Algorithmique Eléments de logique et raisonnements mathématiques Page 3/3
Raisonnements mathématiques
Raisonnement direct
La démonstration directe consiste à utiliser les diverses informations de l'énoncé et à
faire appel à des résultats connus pour construire une démonstration nous menant au résultat à
obtenir.
N.B. : pour démontrer une proposition du type "∀ x ∈ E, P(x)", on choisit arbitrairement un x
de l'ensemble E et on prouve que P(x) est vraie. Pour prouver qu'elle est fausse, il suffit de
donner un cotre-exemple ; c'est à dire de trouver l'élément y de E ne vérifiant pas P.
Démonstration directe d'une implication
La plupart des résultats à démontrer sont de la forme P ⇒ Q.
Pour le démontrer, on dit que P est l'hypothèse et Q est la conclusion ; on suppose que P est
vraie et on prouve que Q est vraie également.
Raisonnement par contraposition
On l'utilise lorsque la démonstration directe d'une implication est complexe.
Il s'agit de prouver que non Q ⇒
⇒⇒
⇒ non P.
Raisonnement par l'absurde
Ce raisonnement est pratique lorsque les raisonnements précédents n'aboutissent pas. Il consiste
à réfuter la proposition que l'on cherche à prouver et à trouver une absurdité ; dans ce cas, la
proposition est fausse.
Raisonnement par récurrence
Il concerne les propositions ou interviennent des entiers naturels.
On initialise la récurrence en prouvant que la proposition est vraie pour un entier N (en général,
N=0 ou 1), puis on démontre que si la proposition est vraie pour un entier n alors elle l'est pour
un entier n+1.
On rédige "Soit n=xx, P est vraie pour n=xx. On suppose que P est vrai pour n, prouvons que
n+1 vérifie P."