Introduction d`une notion: La probabilité en troisième en utilisant les
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Introduction d'une notion: La probabilité en troisième en utilisant les TICES. La probabilité fait partie du chapitre Organisation et Gestion des données. Qui s'organise comme suit au collège : – En 6ème les élèves: Proportionnalité- Tableaux de données- Interprétations de graphiques – En 5ème: Introduction des notions de classes-effectifs- fréquences (Remarque le tableur est introduit en « technologie ») – En 4ème: Effectifs cumulés-Fréquences cumulés-moyenne (le tableur est utilisé de manière générale dans les disciplines scientifiques) – En 3ème: notions de fonctions (affines, linéaires) Statistiques: caractéristiques de position, notion de dispersion. Notion de probabilités Depuis la 5ème les élèves ont utilisé d'une part des outils de calcul et de traitemement (excel) et acquis des connaissances statistiques de base (fréquences effectifs classes) permettant en trpoisième d'aborder efficacement les notions de probabilités. Utilisation d'un transparent Prérequis: – Les élèves savent déterminer les effectifs et les fréquences d'une série – Utiliser un tableur grapheur (saisie de tableaux, de formules, réalisation de graphiques) Plan de la séquence: 1) Introduction du vocabulaire (aléatoire, issue, probabilité) Jeu de Pile ou Face Utilisation d'un tableur pour vérifier des hypothèses 2) Introduction des arbres: Planche de galton 3) Introduction des arbres pondérées: Deux épreuves successives: « roue » suivi d'un « pile ou face ». Introduction du terme événement. Pourquoi utiliser un tableur: Le tableur sera utilisé pour : – simuler rapidement un nombre variable d'épreuves de 10-100-500-1000 – d'organiser et trier les résultats puis les représenter graphiquement Activité pile ou face: Présentation du problème: On dispose d'une pièce d'un euro bien équilibrée. On lance cette pièce au dessus d'une grande table et on observe le côté qu'elle présente en retombant. On suppose ici que les conditions de l'expérience sont tellesue la pièce ne peut pas être perdue (tomber dans un trou ou par la fenêtre) et ne peut pas tomber sur la tranche. 1) Combien y a t il d'issues (résultats) possibles? 2) D'aprés vous y a t il plus de chances d'obtenir un côté plutôt qu'un autre? (Lors de la correction on introduira la notion d'équiprobabilité) 3) Recopier et compléter: « il y a une chance sur ........ d'obtenir pile et une chance sur.... d'obtenir face » 4) D'aprés vous si on lance six fois cette pièce, obtiendra t on obligatoireement trois fois pile et trois fois face (Lors de la correction on introduira le terme aléatoire. Une pièce n'a pas de mémoire) 5) On a lancé quatre fois cette pièce et, à chaque fois, on a obtenu face. Si on lance cette pièce une cinquième fois laquelle de ces affirmations est correcte? a) On a plus de chances d'obtenir pile b) On a plus de chances d'obtenir face c) on a autant de chances d'obtenir pile que face d) on ne peut pas obtenir face de nouveau Les élèves par groupe de 4 ont quinze minutes pour répondre aux questions. Par groupe de 2 les élèves réalisent ensuite le programme de simulation. Formules à connaître: – nb(A1:C100): renvoie le nombre de données (saisie sous forme de nombre) dans la zone A1:C100. Si il n'y a pas de nombre il renvoie zéro) – ent(alea()*x)+1: renvoie un nombre entier aléatoire entre 1 et x. – alea.entre.bornes(1;x) réalise la même opération mais n'est pas toujours recalculé par la touche F9 . – nb.si(A1:C100;x) renvoie le nombre de x dans la zone A1:C100 (ce peut être une chaîne de caractère « P » par exemple) Instructions à donner aux élèves: Nous allons essayer de simuler le jeu de pile ou face avec excel (ou calc) pour cela on génèrera avec excel aléatoirement une série de nombre entiers compris entre 1 et 2 (1 pour pile et 2 pour face) Feuille 1: 10 Lancers Saisir dans les cellules ci dessous les formules: – Cellule A1=nb(A5:W300) – Cellule A2=nb.si(A5:W300;1) – Cellule A3=nb.si(A5:300;2) – B2=A2/A1 – B3=A3/A1 – B4=B2+B3 – A5=ent(alea()*2+1) Que se passe t il dans les cellules A1,A2,A3, A5? Taper F9 plusieurs fois,qu'observez vous? – Recopier la cellule A5 jusqu'à J5. – Que se passe t il dans les cellules A1 à A5 et B2,B3,B4? Expliquer littéralement leur rôle? Les résultats étaient ils prévisibles? – Comparer les avec vos réponses au problème posé? Eventuellement corriger vos réponses. – Pouvez vous donner un calcul de A3 en fonction de A1 et A2? – Faire sur votre feuille de réponse le tableau suivant et compléter le: Nb de lancers Nb de pile Nb de face Fréquence Fréquence Fréquence Pile Piles Face +Face – 10 100 500 1000 Feuille de calcul 2: Refaire les calculs précédents pour 100 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on recopiera la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104. Compléter le tableau ci dessous Feuille de calcul 3: Refaire les calculs précédents pour 500 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on recopiera la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104. Compléter le tableau ci dessous Feuille de calcul 4: Refaire les calculs précédents pour 1000 lancers, à l'aide d'excel (ou calc). Pour cela on recopiera la les cellules A5-J5, jusqu'à A105-J104. Compléter le tableau ci dessous Faire un graphique des fréquences des résultats Pile ou face en fonction du nombre d'épreuves. Que peut on conjecturer? Lorsque l'on réalise un nombre important de lancers, la fréquence d'obtention de pile s'approche d'une valeur. Cette valeur est la probabilité. De façon générale: La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1. La somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1. Activité Planche de Galton: Objectif : Lorsque l'on trace les chemins « possibles » d'une bille. On réalise spontanément un arbre. Il me semble donc que c'est un bon outil pour introduire l'arbre. Le programme étant assez complexe a réalisé par des élèves, il est préférable de réaliser les essais avec l'une des animations existantes et accessibles via internet. (pour nombre d'entre elles, l'auteur accepte d'envoyer le fichier si nous ne disposons âs d'une connection internet). Je propose d'utiliser celle accessible à l'adresse suivante dont l'utilisation est « aisée » http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/galton.htm Instruction pour les élèves: Essai avec un clou Aprés avoir lu la définition d'une planche de galton réalise graphiquemennt les chemins possibles: – Pour une 1 clou. Puis indique les issues possibles. – En utilisant les résultats obtenus lors du jeu de pile ou face, peut on proposer des probabilités d'aller dans la case de gauche ou dans la case de droite. Essai avec 2 clous: – Combien y a t il de chemins possibles? – Combien possibles pour atteindre : La case 1; La case 2; La case 3 – Estimer les probabilités qu'une bille aille dans la case 1, dans la case 2, dans la case 3. – Lancer la simulation. – Noter les résultats dans le tableau ci dessous. – Recommencer avec 1024 billes (en accélérer) Nb total de billes Case 1 Case 2 Case 3 10 2 5 3 1024 248 528 248 Essai avec 3 clous: Combien y a t il de chemins possibles? Combien possibles pour atteindre : La case 1; La case 2; La case 3; La case 4 – Estimer les probabilités qu'une bille aille dans la case 1, dans la case 2, dans la case 3. – Lancer la simulation. – Noter les résultats dans le tableau ci dessous. – Recommencer avec 1024 billes (en accélérer) Nb total de billes Case 1 Case 2 Case 3 Case 4 – – 10 3 5 1 1 1024 129 427 349 119 Remarque: Erreur possible des élèves ( Pour 3 clous il y a quatre cases donc ¼ pour chaque case, Permet d'introduire la notion d'épreuve et d'évènement, chaque clou représente une épreuve, et deux issues,....). Il est intéressant d'utiliser les résultats des élèves de les cumuler et analyser ce qu'on obtient. Arbres pondérés Deux épreuves successives: Introduction: La planche de galton est la représentation d'épreuves successives à deux issues. D'où la notion d'arbre. Problème: Un jeu consiste à mettre en rotation une roue parfaitement équilibrée de 8 secteurs identiques (2 rouges, 2 verts, 4 noirs). Puis on tire à pile ou face., une pièce bien équilibrée, sans défaut. Si on obtient RP (rouge pile), VF, ou NP on a gagné. Quelle est la probabilité de gagner? Question préliminaire: . L'organisateur du jeu hésite entre organiser les secteur en alternant les couleurs RNRNVNVN, ou en les regroupant RRVVNNNN. L'ordre des couleurs a t il une importance sur le résultat. Conjecturer avec un tableur: Instructions: En vous espérant de la planche de Galton réaliser une représentation graphique du graphique du problème. – Combien y a t il d'issues possibles pour la roue. – Combien y a t il d'issues possibles pour le jeu de pile ou face – Combien y a t il d'issues possibles pour les deux érpeuves succe Réalisation du programme sur un tableur I] Simulation de la première épreuve couleur « tirée »: Saisie des formules: – A5=ent(alea()*8)+1 Expliquer la formule saise dans A5: ent(alea()*8)+1 : renvoie.......... – B5=si(ou(A5=1;A5=2); «R»;si(ou(A5=3;A5=4); « V »; « N ») Expliquer la formule saisie dans B5: si(ou(A5=1;A5=2); «R»;si(ou(A5=3;A5=4); « V »; « N ») : renvoie « R » soit rouge si A5 est égal à ........ou à ........, « V » soit, vert si A5=...........ou........... sinon « N » soit noire – C5=Si(B5= « R »;1;si(B5= « V »;2);3) Expliquer la formule saisie dans C5: Si(B5= « R »;1;si(B5= « V »;2);3) Renvoie............................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ II] Simulation de la deuxième épreuve « Pile » ou « Face » Saisie des formules – D5=signe(alea()-0,5) Expliquer la formule saisie. D5 renvoie -1 si le signe de la variable aléatoire comprise entre 0 et 1 auquelle est soustrait 0,5 est.............et +1 si le signe est ........................... – E5=si(D5<0; « P »; « F ») Expliquer la formule saisie III] Probabilités des évènements: Un événement est constitué par des issues d'une expérience aléatoire. Par exemple: – Le fait d'obtenir Rouge puis Pile constitue un événement. Quels sont les autres évènements: Saisie des formules: – F5= si(D5*C5=-1; « RP »;si(D5*C5=1; « RF »;si(D5*C5= -2; « VP »;si(D5*C5=2; « VF »; si(D5*C5=-3; « NP »; « NF »))))) Expliquer la formule saisie: Si le produit des cellules D5(P ou F)*C5 ( couleur) est égale à -1 alors la couleur est rouge (1) et le tirage est pile (négatif) sinon si le produit des cellules D5(P ou F)*C5 ( couleur) est égale à 1 alors la couleur est rouge (1) et le tirage est ......... (positif) sinon si le produit des cellules D5(P ou F)*C5 ( couleur) est égale à -2 alors la couleur est ........ (2) et le tirage est pile (négatif) sinon si le produit des cellules D5(P ou F)*C5 ( couleur) est égale à 2 alors la couleur est..............(1) et le tirage est ........... sinon si le produit des cellules D5(P ou F)*C5 ( couleur) est égale à -3 alors la couleur est ............. (3) et le tirage est ....... sinon...................... A l'aide de la touche F9 vérifier si vos formules sont correctes. Exploitation: – Cellule G5 saisie du nombre d 'épreuves: nb(A5:A10005) – H colonne du cumul des issues: H6=nb.si(F5:F1005; « RP »); H7=nb.si(F5:F1005; « RF ») H8=nb.si(F5:F1005; « VP »); H9=nb.si(F5:F1005; « VF ») H10=nb.si(F5:F1005; « NP »); H11=nb.si(F5:F1005; « NF ») – I colonne des fréquences: I6=H6/G5; I7=H7/G5; I8=H8/G5; I9=H9/G5; I10=H10/G5; I11=H11/G5; On note les résultats dans un tableau: Nb réalisations Freq RP Freq RF 1 10 100 1000 Freq VP Freq VF Freq NP Freq NF Simulation en répétant l'expérience 10 expériences successives: recopier les cellules A5-F5 jusqu'à A14-F14 100expériences successives: recopier les cellules A5-F5 jusqu'à A104-F104 1000 expériences successives: recopier les cellules A5-F5 jusqu'à A1004-F1004 Analyser les résultats obtenus: Comparer les résultats avec les nombres rationnels: 2/8;1/8;1/8 En comparant les résultats de la proabilité de chaque événement à l'issue de chaque épreuve proposer un mode de calcul. Marquer sur les branches les probabilités: 1/4 1/2 RP Rouge On réalise ainsi un arbre pondéré Proposer un mode de calcul lorsque nous avons deux épreuves successives: Si la probabilité de l'évènement « R » à la première épreuve est ¼ celle de « P » à la deuxième épreuve est ½ alors la probabilité de l'évènement « RF » est ........ Proposition de trois exercices pour montrer l'intérêt de la notion introduite: I] Exercices de méthodes Calculer la probabilité d'un événement: L'objectif: Application directe des formules dans des cas simples pour familiariser l'élève avec l'approche fréquentiste. Un jeu de 32 cartes à jouer est constitué de quatre « familles »: – Trèfle, pique (Couleur noire) – Carreau, coeur (Couleur rouge) Dans chaque famille on trouve trois « figures »: Valet, Dame, Roi On tire une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité des évènements suivants: 1] A: « La carte tirée est rouge » 2] B: « La carte tirée est une dame » 3] C: « la carte tirées est une figure rouge » 4] D: « la carte tirée n'est pas une figure rouge » Indications – Les évènements sont équiprobables (la carte est tirée au hasard.) – Les évènements étant équiprobables la probabilité d'un événement est donnée par: « nombre de cas favorables »/ « nombres de cas........... » – P(non A)=.................... Réaliser un arbre pondéré: L'objectif: Que l'élève formalise un problème à l'aide d'un arbre pondéré facilitant la compréhension. Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher, deux noires « N » et trois « blanches ». On dispose également de deux sacs contenant des jetons indiscernables au toucher: l'un est noir et contient un jeton noir et trois jetons blancs. L'autre est blanc et contient contient deux jetons noirs et deux jetons blancs. On extrait une boule de l'urne puis on tire un jeton dans le sac qui est de la même couleur que la boule tirée. 1) Combien y a t il d'issues possibles? Les préciser. 2) A l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité de chacune des issues 3) Déterminer la probabilité de l'évènement A: « La boule et le jeton oir extraits sont de la même couleur » Exercice d'applications Evènement incompatibles Evènements contraires Objectif: Enrichir l'utilisation d'arbres pondérés par l'utilisation des évènements incompatibles et contraires pour simplifier la résolution d'un problème. Voici la répartition des salaires dans une entreprise. On compte cinq classes 1000€<A≤1400€ 1400€<B≤1800€ 1800€<C≤2200€ 2200€<D≤2600€ 2600€<E≤3000€ 80 personnes 30 personnes 40 personnes 30 personnes 10 personnes 1) Représenter ses données sous forme de graphique barres On rencontre un salarié de cette entreprise au hasard et on lui demande sa classe de salaire. 1) Dessiner l'arbre pondéré par les probabilités écrites sous forme de fractions irréductibles 2) Quelle est la probabilité de l'évènement: A: « La classe de salaire est désignée par une voyelle » B: « Le salarié gagne plus de 1400€ Fiche d'exposé: 1) Rédaction complète d'un exercice: J'ai choisi le jeu de franc carreau car: – il fait intervenir des aires, – il permet d'illustrer les résultats découverts lors de la première activité. – Il nécessite de poser le problème tant pour réaliser le jeu que pour le solutionner – Il me semble aussi ludique – il est facile à réaliser sans que l'adresse du joueur intervienne (expérience aléatoire) Cette exercice serait réalisé à la maison pour la constitution des données (1ére partie) qui seront ensuite être exploitées avec un tableur pour conjecturer un résultat qui serait ensuite vérifié Travail à la maison: Réaliser un damier constitué de carrés de 5cm de côté sur une feuille de format A4 Lancer au « hasard » une pièce de 10 centimes d'euro (environ 1cm de rayon) On dit que la pièce est à « franc-carreau », si elle ne chevauche pas des lignes du quadrillage. Si le centre de la pièce est à l'extérieur du damier alors le lancer ne compte pas et on recommence le lancer. a) Effectuer 10 lancers et à cahque fois noté 1 si franc-carreau réussi, 0 sinon Calculer la fréquence de francs carreaux quevous avez obtenus b) Tracer un carré de 5 cm de côté, Placer quatre cercles de rayon 1cm distincts de sorte que chaque cercle tangente deux côtés du carré. Joigner les centres de ces cercles afin de former un parallélogramme. L'aire de ce parallélogramme représente l'ensemble des issues favorables au jeu de carreau. Justifier cette affirmation. c) En déduire la probabilité de franc carreaux. d) Y a t il un écart avec les expériences que vous avez réalisé. En classe: Correction de l'exercice p(franc carreau=(a-d)2/a2), a côté du carré, d diamètre de la pièce Comparaison des résultats Les élèves recopient et complètent le tableau suivant avec les données de la classe: N°Elève 1 2 Nb lancers cumulés 10 20 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Cumul Franc-carreaux Fréquences Fran-carreaux Représentation graphique fréquence en fonction du nb de lancers. Que constate t on Conclusion ....... 25 250 Jeu de bataille navale: Objectif: Une application « ludique » de l'approche fréquentiste. Des événements contraires La notion de cellule du tableur est reprise. Au jeu de bataille navale chaque joueur (A et B) a un carton quadrillé dont les cases sont notées de A à J et de 1 à 10. En jaune cinq bateaux de tailles différentes qui ne peuvent pas se toucher sont représentés. A tour de rôle les joueurs annoncent un case (par exemple H6) Le joueur adverse répond « Touché » si la case désignée ets jaune, « à l'eau » sinon. Voici le carton du joueur A A B C D E F G H I 1 J 2 J 3 J J J J 4 J 5 J J 6 J J 7 J J 8 J 9 J J J J 10 a) C'est le premier tour du joueur B: Quelle est la probabilité que le joueur A lui réponde « touché » puis « à l'eau » b) Au bout de 20 tours, le joueur B a « touché » 5 fois et « raté » les autres tours. Quelle est la probabilité qu'il touche un bateau du joueur A au tour suivant. Arbre pondéré avec des données statistiques. Intérêt: Calcul de sommes et différences de pourcentage. Utilisation de données « statistiques » Arbre pondéré Complet A la rentrée scolaire on fait ine enquête dans une classe de troisième de 25 élèves 48% ont 14 ans 1/5 16 ans Les autres 15 ans 1) On interroge au hasard un élève et on lui demande son âge. Dessiner l'arbre des possibles pondérés par des probabilités 2) Lors de cette enquête on leur a demandé s'ils utilisaient un sac à dos en bandouillère 1/6 des élèves de 14 ans ont un sac à dos 3/8 de 15 ans ont un sac en bandouillère 60% de 16 ans un sac à dos On interroge au hasard un élève de cette classe et on lui demande son âge et le type de sac qu'il utilise a) Dessiner l'arbre des issues pondéré par les probabilités en complétant celui de la question 1 b) Calculer la probabilité de chacun des évènements: A « l'élève a 14 ans et un sacs à dos » B l'élève a 15 ans et un sac à dos C l'élève a 16 ans et un sac à dos c) En déduire la probabilité que l'élève ait un sacs à dos et celle que l'élève et un sacs à bandouillère Exercice: 1) Vérifions que la longueur d'un côté d'un triangle équilatéral inscrit dans C est égale à R√3. a) Rappels: les médiatrices, hauteurs, médianes issues d'un sommet d'un triangle équilatéral sont confondues. La hauteur d'un triangle équilatéral a donc pour valeur en appliquant Pythagore : h2=L2-(L/2)2=3L2/4. b) Le centre du cercle inscrit est au 2/3 de la hauteur puisque confondu avec le centre de gravité, le rayon a donc une valeur égale au 2/3 de la hauteur. Conclusion: R=(2/3)L√3/2 soit L=R√3 2) Calculons la probabilité de l'évènement AM>L avec M en C: AM>L correspond à la probabilité que M appartiennet à l'arc de cercle BC. Pour le montrer voir capes 2008 (On projette O sur AB soit J ce point et sur AM soit I ce point, OJ/OA=cos(OAJ); et OI/OA=cos(OAI) si l'angle OAI<angle OAJ alors cos(OAI)>cos(OAJ) et OI>OJ, enfin AA'P est rectangle (triangle inscrit ayant le diamètre AA' pour côté) en P et AA'B est rectangle en B (triangle inscrit ayant le diamètre AA' pour côté) donc A'B paralléle à OJ et A'P à OI en appliquant les droites des milieux I milieu de AP et J milieu de AB. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit soit dans un triangle équilatéral l'angle BOC est de 120°. La probabilité que M appartienne à BOC est donc de 120/360=1/3. 3) Calculons la probabilité de l'évènement PQ>L. [PQ] est la corde perpendiculaire à M avec M appartient au diamètre [ AA']. a) rappels: A' est le symétrique de A par rapport à O, par définition. Soit H le pied de la hauteur issue de A nous avons : AO=2/3AH, soit OH=1/3 car AO+OH=AH (A,O,H alignés) A'O=AO soit A'O=2/3AH or OH+HA'=OA' (OHA' aligné) soit 1/3 HA+HA'=2/3AH ou encore HA'=1/3HA=HO, H est le milieu de OA'. b) Si M appartient à HA' alors OM>OA' et en appliquant Pythagore au triangle OMP nous avons R2=OP2=OM2+MP2=OB2=HB2+OH2 soit OP<HB et en doublant on a PQ<BC. De même si appartient à OH alors OM<OA' et en appliquant de nouveau Pyhtagore et en doublant on a PQ>BC c) Par symétrie par rapport O on en déduit que si M appartient à HH' avec H' symétrique de H par rapport à O on a PQ>BC et si M appartient à [AA'] mais non [HH'] alors PQ<BC de plus [HH']=[AA']/2 voir rappels (a). La proababilité que PQ>L est alors de ½ Conclusion: Dans les deux cas nous traçons une corde dans un cercle et étudions la probabilité pour qu'elle soit plus longue que le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle. Mais suivant la façon de modéliser le problème le sens donné au terme « choisr au hasard » varie et les résultats relatifs aux probabilités sont différents.
