TD2 - Guelma

TD_2 TD1, Phys1
SM & ST
cinématique
Ex1 : un corps se déplace avec une vitesse initiale 3ms-1, et une accélération constante de 4
ms-2 dans la même direction que la vitesse (a) quelle est la vitesse du corps et la distance
parcourue au bout de 7 s ?
Ex2 : un avion, au décollage, parcourt 600 m en 15 s. (a) en supposant une accélération
constante, calculer la vitesse de décollage. (b) calculer l’accélération en ms-2.
Ex3 : une automobile, partant de l’arrêt, atteint 60 kmh-1 en 15 s. (a) calculer l’accélération
moyenne an ms-2 et la distance parcourue. (b) en supposant l’accélération constante, combien
faudrait-il de secondes en plus à la voiture pour atteindre 80kmh-1 ? (c) quelle serait alors la
distance totale couverte ?
Ex4 : une auto attend à un feu rouge. Quand le feu passe au vert, l’auto accélère
uniformément pendant 6s avec une accélération de 2 m s-2, après quoi elle se déplace avec une
vitesse uniforme. Au moment où la voiture démarre au feu vert, un camion se déplaçant dans
la même direction, avec une vitesse uniforme de 10 ms-1, la dépasse. Au bout de combien de
temps, et à quelle distance du feu, l’auto et le camion se rattraperont-ils ?
Ex5 : un corps se déplace le long d’une droite, suivant la loi x=16t-6t2, où x est mesuré en
mètres et t en secondes. (a) Trouver la position du corps pour t=1 s. (b) A quel moment le
corps passera-t-il par l’origine ? (c) calculer la vitesse moyenne dans l’intervalle de temps 0<t
<2 s. (d) Trouver l’expression générale de la vitesse moyenne dans l’intervalle t0 < t < (t0 +
Δt). (e) Calculer la vitesse instantanée à un temps t quelconque. (f) calculer la vitesse
instantanée pour t=0. (g) a quels moments et à quels endroits le corps sera-t-il stationnaire ?
(h) Trouver l’expression générale de l’accélération moyenne dans l’intervalle de temps t0 < t <
(t0 + Δt). (i) Trouver l’expression générale de l’accélération instantanée à un temps t
quelconque. (j) a quels moments l’accélération instantanée est-elle nulle ?
Ex6 : la position d’une particule est donnée par x=Asinωt m. Trouver sa vitesse et son
accélération en fonction de t et de x.
Ex7 : un point se déplace dans le plan xoy de telle sorte que vx=4t3 + 4t ms-1 et vy= 4 t ms-1. Si
le mobile se trouve au point (1,2) au temps t=0, trouver l’équation de la trajectoire en
coordonnées cartésiennes.
Ex8 : on tire une projectile avec une vitesse de 600 ms-1 et suivant un angle de 600 avec
l’horizontale. Calculer (a) la portée horizontale, (b) la hauteur maximum, (c) la vitesse et la
hauteur au bout de 30 s, (d) à quel moment et avec quelle vitesse le projectile se trouve à 10
km de hauteur.
Ex9 : les coordonnées d’un mobile sont x= 2cosωt m , y=2sinωt m. (a) Trouver l’équation de
la trajectoire en coordonnées cartésiennes. (b) calculer la valeur de la vitesse à chaque instant.
(c) Calculer la composante tangentielle et la composante normale de l’accélération à chaque
instant. (d) Identifier le type de mouvement qui est décrit par les équations précédentes.
Ex10 : (rappel de cours) considérons une particule qui décrit une courbe C dans un plan
(voir figure ci-dessous)
on compte utiliser les coordonnées polaires (r, θ) pour
y
r r r
r
repérer la position du point M. u x , u y , u r et u θ sont des
vectures unitaires et les deux premiers forment la base
cartésienne par contre les deux derniers forment la base
polaire.
r
r
- trouver les composantes de u r et u θ sur ox et oy
r
r
ur
r
du r
r
uy
r
.
et montrer que u θ =
uθ
dθ
θ
- Trouver l’expression du vecteur déplacement
o r
élémentaire et représenter le sur la figure.
u
- trouver les expressions du vecteur vitesse et du vecteur x
accélération et représenter les sur la figure.
M
r
r
x
Ex11 : un mobile, assimilé à un point matériel, est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et
θ(t).
1. les variations de r(t) et θ(t) en fonction du temps sont données par les graphes ci-dessous :
r(m)
π/2
θ(rd)
5
π/4
3
2
t(s)
2
2
6
t(s)
a) tracer la trajectoire du mobile entre les instants t= 0(s) et t= 6 (s)
b) donner la nature du mouvement dans chacune des deux phases.
2. les variations de r(t) (m) et θ(t) (en radians) en fonction du temps ( en seconde) sont
données par : r(t) =2- e-t
et θ(t)= -t +π/2. Déterminer les composantes radiale, vr(t) et transversale vθ(t) du vecteur,
r
s
v (t ) et le vecteur position OM (t ) du mobile à l’instant t et déduire le rayon de courbure de la
trajectoire au point où se mouvait le mobile à t=0 (s)
Ex12 : un point matériel M est animé du mouvement défini par les équations : x=acosωt ;
y=asin ωt ; z=bt. Dans un système d’axes orthonormés directs oxyz ; a, b et ω sont des
constantes positives.
1. a) écrire les équations cartésiennes de la trajectoire sous la forme : x=f(z) et y=g(z). Ecrire
également l’équation de la projection de cette trajectoire sur le plan xoy.
b) caractériser, en quelques mots, les mouvements sur les axes et sur le plan xoy.
r
2. a) calculer les coordonnées du vecteur vitesse v .
b) déterminer l’hodographe relatif au point o (l’hodographe est l’ensemble de points λ tels
r r
que oλ = v ) ; le représenter sur une figure. En déduire que le vecteur vitesse fait un angle θ
constant avec oz ; calculer cos θ et sin θ.
c) la trajectoire étant orientée dans le sens des z croissants, donner en fonction de a, b,ω
l’expression de la vitesse ds/dt, ainsi que celle de l’abscisse curviligne s du point mobile à
l’instant t, en prenant s=0 pour t=0.
r
3. a) Calculer les composantes du vecteur accélération γ , puis celles des accélérations
r
r
tangentielle et normale γ T et γ n .
b) Caractériser la normale principale à la trajectoire et calculer le rayon de courbure R que
l’on exprimera en fonction de a et θ.
Ex13: onrétudie le mouvement d’un point matériel M dont le vecteur accélération est :
r
r
r
OM ∧ v
γ =k
où k est constante positive donnée, O un point fixe, v le vecteur vitesse de M, r
3
r
r
la distance OM supposée non nulle. A l’instant initial, le vecteur vitesse v0 est perpendiculaire
à OM0. On pose a= OM0, valeur initiale de r.
1. Exprimer, en fonction de t, l’abscisse curviligne de M sur la trajectoire en prenant
pour origine la position initiale et pour sens positif le sens défini par la croissance de t.
r r
2. Calculer la dérivée par rapport à t du produit scalaire OM ⋅ v . En déduire l’expression
de r en fonction de t.
r
r
3. On appelle α l’angle compris entre 0 et π de OM et v . Calculer rcos α et rsin α à
l’instant t.
r
4. Calculer en fonction de α, le module du vecteur accélération γ de M et le rayon de
courbure de la trajectoire de M.
r r r
Ex14 : On considère un repère fixe Oxyz, vecteur unitaires respectif u x , u y , u z . Un point
r
r
matériel M a, à un instant t, pour coordonnées x,y,z pour vitesse v , pour accélération γ . Le
r r
r r r r
mouvement de M se fait selon la loi γ = E + v ∧ B , où E et B sont deux vecteurs constants.
r
r
r
r
r
α r
1. On suppose E = Eu z et B = Bu z (E > 0, B > 0). A t=0, M est en M0, OM 0 = u x et a
B
r
r
une vitesse initiale v0 = −αu y (α > 0). Déterminer les équations paramétriques du
mouvement ainsi que la trajectoire.
r
r
r
r
2. On suppose E = Eu y et B = Bu z , à t=0, le mobile est en O et a une vitesse nulle.
Déterminer les équations paramétriques du mouvement ainsi que la trajectoire.(don’t
do it)
Mouvement relatif
Ex15 : (a) on considère deux objets A et B et un observateur O, qui prend comme système de
référence le trièdre xyz, par rapport à O, A et B sont repérés respectivement par les deux
r
r
vecteurs positions rA et rB . Donner les expressions de la vitesse et l’accélération de B par
rapport A ainsi que celles de A par rapport à B. Que peut-on déduire ? (b) un avion A vole
vers le nord à 300 kmh-1 par rapport au sol. Au même moment, un avion B vole dans la
direction N 600W, à 200 kmh-1 par rapport au sol. Trouver la vitesse de A par rapport à B et
celle de B par rapport à A.
r
Ex16 : Un insecte se déplace à vitesse constante v ' le long d’une tige qui tourne autour d’une
de ses extrémités. Par rapport à la surface de la terre, la vitesse angulaire de la tige est ω.
Calculer la vitesse et l’accélération de l’insecte par rapport à la terre (trouver leurs
composantes dans la base du repère lié à la terre (fixe).
Ex17 : un homme veut traverser un fleuve, en barque, an partant du point A de la berge pour
arriver au point B , situé en face de A. Le fleuve a 60 mètres de large et la vitesse de l’eau
(courant) est de 2 (m/s). le rameur commence la traversée en orientant l’axe de sa barque
perpendiculaire à la rive. Arrivé au point O, situé à égale distance des deux berges, il
s’aperçoit qu’il doit modifier sa trajectoire ; il oriente, alors sa barque de manière à atteindre
le point B. On suppose qu’il se déplace avec une vitesse constante de 4(m/s) par rapport à
l’eau.
1. représenter les deux berges, supposées parallèles, du fleuve et représenter au point A les
vecteurs vitesses suivants :
r
ve / s : Vitesse de l’eau par rapport au sol.
r
vb / s : Vitesse de la barque par rapport au sol
r
vb / e : vitesse de la barque par rapport à l’eau
r
r
r
2. pour effectuer le trajet OB, représenter au point O les vecteurs : ve / s , vb / e et vb / s .
3. calculer la durée totale de la traversée.
Ex19 : On considère un plan xoy. Un cercle de centre o1, de rayon R, peut rouler sans glisser
sur l’axe ox en restant dans le plan xoy. Soit M un point mobile du cercle. A l’instant t=0, M
coïncide avec o.
1. déterminer les coordonnée du point M à l’instant t.
2. déterminer les composantes de la vitesse de M à l’instant t.
r
r r
3. déterminer les composantes de γ ainsi que de γ T , γ n et le rayon de courbure
4. retrouver les résultats des questions 2 et 4 en appliquant le théorème de composition
des vitesses.