Exercices d`Analyse

Exercices d’Analyse
Universit´e Aix-Marseille II, Luminy. Ann´ee Universitaire 2009-2010.
TD 1: R´evisions
1.1 L’ensemble des r´eels
1. Ranger, par ordre croissant, au sens de l’inclusion, les sous-ensembles classiques de IR, en rap-
pelant leur d´efinition.
2. Est-il vrai que:
•La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel?
•La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel?
•Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel?
•Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel?
•Entre deux nombres r´eels distincts, il y a au moins un rationnel?
•Entre deux nombres r´eels distincts, il y a au moins un irrationnel?
Selon les questions on donnera une preuve ou un contre-exemple.
3. Montrer que le r´eel 1,7959595 . . . est un rationnel.
4. En ´ecrivant que 0,999 . . . =
+∞
X
n=1
9
10nmontrer que 0,999 . . . = 1. On rappelle que la somme de
la s´erie g´eom´etrique ∀r6= 1 est
n
X
k=0
rk=1−rn+1
1−r,∀r6= 1,
dont on tire
∀|r|<1,lim
n→+∞rn+1= lim n→+∞e−(n+1) ln(1/|r|)= 0 ⇒ +∞
X
k=0
rk=1
1−r∀|r|<1.!(1)
1.2 Sommes et r´ecurrences
1. Soit Tn=
n
X
k=0
1 pour n∈N. Ecrire explicitement cette somme. Que vaut-elle?
2. On note Sn=
n
X
k=0
kpour n∈N. Ecrire explicitement cette somme. Utiliser l’´egalit´e
1 +2 + ··· +(n−1) +n
=n+(n−1) + ··· +2 +1
pour montrer que Sn=n(n+ 1)/2.
3. Parmi les relations suivantes
n
X
k=1
k(k−1) = n(n2−1)
3,
n
X
k=1
k(k+ 1) = 2n(n2+ 2)
3, n ≥1,
discriminer celles qui sont fausses et d´emontrer par r´ecurrence celles qui sont vraies.
1

2M Puschnigg, A. Broglio
4. V´erifier l’identit´e
an−bn= (a−b)
n−1
X
k=0
akbn−k−1, n = 2,3, . . .
apr`es avoir ´ecrit explicitement la somme. Ecrire cette formule pour n= 2,3 et n= 4.En d´eduire la
relation
1 + x+x2+···xn−1=xn−1
x−1, n = 1,2, . . . x 6= 1.
Que vaut cette somme pour x= 1?
1.3 Fonctions classiques
1. Rappeler la formule d’addition pour sin(x+a). En d´eduire sin(2a). D´eriver par rapport `a xpour
obtenir la formule d’addition de cos(x+a). En d´eduire trois ´ecritures diff´erentes de cos(2a). On rappelle
que tan x=sin x
cos x; donner la formule d’addition pour tan(x+a) et en d´eduire tan(2a).
2. Exprimer sin2xet cos2xen fonction de tan2x.
3. Soit a∈R, on rappelle que xa≡ealn xpour x > 0. Montrer les ´egalit´es
x0= 1, xaxb=xa+b, x−a=1
xa,xab=xab, x > 0.
Comparer (xx)xet x(xx), pour x > 0, en les ´ecrivant sous forme d’exponentielles. Que peut-on dire de
la limite `a droite en x= 0 de ces deux fonctions?
4. D´eterminer le domaine de d´efinition et simplifier les fonctions
x→f(x) = e|ln x|, x →g(x) = eln |x|, x →h(x) = ln(e|x|).
1.4 Etude de fonctions
Etudier les fonctions
x→f(x) = ln x
x, x →g(x) = 3
px3−3x+ 2,
et tracer les courbes repr´esentatives.
POUR ALLER PLUS LOIN
1.5 Une id´ee pour calculer des sommes
1. Montrer que si la suite uks´ecrit uk=vk+1 −vk, alors on a
Sn≡
n
X
k=0
uk=vn+1 −v0.
2. En utilisant ce r´esultat avec uk= 2k+ 1 et vk=k2retrouver la somme Snvue `a l’exercice 1.2
question 2.
3. En consid´erant uk= 3k2+ 3k+ 1 et vk=k3montrer que
n
X
k=0
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6∀n∈N.
Par ce proc´ed´e on peut exprimer, avec une r´ecurrence, toutes les sommes
n
X
k=0
kppour p∈N.

Exercices d’Analyse: Fonctions 3
1.6 Fonctions classiques
1. Rappeler les valeurs de sin π
4et de cos π 4. Utiliser les formules de duplication pour montrer que
sin π
8=p2−√2 2,cos π 8=p2 + √2 2.
2. R´esoudre, pour x > 0, l’´equation
ln x+ 5
2=ln x+ ln 5 2.
3. Trouver les valeurs possibles pour tan xsolution de
tan x
2=a−1 + tan x a+ 1 + tan x, a ∈R.
1.7 Fonctions sym´etriques des racines
1. Soit le trinˆome du second degr´e P(x) = ax2+bx +c, avec a, b, c ∈Ret a6= 0. Comment
se factorise P(x) en termes de ses racines r1et r2? Exprimer les 2 fonctions sym´etriques des racines
r1+r2, r1r2,en fonction de aet bsans utiliser la forme explicite des racines r1et r2en termes de a, b et
c. En d´eduire la valeur de r2
1+r2 2.
2. Soit l’´equation du troisi`eme degr´e P(x)≡ax3+bx2+cx +d= 0 `a coefficients r´eels avec a6= 0.
On note ses racines r1, r2, r3.Comment se factorise P(x) en termes de ses racines? Exprimer les trois
“fonctions sym´etriques des racines” d´efinies par
σ1=r1+r2+r3, σ2=r1r2+r2r3+r3r1, σ3=r1r2r3
en fonction des coefficients b, c, d.
1.8 Binˆome de Newton
On rappelle que la formule du binˆome de Newton est
(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k,∀n∈N,n k=n! k!(n−k)!.(2)
1. V´erifier les relations
n
k=n n−k,n k=n−1 k+n−1 k−1,1≤k≤n−1.
2. Utiliser (2) pour d´evelopper (1 + x)n. En d´eduire les relations
n
X
k=0 n
k= 2n,
n
X
k=0
(−1)kn
k= 0.
3. En extrayant de la relation (1 + x)n(1 + x)n= (1 + x)2nle terme en xnmontrer
n
X
k=0 n
k2
=2n
n.

4M Puschnigg, A. Broglio
TD 2: Intervalles, Limites
2.1 La fonction valeur absolue
Soient a,b,c trois r´eels quelconques. Quelles sont les propri´et´es v´erifi´ees par la valeur absolue?
1. |a+b|≤| a−c|+|c+b|
2. || a|−|b||≥| a−b|
3. |a−b|= max(a, b)−min(a, b)
4. |a−b|+|b−c|+|a−c|= 2 max{a, b, c} − 2 min{a, b, c}
5. |a+b|+|b+c|+|a+c|=|a+b+c|+|a|+|b|+|c|
Tracer le graphe repr´esentatif de x→ |x|.
2.2 Intervalles dans Ret r´egions dans R2
1. D´eterminer les parties de Rd´efinies par les conditions suivantes:
|x−1| ≤ 4,2p2x−x2<1,ln |x|<1,|x+|x|| ≥ 2,
Lesquelles sont des intervalles? Lesquelles sont des intervalles compacts?
2. On consid`ere les intervalles
A=] − ∞,−1], B = [−1,3], C =] −1,5[.
D´eterminer les ensembles (les compl´ementaires sont pris par rapport `a R):
A∩B, C ∩A, B ∩C, B ∪C, Ac∪Cc,
Pr´eciser ceux qui sont des intervalles et ceux qui sont des intervalles compacts.
3. Soit A une partie non vide de IR. Les propri´et´es suivantes impliquent-elles que A soit un intervalle?
• ∀(a, b)∈A2,∀x∈R,(a<x<b)⇒(x∈A)
• ∃(a, b)∈A2,∀x∈R,(a<x<b)⇒(x∈A)
• ∃(a, b)∈R2,∀x∈R,(a<x<b)⇒(x∈A)
• ∃(a, b)∈R2,∀x∈R,(a<x<b)⇐(x∈A)
• ∃(a, b)∈R2,∀x∈R,(a<x<b)⇔(x∈A)
4. Soit Pla parabole d’´equation y=x2−2x−1. D´efinir par des in´egalit´es les deux r´egions qu’elle
d´etermine dans le plan.
5. On consid`ere les droites D:y=−x+ 1 et H:x−y−2 = 0. D´efinir par des in´egalit´es les quatre
r´egions qu’elles d´eterminent dans le plan.
2.3 Limites
1. Enoncer au moins 4 cas d’ind´etermination.
2. Trouver les limites suivantes
lim
x→1
x2−1
2x2−x−1,lim
x→−1
x+ 1
x3+ 1,lim
x→11
1−x2−2 1−x4,lim
x→4
√1+2x−3
√x−2.
lim
x→±∞
x−1
√x2−x−1,lim
x→+∞(x√5−x√3),lim x→+∞
xa−ln x
xb−ln x,(a > 0, b > 0).

Exercices d’Analyse: Fonctions 5
3. D´eterminer les limites `a droite et `a gauche, en x= 0, des fonctions
e1/x,1
e1/x + 1,e1/x (e1/x + 1)2.
4. Tracer le graphe de la fonction sinus. En d´eduire sans calcul l’allure des graphes des fonctions
x→sin( 1
x), x →xsin( 1 x), x →x2sin( 1 x).
Regarder les limites lorsque xtend vers 0.
2.4 La fonction partie enti`ere
Rappeler la d´efinition de la fonction partie enti`ere de x, not´ee E(x).Puis:
1. Calculer E(2,8), E(−2,8),puis
lim
x→n+E(x),lim x→n−E(x),lim x→−n+E(x),lim x→−n−E(x),∀n∈N.
Rappeler la d´efinition de E(x) et en d´eduire l’encadrement x−1< E(x)≤x. Tracer le graphe de cette
fonction.
2. Quelles sont les propri´et´es v´erifi´ees par la fonction partie enti`ere ?
1. ∀x∈R,∀n∈Z, E(x+n) = E(x) + n?
2. ∀x∈R,∀n∈N, E(nx) = nE(x) ?
3. ∀x∈R,∀y∈R, E(x+y) = E(x) + E(y) ?
4. E(−x) = −E(x) si x∈Zet E(−x) = −E(x)−1 si x6∈ Z?
POUR ALLER PLUS LOIN
2.5 Limites
1. D´eterminer les limites
lim
x→0
(1 + x)3−1−3x
x2+ 3x3,lim
x→a
√x−√a+√x−a
√x2−a2, a > 0,lim
x→+∞(sin √x+ 1 −sin √x).
Pour la derni`ere il sera utile d’´etablir l’identit´e trigonom´etrique:
sin a−sin b= 2 sin (a−b)
2cos (a+b) 2.
lim
x→+∞
xln x
(ln x)x,lim
x→+∞
2(3x)
3(2x),lim
x→02
sin2x−1
1−cos x,lim
x→0
2 tan x−tan(2x)
xsin2x.
2. Rappeler la d´efinition de la d´eriv´ee d’une fonction en un point. Utiliser celle-ci pour calculer les
limites
lim
x→0
sin x
x,lim
x→0
ex−1
x,lim
x→1
ln x
x−1,lim
x→1
xπ−1
x√2−1.
2.6 Equations
1. R´esoudre l’´equation x√x= (√x)x.
2. Simplifier xA(x)avec A(x) = ln(ln x)
ln x.