: logique e équivalenc : logique Implcation Q P QP

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Exos - Maths
Chapitre : 1
Cours : 1
mardi 6 septembre 2011
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Logique mathématique
‫اﻟﻤﻨﻄﻖ اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ‬
I. La phrase mathématique
On peut dire, en général, que la logique est un moyen qui contrôle le travail de la pensée en s’appuyant sur des règles précises,
pour le protéger contre l’erreur …
La logique est le langage de l’esprit, mais elle s’exprime à travers une langue, n’importe laquelle…
Les éléments de base de la logique sont des phrases d’une langue donnée…
La phrase utilisée par la logique doit être :
Grammaticalement correcte
Possède un sens et compréhensible
Et pour laquelle, on peut décider si elle est vraie ou fausse
Une phrase employée en logique est appelée aussi : proposition, propriété, prédicat
Pour simplifier les manipulations des phrases on les symbolise avec des lettres : P ou (P) ou Q ou R etc.…
Le rôle de la logique c’est d’aider l’esprit à donner des jugements sur une phrase simple ( verbe+ sujet+
complément) ou bien sur une phrase composée par deux ou plusieurs phrases simples, liées par des liens
qu’on appelle « connecteurs logiques ».
II. Les connecteurs logiques
Considérons maintenant deux propositions P et Q, ces deux propositions peuvent être composées à l’aide
d’un connecteur, comme on peut chercher la négation de l’une de ces phrases.
Les connecteurs logiques de base sont :
 La négation d’une proposition P , on la note ( nonP) ou ( ┐ P) ou P .
 La conjonction logique qui est « et » , on note ( P et Q )
 La disjonction logique qui est « ou » , on note ( P ou Q )
D’autres connecteurs sont construits à partir des connecteurs simples précédents, c’est le cas de
l’implication logique et l’équivalence logique notés de la façon suivante :
PQ
PQ
Implcation logique :
équivalence logique :
Ces deux nouveaux connecteurs sont définis par les formules suivantes :
PQ
est équivalent e à
PQ
est équivalent e à
(non P) ou Q
 P  Q 

P  Q 
Le tableau suivant appelé table de vérité définie les valeurs de vérité des propositions composées
fondamentales :
P
Q
Non P
P et Q
P ou Q
PQ
PQ
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
III. Propriétés des connecteurs logiques
non ( nonP )  P
( P et P )  P
Les connecteurs « et » et « ou » sont
commutatifs et associatifs
( P et V )  P
( P et F )  F
( P et P )  F
( P ou P )  P ( P ou V )  V ( P ou F )  P ( P ou P )  V
( P ou Q )  ( P et Q )
Les lois de Morgan
La contraposée
[email protected]
(P
Réalisé par : Ammari AbouSamah
( P et Q )  ( P ou Q )

Q)

(Q

P)
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IV. Propriétés des Opérations sur les ensembles
Soient A et B deux parties d’un ensemble E, par analogie on obtient (je vous laisse le soin de le montrer
vous-même comme applications à la logique)
La réunion de deux ensembles sont
commutatives et associatives
A A
( A  A)  A ( A  E )  A ( A   )   ( A  A)  
( A  A)  A ( A  E )  E ( A   )  A ( A  A)  E
Les lois de Morgan pour les
ensemble
( A  B)  ( A  B)
Contraposée pour les ensembles
(A

( A  B )  ( A et B )
B)

(B

A)
V. Les fonctions propositionnelles
soit x un élément d’un ensemble E , la proposition P(x) est une proposition dont la valeur de vérité
dépend de x est dite fonction propositionnelle définie dans E.
P(x)  « x est une ville Africaine »
La valeur de vérité de cette proposition dépend de la valeur de la ville x, à titre d’exemples :
P(Rabat)  « Rabat est une ville Africaine » est une proposition vraie
P(Paris)  « Paris est une ville Africaine » est une proposition fausse
De cette manière, on établit une fonction définie de l’ensemble W des villes du monde vers l’ensemble des
valeurs de vérité : V et F.
VI.
Les propositions quantifiée
Si E est un ensemble et P(x) une fonction propositionnelle définie dans E, les propositions quantifiée
s’écrivent respectivement :
 x  E  ; P(x) : signifie qu' il nexiste au moins un élément x de E vérifiant la propriété P(x)
les proposition
 x  E  ; P(x) : signifie que tous les éléments x de E vérifiant la propriété P(x)
peuvent contenir plusieurs quantificateurs…les exercices proposés sur le site peuvent vous aider à découvrir
plusieurs choses concernant ce type de phrases….
Reste à donner les règles de négation pour les propositions quantifiées :
[email protected]
non(  x  E 
; P(x) )

 x  E 
; P(x)
non(  x  E 
; P(x) )

 x  E 
; P(x)
Réalisé par : Ammari AbouSamah
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Méthodes de raisonnement
Méthodes directes de raisonnement :
la méthode directe de raisonnement une méthode qui utilise les résultats des tables de vérité pour décider de la valeur de vérité d’une proposition simple ou
composée. Le tableau suivant envisage les méthodes les plus utilisées en classe :
type
P et Q
P
PQ
P ou Q
PQ
Montrer que
V
V
V
V
V
Méthode
On montre que P
est fausse
On montre que P est
vraie et que Q est vraie
On montre que l’une des
propositions est vraie
On suppose que P est vraie
et on montre Q est vraie
On montre que P et Q ont
même valeur de vérité
Autres méthodes de raisonnement
Méthode
Description
En pratique
Raisonnement par :
contraposée
méthode spéciale pour justifier une implication
On suppose que Q est vraie et on
montre P est vrai
P

Q
Cette méthode repose sur l’équivalence :
(P
Raisonnement par :
disjonction des cas

Q)

(Q

P)
méthode spéciale pour justifier une implication
P

Q
Cette méthode repose sur la possibilité de décomposer la première proposition
P sous forme de disjonction du minimum possible de propositions
P

P1ouP2 ou ...ouPn
Alors pour montrer que l’implication proposée est vraie il faut montrer que
toutes les propositions
( Pi  Q )
Raisonnement par :
L’absurde
sont vraies, pour tout i de 1 à n
méthode spéciale pour montrer qu’une proposition P est vraie
On suppose que P est fausse
Cette méthode repose sur le vérité d’une implication vraie(qu’on construit)
P
Raisonnement par :
équivalence

Q
Avec une proposition Q fausse (contradiction)
On s’aperçoit alors que non (P) doit être fausse contrairement à notre
supposition ce qui conduit à la vérité de P.
méthode spéciale pour montrer qu’une proposition P est vraie
Cette méthode repose sur le fait que si la position
P
Raisonnement par :
Contre exemple

 x  E 
 x  E 
; P(x)
n  IN  ;
P(n)
(p  IN) ; P ( p )  P (p  1) est vraie
Réalisé par : Ammari AbouSamah
P

Q
Avec une proposition Q fausse
(contradiction)
On conclut que P est vraie
On cherche une proposition vraie Q
équivalente à P
On cherche un élément a de E tel que
p(a) soit fausse
L’élément a est appelé « un contre
exemple »
; P(x)
Il suffit de trouver un élément particulier a de E tel que la proposition P(a) soit
fausse
méthode spéciale pour justifier une implication quantifiée dans l’ensemble IN
des entiers naturels
Cette méthode est réalisable en deux étapes :
 on vérifie que P(0) est vraie
 On montrer que l’implication :
[email protected]
On suppose que P est fausse
On construit une implication vraie de
la forme
Q
est vraie alors les propositions P et Q ont la même valeur de vérité
méthode spéciale pour montrer qu’ une proposition de la forme :
Est fausse
Cette méthode repose sur le fait de démontrer que la négation de cette
proposition est vraie, qui est justement
Raisonnement par :
Récurrence simple
On envisage les cas :
*cas :1 on suppose que P1 est vraie et
on montre que Q est vraie
*cas :1 on suppose que P2 est vraie et
on montre que Q est vraie
…
*cas :n on suppose que P2 est vraie et
on montre que Q est vraie
Première étape :
On montre que p(0) est vraie
Première étape :
Pour un entier donné p ,
On suppose que montre que P(p) est
vraie
Et on montre que P(p+1) est vraie