Introduction d`une notion: La probabilité en troisième en utilisant les

Introduction d'une notion: La probabilité en troisième en utilisant les TICES.
La probabilité fait partie du chapitre Organisation et Gestion des données.
Qui s'organise comme suit au collège :
–En 6ème les élèves: Proportionnalité- Tableaux de données- Interprétations de
graphiques
–En 5ème: Introduction des notions de classes-effectifs- fréquences (Remarque le tableur
est introduit en « technologie »)
–En 4ème: Effectifs cumulés-Fréquences cumulés-moyenne (le tableur est utilisé de
manière générale dans les disciplines scientifiques)
–En 3ème:
notions de fonctions (affines, linéaires)
Statistiques: caractéristiques de position, notion de dispersion.
Notion de probabilités
Depuis la 5ème les élèves ont utilisé d'une part des outils de calcul et de traitemement (excel) et
acquis des connaissances statistiques de base (fréquences effectifs classes) permettant en trpoisième
d'aborder efficacement les notions de probabilités.
Utilisation d'un transparent
Prérequis:
–Les élèves savent déterminer les effectifs et les fréquences d'une série
–Utiliser un tableur grapheur (saisie de tableaux, de formules, réalisation de graphiques)
Plan de la séquence:
1) Introduction du vocabulaire (aléatoire, issue, probabilité)
Jeu de Pile ou Face
Utilisation d'un tableur pour vérifier des hypothèses
2) Introduction des arbres: Planche de galton
3) Introduction des arbres pondérées: Deux épreuves successives: « roue » suivi d'un « pile ou
face ». Introduction du terme événement.
Pourquoi utiliser un tableur:
Le tableur sera utilisé pour :
–simuler rapidement un nombre variable d'épreuves de 10-100-500-1000
–d'organiser et trier les résultats puis les représenter graphiquement

Activité pile ou face:
Présentation du problème:
On dispose d'une pièce d'un euro bien équilibrée.
On lance cette pièce au dessus d'une grande table et on observe le côté qu'elle présente en
retombant.
On suppose ici que les conditions de l'expérience sont tellesue la pièce ne peut pas être perdue
(tomber dans un trou ou par la fenêtre) et ne peut pas tomber sur la tranche.
1) Combien y a t il d'issues (résultats) possibles?
2) D'aprés vous y a t il plus de chances d'obtenir un côté plutôt qu'un autre? (Lors de la
correction on introduira la notion d'équiprobabilité)
3) Recopier et compléter: « il y a une chance sur ........ d'obtenir pile et une chance sur....
d'obtenir face »
4) D'aprés vous si on lance six fois cette pièce, obtiendra t on obligatoireement trois fois pile et
trois fois face (Lors de la correction on introduira le terme aléatoire. Une pièce n'a pas de
mémoire)
5) On a lancé quatre fois cette pièce et, à chaque fois, on a obtenu face. Si on lance cette pièce
une cinquième fois laquelle de ces affirmations est correcte?
a) On a plus de chances d'obtenir pile
b) On a plus de chances d'obtenir face
c) on a autant de chances d'obtenir pile que face
d) on ne peut pas obtenir face de nouveau
Les élèves par groupe de 4 ont quinze minutes pour répondre aux questions.
Par groupe de 2 les élèves réalisent ensuite le programme de simulation.
Formules à connaître:
–nb(A1:C100): renvoie le nombre de données (saisie sous forme de nombre) dans la zone
A1:C100. Si il n'y a pas de nombre il renvoie zéro)
–ent(alea()*x)+1: renvoie un nombre entier aléatoire entre 1 et x.
–alea.entre.bornes(1;x) réalise la même opération mais n'est pas toujours recalculé par la touche
F9 .
–nb.si(A1:C100;x) renvoie le nombre de x dans la zone A1:C100 (ce peut être une chaîne de
caractère « P » par exemple)
Instructions à donner aux élèves:
Nous allons essayer de simuler le jeu de pile ou face avec excel (ou calc) pour cela on génèrera
avec excel aléatoirement une série de nombre entiers compris entre 1 et 2 (1 pour pile et 2
pour face)
Feuille 1: 10 Lancers
Saisir dans les cellules ci dessous les formules:
–Cellule A1=nb(A5:W300)
–Cellule A2=nb.si(A5:W300;1)
–Cellule A3=nb.si(A5:300;2)
–B2=A2/A1
–B3=A3/A1
–B4=B2+B3
–A5=ent(alea()*2+1) Que se passe t il dans les cellules A1,A2,A3, A5? Taper F9 plusieurs
fois,qu'observez vous?
–Recopier la cellule A5 jusqu'à J5.
–Que se passe t il dans les cellules A1 à A5 et B2,B3,B4? Expliquer littéralement leur rôle?

–Les résultats étaient ils prévisibles?
–Comparer les avec vos réponses au problème posé? Eventuellement corriger vos réponses.
–Pouvez vous donner un calcul de A3 en fonction de A1 et A2?
–Faire sur votre feuille de réponse le tableau suivant et compléter le:
Nb de lancers Nb de pile Nb de face Fréquence
Piles
Fréquence
Face
Fréquence Pile
+Face
10
100
500
1000
Feuille de calcul 2:
Refaire les calculs précédents pour 100 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on recopiera
la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104.
Compléter le tableau ci dessous
Feuille de calcul 3:
Refaire les calculs précédents pour 500 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on recopiera
la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104.
Compléter le tableau ci dessous
Feuille de calcul 4:
Refaire les calculs précédents pour 1000 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on
recopiera la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104.
Compléter le tableau ci dessous
Faire un graphique des fréquences des résultats Pile ou face en fonction du nombre d'épreuves.
Que peut on conjecturer?
Lorsque l'on réalise un nombre important de lancers, la fréquence d'obtention de pile s'approche
d'une valeur. Cette valeur est la probabilité.
De façon générale:
La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Activité Planche de Galton:
Objectif :
Lorsque l'on trace les chemins « possibles » d'une bille. On réalise spontanément un arbre.
Il me semble donc que c'est un bon outil pour introduire l'arbre.
Le programme étant assez complexe a réalisé par des élèves, il est préférable de réaliser les essais
avec l'une des animations existantes et accessibles via internet. (pour nombre d'entre elles, l'auteur
accepte d'envoyer le fichier si nous ne disposons âs d'une connection internet).
Je propose d'utiliser celle accessible à l'adresse suivante dont l'utilisation est « aisée »
http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/galton.htm
Instruction pour les élèves:
Essai avec un clou
Aprés avoir lu la définition d'une planche de galton réalise graphiquemennt les chemins possibles:
–Pour une 1 clou. Puis indique les issues possibles.
–En utilisant les résultats obtenus lors du jeu de pile ou face, peut on proposer des probabilités
d'aller dans la case de gauche ou dans la case de droite.
Essai avec 2 clous:
–Combien y a t il de chemins possibles?
–Combien possibles pour atteindre : La case 1; La case 2; La case 3
–Estimer les probabilités qu'une bille aille dans la case 1, dans la case 2, dans la case 3.
–Lancer la simulation.
–Noter les résultats dans le tableau ci dessous.
–Recommencer avec 1024 billes (en accélérer)
Nb total de billes Case 1 Case 2 Case 3
10 2 5 3
1024 248 528 248
Essai avec 3 clous:
–Combien y a t il de chemins possibles?
–Combien possibles pour atteindre :
La case 1; La case 2; La case 3; La case 4
–Estimer les probabilités qu'une bille aille dans la case 1, dans la case 2, dans la case 3.
–Lancer la simulation.
–Noter les résultats dans le tableau ci dessous.
–Recommencer avec 1024 billes (en accélérer)
Nb total de billes Case 1 Case 2 Case 3 Case 4
10 3 5 1 1
1024 129 427 349 119
Remarque: Erreur possible des élèves ( Pour 3 clous il y a quatre cases donc ¼ pour chaque case,
Permet d'introduire la notion d'épreuve et d'évènement, chaque clou représente une épreuve, et deux
issues,....). Il est intéressant d'utiliser les résultats des élèves de les cumuler et analyser ce qu'on
obtient.

Arbres pondérés
Deux épreuves successives:
Introduction:
La planche de galton est la représentation d'épreuves successives à deux issues. D'où la notion
d'arbre.
Problème:
Un jeu consiste à mettre en rotation une roue parfaitement équilibrée de 8 secteurs identiques (2
rouges, 2 verts, 4 noirs).
Puis on tire à pile ou face., une pièce bien équilibrée, sans défaut.
Si on obtient RP (rouge pile), VF, ou NP on a gagné.
Quelle est la probabilité de gagner?
Question préliminaire:
. L'organisateur du jeu hésite entre organiser les secteur en alternant les couleurs RNRNVNVN, ou
en les regroupant RRVVNNNN.
L'ordre des couleurs a t il une importance sur le résultat.
Conjecturer avec un tableur:
Instructions:
En vous espérant de la planche de Galton réaliser une représentation graphique du graphique
du problème.
–Combien y a t il d'issues possibles pour la roue.
–Combien y a t il d'issues possibles pour le jeu de pile ou face
–Combien y a t il d'issues possibles pour les deux érpeuves succe
Réalisation du programme sur un tableur
I] Simulation de la première épreuve couleur « tirée »:
Saisie des formules:
–A5=ent(alea()*8)+1
Expliquer la formule saise dans A5: ent(alea()*8)+1 : renvoie..........
–B5=si(ou(A5=1;A5=2); «R»;si(ou(A5=3;A5=4); « V »; « N »)
Expliquer la formule saisie dans B5:
si(ou(A5=1;A5=2); «R»;si(ou(A5=3;A5=4); « V »; « N ») : renvoie « R » soit rouge si A5 est
égal à ........ou à ........, « V » soit, vert si A5=...........ou...........
sinon « N » soit noire
–C5=Si(B5= « R »;1;si(B5= « V »;2);3)
Expliquer la formule saisie dans C5: Si(B5= « R »;1;si(B5= « V »;2);3)
Renvoie.............................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................