
n X
n
n
X
X
a2i j =
λ2i
i=1 j=1
i=1
b) Déterminer l’ensemble des matrices symétriques réelles à diagonale propre.
15. Matrices antisymétriques à diagonale propre
Soit A une matrice antisymétrique de M n (R) à diagonale propre.
a) Démontrer que An = 0 et calculer ( t AA)n .
b) Justifier que la matrice t AA est diagonalisable puis que t AA = 0 .
c) Conclure que A est la matrice nulle.
VI. DIMENSION MAXIMALE D’UN ESPACE VECTORIEL INCLUS DANS En
16. Question préliminaire
Quelle est la dimension de An ? (on demande une démonstration).
17. Soit F un sous-espace vectoriel de M n (R) tel que l’on ait F ⊂ En . Démontrer que
dim F ¶
n(n + 1)
2
[ pour cela on pourra utiliser dim(F + An ) .]
Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel F de M n (R) vérifiant F ⊂ En ?
18. Déterminer un sous-espace vectoriel F de M n (R) vérifiant F ⊂ En , de dimension maximale, mais tel
que F ne soit pas constitué uniquement de matrices triangulaires.
— FIN DU PREMIER PROBLÈME —
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PROBLÉME II (CENTRALE PSI 2005) Rappels, notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M n (C) l’ensemble des
matrices carrées complexes d’ordre n . De plus :
• M n désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre n ;
• si A ∈ M n (C) , on note Ai, j le terme de A situé sur la ligne i et la colonne j ;
‚
Œ
α −β
2
• pour (α, β) ∈ R , M(α, β) est la matrice
;
β α
€
Š
• si (α1 , · · · , α p ) et (β1 , · · · , β p ) sont dans R p , on désigne par diag M(α1 , β1 ), M(α2 , β2 ), · · · , M(α p , β p )
la matrice de M2p définie par blocs carrés d’ordre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont
les blocs diagonaux M(α1, β1 ), M(α2 , β2 ), · · · , M(α p , β p ) ;
• In est la matrice unité élément de M n ;
• On rappelle les trois types d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice et leur codage :
opérations
codage
échange des lignes i et j
Li ↔ L j
multiplication de la ligne i par α 6= 0
Li ← αLi
ajout de la ligne j, multipliée par le scalaire λ, à la ligne i (i 6= j)
Li ← Li + λL j
On définit de même trois types d’opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice.
Si A ∈ M n et si E est la matrice obtenue à partir de In par utilisation d’une opération élémentaire,
alors EA (resp. AE ) est la matrice obtenue à partir de A en effectuant la même opération élémentaire
sur les lignes (resp. colonnes) de A (on ne demande pas de démontrer ce résultat).
On confond respectivement :
• matrice et endomorphisme de Rn (resp. Cn ) canoniquement associé,
• vecteur de Rn (resp. Cn ) et matrice colonne de ses coordonnées,
• matrice de taille 1 et scalaire la constituant.
On rappelle qu’une symétrie s de Rn est un automorphisme de Rn vérifiant s2 = s ◦ s = IdRn ; il
existe alors deux sous-espaces supplémentaires E1 et E2 tels que s soit la symétrie par rapport à E1
parallèlement à E2 , définie par :
s|E1 = IdE1 et s|E2 = −IdE2 .
Préciser la symétrie , c’est déterminer les sous-espaces E1 et E2 associés.
On note (PA ) la propriété :
(PA )
A ne possède pas de valeur propre réelle
Le but de ce problème est d’étudier des matrices de M n vérifiant la propriété (PA ) . Après avoir établi
quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particuliers dans les parties I et II et un cas plus général
dans la partie III.
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Résultats préliminaires
1. On se propose de démontrer le résultat suivant :
« Deux matrices de M n semblables dans M n (C) sont semblables dans M n ».
Soit donc A et B deux matrices de M n semblables dans M n (C) et un élément P de GLn (C) tel que
A = PBP−1 .
a) Montrer qu’il existe (R, J) éléments de M n tels que P = R + ıJ avec ı2 = −1 .
b) Montrer que, pour tout t ∈ C , A(R + tJ) = (R + tJ)B
c) Montrer qu’il existe t 0 ∈ R tel que det(R + t 0 J) 6= 0 . sk
d) En déduire que A et B sont semblables dans M n .
2. a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle.
b) En déduire que s’il existe une matrice A de M n vérifiant (PA ) , alors n est pair.
Dans toute la suite du problème, on suppose n pair et on note n = 2p avec p ∈ N \ {0} .
I. Première partie
I..A.
Dans cette section I.A., on se place dans R2 et on désigne par (e1 , e2 ) la base canonique, avec
e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) .
‚
Œ
0 −1
I..A.1 . On considère la matrice M(0, 1) =
et on désigne par u l’endomorphisme associé.
1 0
a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de s1 , symétrie par rapport à la droite Re1
parallèlement à la droite Re2 .
b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l’application u ◦ s1 . En déduire qu’il existe
une symétrie s2 , qu’on précisera, telle que u = s2 ◦ s1 .
‚
Œ
2 −5
I..A.2 . On considère la matrice A =
.
1 −2
a) Montrer que A est semblable à M(0, 1) et donner une matrice P de M2 , à coefficients entiers
et de déterminant 1 telle que M(0, 1) = P−1 AP .
b) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on
précisera.
‚
Œ
α
−β
Soit α et β des nombres réels tels que β2 − α2 = 1 et B =
β −α
c) Montrer que B est semblable à M(0, 1) et donner une matrice Q de M2 telle que
M(0, 1) = Q−1 BQ .
[Indication : on pourra calculer Be1 .]
d) Montrer que B est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on
ne demande pas de préciser.
‚
Œ
α −β
I..A.3 . On considère la matrice M(α, β) =
où α et β sont des nombres réels tels que
β α
β2 + α2 = 1 .
Montrer que M(α, β) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries
qu’on ne demande pas de préciser.
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I..B.
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‚
Œ
α −β
I..A.4 . On considère à présent la matrice M(α, β) =
avec (α, β) ∈ R2 tels que β2 + α2 6= 0 .
β α
Montrer que M(α, β) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et
d’une homothétie.
‚
Œ
a b
I..A.5 . Soit A =
appartenant à M2 .
c d
a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de A pour que (PA )
soit réalisée.
b) En supposant que A vérifie (PA ) , et en étudiant la diagonalisation dans M2 (C) de A ,
montrer qu’il existe une unique matrice, semblable à A , du type M(α, β) avec α réel et β
réel strictement positif. Expliciter α réel et β en fonction de a , b , c , et d .
c) Que peut-on dire de det(A) si A vérifie (PA ) et est dans M2 ?
d) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et
d’une homothétie.
I..A.6 . On suppose que R2 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. (e1 , e2 ) est
orthonormée directe). Que sont alors les endomorphismes de matrice M(α, β) (avec α et β réels
tels que β2 + α2 6= 0 ) dans la base canonique ?
I..B.
Soit B une matrice de M p vérifiant B2 = I p . Soit A la matrice de M n définie par blocs sous la forme
‚
Œ
2B −5B
A=
B −2B
I..B.1 . Montrer que B est diagonalisable dans M p et qu’il existe une matrice Q de M p inversible, des
‚
Œ
Iq
0
−1
entiers naturels q et r tels que Q BQ soit sous la forme d’une matrice par blocs
0 −I r
On convient que cette matrice vaut I p lorsque r = 0 et q = p et qu’elle vaut −I p lorsque q = 0 et
r = p.
I..B.2 . Déterminer une matrice par blocs P de M n inversible et constituée de multiples de I p telle que :
Œ
‚
0 −B
−1
P AP =
B 0


0


‚
Œ
I..B.3 . En déduire que A est semblable dans M n à la matrice 
I
0
q

0 −I r
‚
Œ
0

Ir 



0
−Iq
0
I..B.4 . Montrer alors que A est semblable dans M n à une matrice du type diag (M(0, 1), M(0, 1), · · · , M(0, 1))
.


4
6 −10 −15


5
10 
−2 −4
I..B.5 . Exemple : on considère dans M4 la matrice A = 
.
3
−4
−6 
2
−1 −2
2
4
a) Déterminer une matrice inversible M de M4 telle que M−1 AM = diag (M(0, 1), M(0, 1)) .
b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que A est la matrice, dans la base
canonique de R4 de la composée de deux symétries qu’on précisera.
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II. Deuxième partie
II..A.
Dans cette question, A désigne une matrice de M n telle que A2 = −In .
II..A.1 . Montrer que (PA ) est réalisée.
II..A.2 . Si E est obtenue à partir de In par utilisation d’une opération élémentaire, comment déduit-on
EAE−1 de A ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme
a) Li ↔ L j ,
b) Li ← αLi avec α ∈ R∗ ,
c) Li ← Li + λL j avec λ ∈ R .
II..A.3 . a) En utilisant II.A.1, montrer qu’il existe i ¾ 2 tel que Ai,1 6= 0 .
b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu’il existe P ∈ M n inversible telle que
si A′ = PAP−1 alors A′i,1 = 0 si i 6= 2 et A′2,1 = 1 .
c) Montrer alors que A′i,2 = 0 si i 6= 1 et A′1,2 = −1 .
′
II..A.4 . Montrer qu’il existe Q ∈ M n inversible telle que QA Q
−1
soit de la forme par blocs
‚
M(0, 1) 0
0
B
Œ
avec B ∈ M n−2 .
II..A.5 . Montrer que A est semblable à une matrice du type diag M(0, 1), M(0, 1), · · · , M(0, 1).
II..A.6 . Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice M inversible
de telle que MAM−1 = diag M(0, 1), M(01) où A est la matrice de la question I.B.5 . On fera
apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées.
II..B.
Dans cette question A est une matrice de M n vérifiant (A − αIn )2 + β2 In = 0 avec (α, β) ∈ R × R∗ .
II..B.1 . Montrer que A vérifie (PA ) .
II..B.2 . Montrer que A est semblable à la matrice d’ordre n diag M(α, β), M(α, β), · · · , M(α, β) . Que peuton dire de det(A) ?
II..C.
Soit u l’endomorphisme de Rn−1 [X] défini par : pour tout polynôme P de Rn−1 [X] , u(P) vérifie :
−1
∗
n−1
∀x ∈ R , , u(P)(x) = x
P
x
II..C.1 . Déterminer pour quelles valeurs de i et j dans {0, · · · , n − 1} , le plan Vect Xi , X j est stable par
u. :
II..C.2 . En déduire que la matrice A de M n telle que An+1−i,i = (−1)i−1 si 1 ¶ i ¶ n , les autres
coefficients de A étant nuls, est semblable à diag M(0, 1), M(0, 1), · · · , M(0, 1).
III. Troisième Partie
Dans toute cette partie, A désigne une matrice de M n vérifiant (PA ) . On se propose de montrer
l’équivalence entre les trois propositions suivantes :
i) A est semblable à une matrice du type diag M(α1 , β1 ), M(α2 , β2 ), . . . , M(α p , β p ) avec (αk , βk ) ∈ R × R∗+
pour 1 ¶ k ¶ p .
ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé par A .
iii) Tout sous-espace vectoriel de Rn de dimension 2 stable par A possède un sous-espace vectoriel
supplémentaire stable par A .
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III..A.
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III..A.
Dans cette section III.A, on montre que (i)⇒ (ii).
III..A.1 . Montrer que si α, β ∈ R × R∗ , le polynôme (X − α)2 + β2 ne possède que des racines simples
complexes non réelles.
III..A.2 . En déduire que (i)⇒ (ii).
III..B.
Dans cette section III.B, on montre que (ii)⇒ (iii). On suppose donc que A vérifie (ii). Soit E un sousespace vectoriel de Rn de dimension 2 et stable par A . Soit ( f1 , f2 ) une base de E que l’on complète en
une base ( f1 , f2 , · · · , f n ) de Rn .
n
III..B.1 . Montrer que dans la base ( f1 , f2 , · ‚
· · , f n ) de
Œ R , l’endomorphisme canoniquement associé à A a
A′ B
une matrice s’écrivant par blocs :
avec A′ ∈ M2 .
0 C
III..B.2 . Vérifier que A′ ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que A′ est semblable à une
matrice du type M(α, β) avec α, β ∈ R × R∗ .
III..B.3 . Montrer que E est inclus dans Ker((A − αIn )2 + β2 In ) .
III..B.4 . Montrer que Ker((A − αIn )2 + β2 In ) possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par
A dans Rn .
III..B.5 . En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A.3 et II.A.4, montrer que E
possède un supplémentaire stable par A dans Ker((A − αIn )2 + β2 In ) , puis conclure que(iii) est
réalisé.
III..C.
En raisonnant par récurrence, montrer que (iii)⇒ (i).
III..D.


−1 −2 4 0


 1 −3 0 4 
Exemple : Soit A = 
.
−2 0 5 −2
0 −2 1 3
En admettant que A annule (X2 + 1)(X2 − 4X + 5) , déterminer une matrice inversible M de M4 et des
Œ
‚
M(α, β)
0
′
′
M−1 .
réels α , β , α et β tels que A = M
0
M(α′ , β′ )
— FIN DU SECOND PROBLÈME —
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
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