Exercices d`Analyse

Université Aix-Marseille II, Luminy. Année Universitaire 2009-2010.
Exercices d’Analyse
TD 1: Révisions
1.1
L’ensemble des réels
1. Ranger, par ordre croissant, au sens de l’inclusion, les sous-ensembles classiques de IR, en rappelant leur définition.
2. Est-il vrai que:
•
•
•
•
•
•
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel?
La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel?
Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel?
Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel?
Entre deux nombres réels distincts, il y a au moins un rationnel?
Entre deux nombres réels distincts, il y a au moins un irrationnel?
Selon les questions on donnera une preuve ou un contre-exemple.
3. Montrer que le réel 1, 7959595 . . . est un rationnel.
4. En écrivant que 0, 999 . . . =
+∞
X
9
montrer que 0, 999 . . . = 1. On rappelle que la somme de
10n
n=1
la série géométrique ∀r 6= 1 est
n
X
rk =
k=0
1 − rn+1
,
1−r
∀r 6= 1,
dont on tire
∀ |r| < 1,
1.2
lim rn+1 = lim e−(n+1) ln(1/|r|) = 0
n→+∞
n→+∞
+∞
X
⇒
k=0
1
r =
1−r
k
!
∀ |r| < 1.
Sommes et récurrences
1. Soit Tn =
n
X
1 pour n ∈ N. Ecrire explicitement cette somme. Que vaut-elle?
k=0
2. On note Sn =
n
X
k pour n ∈ N. Ecrire explicitement cette somme. Utiliser l’égalité
k=0
=
1
+2
+···
n +(n − 1) + · · ·
+(n − 1)
+2
+n
+1
pour montrer que Sn = n(n + 1)/2.
3. Parmi les relations suivantes
n
X
k=1
k(k − 1) =
n(n2 − 1)
,
3
n
X
k(k + 1) =
k=1
2n(n2 + 2)
,
3
n ≥ 1,
discriminer celles qui sont fausses et démontrer par récurrence celles qui sont vraies.
1
(1)
2
M Puschnigg, A. Broglio
4. Vérifier l’identité
an − bn = (a − b)
n−1
X
ak bn−k−1 ,
n = 2, 3, . . .
k=0
après avoir écrit explicitement la somme. Ecrire cette formule pour n = 2, 3 et n = 4. En déduire la
relation
xn − 1
,
n = 1, 2, . . .
x 6= 1.
1 + x + x2 + · · · xn−1 =
x−1
Que vaut cette somme pour x = 1?
1.3
Fonctions classiques
1. Rappeler la formule d’addition pour sin(x + a). En déduire sin(2a). Dériver par rapport à x pour
obtenir la formule d’addition de cos(x + a). En déduire trois écritures différentes de cos(2a). On rappelle
sin x
que tan x =
; donner la formule d’addition pour tan(x + a) et en déduire tan(2a).
cos x
2. Exprimer sin2 x et cos2 x en fonction de tan2 x.
3. Soit a ∈ R, on rappelle que xa ≡ ea ln x pour x > 0. Montrer les égalités
x0 = 1,
x−a =
xa xb = xa+b ,
1
,
xa
xa
b
= xab ,
x > 0.
x
Comparer (xx )x et x(x ) , pour x > 0, en les écrivant sous forme d’exponentielles. Que peut-on dire de
la limite à droite en x = 0 de ces deux fonctions?
4. Déterminer le domaine de définition et simplifier les fonctions
x → f (x) = e| ln x| ,
1.4
x → g(x) = eln |x| ,
x → h(x) = ln(e|x| ).
Etude de fonctions
Etudier les fonctions
x → f (x) =
ln x
,
x
x → g(x) =
p
3
x3 − 3x + 2,
et tracer les courbes représentatives.
POUR ALLER PLUS LOIN
1.5
Une idée pour calculer des sommes
1. Montrer que si la suite uk sécrit uk = vk+1 − vk , alors on a
Sn ≡
n
X
uk = vn+1 − v0 .
k=0
2. En utilisant ce résultat avec uk = 2k + 1 et vk = k 2 retrouver la somme Sn vue à l’exercice 1.2
question 2.
3. En considérant uk = 3k 2 + 3k + 1 et vk = k 3 montrer que
n
X
k=0
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
∀n ∈ N.
Par ce procédé on peut exprimer, avec une récurrence, toutes les sommes
n
X
k=0
k p pour p ∈ N.
Exercices d’Analyse: Fonctions
1.6
3
Fonctions classiques
1. Rappeler les valeurs de sin π4 et de cos π4 . Utiliser les formules de duplication pour montrer que
π
sin =
8
p
√
2− 2
,
2
π
cos =
8
p
2+
2
√
2
.
2. Résoudre, pour x > 0, l’équation
ln
ln x + ln 5
x+5
=
.
2
2
3. Trouver les valeurs possibles pour tan x solution de
tan
1.7
x
a − 1 + tan x
=
,
2
a + 1 + tan x
a ∈ R.
Fonctions symétriques des racines
1. Soit le trinôme du second degré P (x) = ax2 + bx + c, avec a, b, c ∈ R et a 6= 0. Comment
se factorise P (x) en termes de ses racines r1 et r2 ? Exprimer les 2 fonctions symétriques des racines
r1 + r2 , r1 r2 , en fonction de a et b sans utiliser la forme explicite des racines r1 et r2 en termes de a, b et
c. En déduire la valeur de r12 + r22 .
2. Soit l’équation du troisième degré P (x) ≡ ax3 + bx2 + cx + d = 0 à coefficients réels avec a 6= 0.
On note ses racines r1 , r2 , r3 . Comment se factorise P (x) en termes de ses racines? Exprimer les trois
“fonctions symétriques des racines” définies par
σ1 = r1 + r2 + r3 ,
σ2 = r1 r2 + r2 r3 + r3 r1 ,
σ3 = r1 r2 r3
en fonction des coefficients b, c, d.
1.8
Binôme de Newton
On rappelle que la formule du binôme de Newton est
(a + b)n =
n X
n k n−k
a b
,
k
∀n ∈ N,
k=0
1. Vérifier les relations
n
n
=
,
k
n−k
n
n!
=
.
k
k!(n − k)!
n
n−1
n−1
=
+
,
k
k
k−1
1 ≤ k ≤ n − 1.
2. Utiliser (2) pour développer (1 + x)n . En déduire les relations
n X
n
= 2n ,
k
k=0
n
X
(−1)k
k=0
n
= 0.
k
3. En extrayant de la relation (1 + x)n (1 + x)n = (1 + x)2n le terme en xn montrer
n 2
X
n
2n
=
.
k
n
k=0
(2)
4
M Puschnigg, A. Broglio
TD 2: Intervalles, Limites
2.1
La fonction valeur absolue
Soient a,b,c trois réels quelconques. Quelles sont les propriétés vérifiées par la valeur absolue?
1. | a + b |≤| a − c | + | c + b |
2. || a | − | b ||≥| a − b |
3. |a − b| = max(a, b) − min(a, b)
4. | a − b | + | b − c | + | a − c |= 2 max{a, b, c} − 2 min{a, b, c}
5. | a + b | + | b + c | + | a + c |=| a + b + c | + | a | + | b | + | c |
Tracer le graphe représentatif de x → |x|.
2.2
Intervalles dans R et régions dans R2
1. Déterminer les parties de R définies par les conditions suivantes:
p
|x − 1| ≤ 4,
2 2x − x2 < 1,
ln |x| < 1,
|x + |x|| ≥ 2,
Lesquelles sont des intervalles? Lesquelles sont des intervalles compacts?
2. On considère les intervalles
A =] − ∞, −1],
C =] − 1, 5[.
B = [−1, 3],
Déterminer les ensembles (les complémentaires sont pris par rapport à R):
A ∩ B,
C ∩ A,
B ∩ C,
B ∪ C,
Ac ∪ C c ,
Préciser ceux qui sont des intervalles et ceux qui sont des intervalles compacts.
•
•
•
•
•
3. Soit A une partie non vide de IR. Les propriétés suivantes impliquent-elles que A soit un intervalle?
∀(a, b) ∈ A2 , ∀x ∈ R,
(a < x < b) ⇒ (x ∈ A)
∃(a, b) ∈ A2 , ∀x ∈ R,
(a < x < b) ⇒ (x ∈ A)
∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R,
(a < x < b) ⇒ (x ∈ A)
∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R,
(a < x < b) ⇐ (x ∈ A)
∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R,
(a < x < b) ⇔ (x ∈ A)
4. Soit P la parabole d’équation y = x2 − 2x − 1. Définir par des inégalités les deux régions qu’elle
détermine dans le plan.
5. On considère les droites D : y = −x + 1 et H : x − y − 2 = 0. Définir par des inégalités les quatre
régions qu’elles déterminent dans le plan.
2.3
Limites
1. Enoncer au moins 4 cas d’indétermination.
2. Trouver les limites suivantes
x2 − 1
lim 2
,
x→1 2x − x − 1
lim √
x→±∞
x+1
lim
,
x→−1 x3 + 1
x−1
,
2
x −x−1
lim
x→1
√
lim (x
x→+∞
5
−x
√
3
1
2
−
2
1−x
1 − x4
),
√
,
xa − ln x
,
x→+∞ xb − ln x
lim
lim
x→4
1 + 2x − 3
√
.
x−2
(a > 0, b > 0).
Exercices d’Analyse: Fonctions
5
3. Déterminer les limites à droite et à gauche, en x = 0, des fonctions
1
,
1/x
e
+1
e1/x ,
e1/x
.
(e1/x + 1)2
4. Tracer le graphe de la fonction sinus. En déduire sans calcul l’allure des graphes des fonctions
1
x → sin( ),
x
1
x → x sin( ),
x
1
x → x2 sin( ).
x
Regarder les limites lorsque x tend vers 0.
2.4
La fonction partie entière
Rappeler la définition de la fonction partie entière de x, notée E(x). Puis:
1. Calculer E(2, 8), E(−2, 8), puis
lim E(x),
lim E(x),
x→n+
lim E(x),
x→n−
x→−n+
∀n ∈ N.
lim E(x),
x→−n−
Rappeler la définition de E(x) et en déduire l’encadrement x − 1 < E(x) ≤ x. Tracer le graphe de cette
fonction.
2. Quelles sont les propriétés vérifiées par la fonction partie entière ?
1. ∀x ∈ R,
∀n ∈ Z,
E(x + n) = E(x) + n?
2. ∀x ∈ R,
∀n ∈ N,
E(nx) = nE(x) ?
3. ∀x ∈ R,
∀y ∈ R,
E(x + y) = E(x) + E(y) ?
4. E(−x) = −E(x)
x ∈ Z et
si
E(−x) = −E(x) − 1
si
x 6∈ Z ?
POUR ALLER PLUS LOIN
2.5
Limites
1. Déterminer les limites
lim
x→0
√
(1 + x)3 − 1 − 3x
,
x2 + 3x3
lim
x→a
√
√
x− a+ x−a
√
, a > 0,
x2 − a 2
√
√
lim (sin x + 1 − sin x).
x→+∞
Pour la dernière il sera utile d’établir l’identité trigonométrique:
(a − b)
(a + b)
cos
.
2
2
2
1
lim
−
,
x→0 sin2 x
1 − cos x
sin a − sin b = 2 sin
xln x
,
x→+∞ (ln x)x
lim
x
2(3 )
x ,
x→+∞ 3(2 )
lim
2 tan x − tan(2x)
.
x→0
x sin2 x
lim
2. Rappeler la définition de la dérivée d’une fonction en un point. Utiliser celle-ci pour calculer les
limites
sin x
ex − 1
ln x
xπ − 1
lim
,
lim
,
lim
,
lim √
.
x→0
x→0
x→1 x − 1
x→1 x 2 − 1
x
x
2.6
Equations
√
1. Résoudre l’équation x
x
√
= ( x)x .
2. Simplifier xA(x) avec A(x) =
ln(ln x)
ln x .
6
2.7
M Puschnigg, A. Broglio
Partie entière
1. En n’utilisant que l’encadrement x − 1 < E(x) ≤ x qui définit la partie entière, démontrer les
relations suivantes:
• ∀x ∈ R,
• ∀x ∈ R,
∀y ∈ R,
∀y ∈ R,
• ∀x ∈ R,
∀n ∈ N∗ ,
E( E(nx)
n ) = E(x).
• ∀x ∈ R,
∀n ∈ N∗ ,
Σn−1
k=0 E(x + k/n) = E(nx).
= {0, 1}.
= {0, 1}.
E(x + y) = E(x) + E(y) + ,
E(x − y) = E(x) − E(y) − ,
2. On considère la fonction f (x) = x − E(x). Pour tout intervalle de la forme ]n, n + 1[ avec
n ∈ Z, donner la forme explicite de la fonction f (x) restreinte à cet intervalle. En déduire les points de
discontinuité de f et sa période. Graphe de f .
TD 3: Fonctions, Continuité
3.1
Domaines, images, continuité
1. Pour les fonctions suivantes, déterminer Imf :
x
f (0) = 0, Df = R∗+ ,
fn (x) = xn e−x
f (x) =
ln x
f (x) = (x − a)2 (x − b)2 ,
n ∈ N,
Df = R+ ,
Df = [a, b].
2. Soit f une fonction continue et monotone croissante (resp. décroissante) sur le compact [a, b].
Ecrire, dans chacun des cas, la forme explicite de l’intervalle Imf .
3. Soit la fonction f (x) =
continue en x0 = 2?
4. Soit la fonction f (x) =
x2 + x − 6
pour x 6= 2. Comment faut-il choisir f (2) pour que f soit
x−2
x2 − 5x + 4
pour x 6= 1 et f (1) = 3. Est-elle continue en x = 1?
x−2
5. Soit la fonction
f (x) = e1/x ,
x < 0,
f (x) =
1
,
e1/x + 1
x > 0.
Déterminer les limites f (0−) et f (0+). Cette fonction est-elle continue en x = 0? Mêmes questions en
x = 0 pour
e1/x
g(x) = e1/x , x < 0,
g(x) = 1/x
, x > 0,
e
+1
et en x = π/2 pour
1
h(x) =
∀x ∈ R.
1 + 2tan x
6. Soit f une fonction continue en x0 . Montrer, en précisant les théorèmes du cours utilisés, que |f |
est continue en x0 . Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
3.2
Continuité
Soit un intervalle ouvert I de R. Les affirmations suivantes sont-elles vraies? f est continue sur I si:
1. ∀ > 0,
∃η > 0,
∀(x, y) ∈ I 2 ,
2
| x − y |< η ⇒| f (x) − f (y) |< 2. ∃ > 0,
∀η > 0,
∀(x, y) ∈ I ,
| x − y |< η ⇒| f (x) − f (y) |< 3. ∃ > 0,
∃η > 0,
∀(x, y) ∈ I 2 ,
| x − y |< η ⇒| f (x) − f (y) |< 4. ∀x ∈ I,
∀ > 0,
∃η
| x − y |< η ⇒| f (x) − f (y) |< ∀y ∈ I,
Exercices d’Analyse: Fonctions
3.3
7
Propriétés des fonctions continues
1. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR. Les affirmations suivantes sont-elles vraies?
• Si I est un intervalle borné, alors f est bornée et atteint ses bornes sur I.
• Si a et b sont deux éléments de I et si f (a) ≤ y ≤ f (b), alors il existe c entre a et b tel que
y = f (c).
• Si I est un intervalle ouvert, alors f(I) est un intervalle ouvert.
• Si I est un intervalle fermé, alors f(I) est un intervalle fermé.
2. Dessiner des exemples de fonctions f continues (ou donner leur forme analytique), lorsque c’est
possible, qui transforment l’intervalle I en J = f (I) dans les cas suivants:
I = R → J = [0, +∞[,
I = [0, 1[ → J = R+ ,
3.4
I = R → J = [0, 1],
I =]0, 1[ → J = R,
I = [0, 1] → J =]2, 4],
I =]0, 2π[ → J = [−1, 1]
Fonctions définies par morceaux et continuité
1. Soient les fonctions
x → f (x) =

 4ch x
x≥0
a
x<0


5 tan2 x + a2 ,




3 sin x + 1
x → g(x) =




2 cos x + a1
x≤0
0<x<π
x≥π
Déterminer les paramètres de façon que f et g soient continues sur R.
3.5
Prolongement par continuité
On considère la fonction
x → f (x) =
x7 + ax + b
,
x2 − 1
a, b ∈ R.
1. Déterminer son domaine de définition Df pour des valeurs génériques des paramètres (a, b).
2. Déterminer (a, b) pour que l’on puisse prolonger f par continuité en f˜ dans tout R.
3. Pour ce choix des paramètres, en utilisant les identités remarquables, obtenir une expression de
f˜ sur laquelle sa continuité sur R soit évidente.
3.6
Parité
1. Soit f impaire sur ] − r, +r[ avec r > 0. Montrer que si f a une limite pour x → 0, alors cette
limite est nulle.
2. Préciser, si elle est définie, la parité des fonctions suivantes:
x → ln
1+x
, x ∈] − 1, +1[,
1−x
x → |x2 − x|,
x → ln(x +
x → ex−1/x ,
p
x2 + 1),
x → |x + 1| + |x − 1|,
x → |x + 1| + |x| − |x − 1|.
3. Si f et g ont une parité définie, g ◦ f a-t-elle une parité définie? Si oui, laquelle?
3.7
Séparation des racines
Démontrer que le polynôme P (x) = 12x4 − 14x3 − 3x2 − 5 a deux racines réelles x1 et x2 en utilisant le
théorème des valeurs intermédiaires. Donner les parties entières E(x1 ) et E(x2 ).
8
M Puschnigg, A. Broglio
POUR ALLER PLUS LOIN
3.8
Exercices divers
1. Donner le domaine de définition maximal Df , Imf et le domaine de continuité des fonctions
suivantes:
s
q√
√
1 − |x|
x → f (x) =
x + 2 − x + 2,
x → f (x) =
.
1 + |x|
2. Déterminer Imf pour
fλ (x) = e−2x − 2λe−x
3.9
λ ∈ R∗ ,
x ∈ R+ .
Continuité
1. Donner le domaine de définition maximal Df des fonctions suivantes:
x → ln(ln x),
x → (ln x)2 ,
x → esin x ,
x→ √
1
.
sin x
2. Calculer chaque dérivée et donner le domaine maximal de définition Df 0 , puis de continuité de
f 0.
r
1−x
. Etudier ses variations et représenter sur le même graphe
1+x
g(x) et −g(x). La courbe ainsi obtenue s’appelle une strophoı̈de.
3. Mêmes questions pour x → x
3.10
Prolongement par continuité
Soit la fonction f définie sur Df = R∗ par
f (x) =
e−x − e−2x
.
x
1. En explicitant les theorèmes du cours utilisés, étudier la continuité de f pour x ∈ Df .
2. La limite lim f (x) existe-t-elle? (Penser à la dérivée). Si c’est le cas déterminer sa valeur.
x→0
3. Peut-on prolonger f définie sur R∗ en une fonction fe qui serait continue sur R? Si c’est le cas,
expliciter fe(x) pour x 6= 0 et fe(0).
3.11
Fonctions hyperboliques
On rappelle que les fonctions hyperboliques d’usage courant sont:
sh x =
ex − e−x
,
2
ch x =
ex + e−x
,
2
th x =
sh x
ex − e−x
= x
,
ch x
e + e−x
∀x ∈ R.
1. Calculer ch x ± sh x et en déduire ch2 x − sh2 x = 1.
2. Montrer les relations
sh0 = ch,
ch0 = sh,
th0 = 1 − th2 =
1
.
ch2
(3)
3. Etudier les variations de ces 3 fonctions et dessiner leurs graphes. Donner Imf pour les 3 fonctions.
4. Utiliser les formules d’Euler pour sin et cos pour établir
sh x =
sin(ix)
,
i
ch x = cos(ix).
Exercices d’Analyse: Fonctions
9
5. Déduire des formules d’addition pour les lignes trigonométriques, les formules d’addition pour
sh, ch, et th.
6. Utiliser les formules d’addition pour écrire une formule pour sh (2x) et th(2x) et 3 formules
différentes pour ch (2x).
7. Exprimer sh2 et ch2 en fonction de th2 .
TD 4: Fonctions réciproques
4.1
Injection, surjection et continuité
On considère une fonction f continue sur un intervalle I. Les propriétés suivantes sont-elles vraies?
1. La fonction f est bijective de I sur f(I).
2. Si f est injective, alors f est strictement monotone sur I.
3. Si f est strictement monotone sur I, alors f est injective.
4. La fonction f est strictement monotone sur I ssi elle admet une fontion reciproque f −1 définie sur
f(I).
5. Si f −1 existe et si f est croissante, alors f −1 est décroissante.
4.2
Fonctions réciproques
1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui admettent une fonction réciproque
x → f (x) = x1/2
Df = R+ ,
x → f (x) = |x| Df = R,
x → f (x) = x3
Df = R.
Lorsque c’est possible, donner la fonction réciproque en précisant son domaine et son image.
2. Que peut-on dire de la fonction réciproque d’une fonction périodique? D’une fonction constante?
D’une fonction paire?
3. Soit f une bijection continue impaire de Df = [−1, 1] dans Imf = [−r, +r] avec r > 0. Peut-on
dire que f −1 est impaire et sur quel intervalle?
x−1
avec Df =] − 1, +∞[. Déterminer Imf . Montrer que f est
x+1
une bijection continue de Df → Imf . Calculer f −1 et préciser Df −1 et Imf −1 . Comparer les graphes de
f et f −1 .
4. Soit la fonction x → f (x) =
5. Soit la fonction x → f (x) = x − 1/x avec Df =]0, +∞[. Déterminer Im f. Montrer que c’est une
bijection de Df → Im f et déterminer sa fonction réciproque f −1 ainsi que Df −1 → Im f −1 . Comparer les
graphes de f et f −1 .
6. Soit f une bijection continue de R dans R et de fonction réciproque f −1 . Donner les fonctions
réciproques de
f (x − a),
f (x) + a
∀a ∈ R,
f (λx)
λf (x)
∀λ ∈ R∗ .
10
4.3
M Puschnigg, A. Broglio
Fonctions réciproques trigonométriques
1. Comparer arcsin(−x) et arcsin x, puis arccos(−x) et arccos x et enfin arctan(−x) et arctan x.
2. Donner quelques arguments qui montrent que la relation
arctan x =
arcsin x
arccos x
ne peut être que fausse.
3. Simplifier
arcsin(sin x) ∀x ∈ [−π/2, +π/2],
arcsin(cos x) ∀x ∈ [0, π].
√
En déduire que arcsin u + arcsin 1 − u2 est une constante ∀u ∈ [−1, 1] que l’on déterminera.
4. Simplifier
sin(arcsin x),
cos(arcsin x),
sin(arccos x),
∀x ∈ [−1, +1].
5. Exprimer
arctan
√
x
1 − x2
∀x ∈] − 1, 1[
en fonction de arcsin. Il sera utile de poser x = sin θ. Montrer que la relation obtenue est encore vraie
pour x → ±1.
6. Résoudre, si c’est possible, les équations
1
arcsin x = 4 arcsin √ ,
2
2 arcsin x = arccos x,
arcsin x = arcsin
1
1
+ arcsin .
4
5
7. Résoudre sur R l’équation
arctan x + arctan(1 − x) =
4.4
π
.
2
Fonctions réciproques hyperboliques
1. Déterminer la forme explicite de x → argch x en précisant son domaine et son image. Utiliser
cette forme explicite pour simplifier ch (argsh x), x ∈ R.
2. Déterminer la forme explicite de x → argsh x en précisant son domaine et son image. Utiliser
cette forme explicite pour simplifier sh (argch x), x ∈ [1, +∞[.
POUR ALLER PLUS LOIN
4.5
Fonctions réciproques
1. Calculer la fonction réciproque des fonctions
f1 (x) = 3x − 2,
f2 (x) =
√
x + 1 + 2,
f3 (x) = ln(x + 2) + 1,
f4 (x) = 3 − 2e
√
3x−2
Préciser Df −1 et Imf −1 dans chaque cas.
2. Démontrer les relations
r
1 − cos x
|x|
arctan
=
,
1 + cos x
2
∀x ∈] − π, +π[,
cos(2 arctan x) =
1 − x2
,
1 + x2
∀x ∈ R.
.
Exercices d’Analyse: Fonctions
11
3. Etudier les variations des fonctions
(x + 1)3
,
(x − 1)2
p
3
1 − x3 .
Quels intervalles de définition Df est-il possible de choisir de façon que leurs fonctions réciproques existent?
4. Discriminer les relations qui sont justes parmi
1
1
π
arctan +arctan = ,
2
3
4
2 arctan
1
4
= arctan ,
2
5
arctan(1+x)−arctan x = arctan
1
, ∀x ∈ R.
x2 + x + 1
On notera que tan x = tan y implique seulement que x = y + kπ, avec k ∈ Z.
5. Soit la fonction
x → fλ (x) =
arctan(λx) − arctan x
,
λ−1
x ∈ R+ ,
λ ∈ R.
• Calculer et simplifier sa dérivée fλ0 , puis discuter, selon les valeurs de λ, les variations de fλ . En
déduire Imfλ .
• Pour x fixé, calculer lim fλ (x) (penser à la dérivée en λ).
λ→1
4.6
Calculs de fonctions réciproques
On définit les 3 fonctions fi pour i = 1, 2, 3 par:

x → f1 (x) = (x2 − 1)2




x → f2 (x) = (x2 − 1)2




x → f3 (x) = (x2 − 1)2
Df1 = [−1, 0],
Df2 = [0, 1],
Df3 = [1, +∞].
1. Déterminer Imfi pour i = 1, 2, 3.
2. Montrer que chaque fi est une bijection continue de Dfi → Imfi .
3. Déterminer fi−1 (x) en précisant pour chacune son domaine de définition et son image.
5
Trouvez l’erreur
Soit le raisonnement suivant: on considère la fonction x → f (x) = arcsin
x = tan
θ
2,
2x
1+x2
avec Df = R. On pose
avec θ ∈] − π, +π[, ce qui donne θ = 2 arctan x. Alors, en utilisant
2 tan θ2
2x
=
1 + x2
1 + tan2
θ
2
= sin θ,
il vient
f (x) = arcsin(sin θ) = θ = 2 arctan x,
=⇒
arcsin
2x
1 + x2
= 2 arctan x
Répondre aux questions suivantes:
• Cette relation est-elle vraie pour x = 0 ? Pour x → +∞ ?
• Désignez avec précision quelle est l’étape du raisonnement qui est fausse.
La relation correcte s’obtenue en résolvant l’exercice (6.5), question 1.
x ∈ R.
12
M Puschnigg, A. Broglio
TD 5: Dérivées
5.1
Exercices de dérivation
1. Sans vous préoccuper du domaine de validité des relations, calculer et simplifier les dérivées des
fonctions suivantes:
ax + b
, ∀ (ad − bc),
ax , a > 0,
cx + d
√
ln(x + x2 + 1),
ch2 x − sh2 x,
esin x ,
√
ch ( x),
ln(1 + tan2 x),
√
ln(cos x),
e
x
(xx )x ,
,
ath x ,
a > 0.
Puis calculer la dérivée nième des fonctions
x → xe−x ,
1
,
x+a
x→
x→
1
.
1 − x2
2. Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
sin(x2 ),
x ∈ R,
e−1/x ,
√
x ∈ R∗ ,
2
x
,
x ∈ R∗+ ,
ln(ch x),
x ∈ R.
3. En utilisant la définition de la dérivée déterminer les limites
lim
x→a
xx − ax
,
x−a
a > 0,
lim
x→0+
xa ln x
,
xx − 1
a ∈ R.
4. Visualiser par un graphe la continuité et la dérivabilité pour x ∈ R des fonctions
x → sin2 x,
x → |x|,
x → | sin x|.
5. Soit une fonction C 1 de parité définie sur I = [−r, +r], r > 0. Que peut-on dire de la parité de
sa dérivée?
6. Soit f ∈ C 1 (R) une fonction T −périodique. Sa dérivée est elle T −périodique?
5.2
Dérivabilité et continuité de la dérivée
Comparer les deux exemples suivants:
• Soit la fonction
x → f (x) =
x
,
1 + e1/x
f (0) = 0.
1. Calculer les limites à gauche et à droite de f en x = 0. Cette fonction est-elle continue en
x = 0?
2. Calculer directement f 0 (0−) et f 0 (0+) en revenant à la définition.
3. Calculer f 0 (x) pour x ∈ R∗ et montrer que la fonction f 0 est continue à gauche et à droite
de x = 0.
• Soit la fonction
1
x → f (x) = x2 sin ,
x
si
x ∈ R∗ ,
f (0) = 0.
1. Montrer que f est continue en x = 0.
2. Calculer directement f 0 (0) = lim
x→0
f (x) − f (0)
.
x
3. Calculer f 0 (x) pour x ∈ R∗ .
4. En déduire que f est dérivable en x = 0 mais que f 0 n’est continue ni à gauche ni à droite
en x = 0.
Exercices d’Analyse: Fonctions
5.3
13
Vrai ou faux?
Soit x0 ∈ R et soit f une fonction à valeurs réelles:
• f dérivable en x0
• f dérivable en x0
⇒
⇒
f continue en x0 ?
f 0 continue en x0 ?
• f non-continue en tout x 6= x0
⇒
f non-dérivable en x0 ?
• f dérivable en tout x 6= x0 et lim f 0 (x) existe
⇒
x→x0
5.4
f dérivable en x0 ?
Extrêma
1. Soient deux villes A et B séparées par un fleuve de largeur w. Déterminer la position x du pont
qui doit relier les deux villes de façon à minimiser la distance de parcours entre celles-ci.
B
6
b
w
x
a A ?
d
-
2. Soit un piédestal de hauteur h, sur lequel est posée une statue de hauteur a. A quelle distance
du piédestal faut-il se placer pour voir la statue sous l’angle θ maximal?
A (
5.5
6
a
((((
CC θ ((((((
((((
(
(
x
6
h
-
Points d’inflexion
Déterminer les (éventuels) points d’inflexion des fonctions suivantes:
x → f (x) =
5.6
1
,
1 + x2
x → f (x) = √
x2
,
x2 − 1
x → f (x) =
p
3
x2 + 1.
Accroissements finis
1. Soit la fonction x → x2 pour x ∈ [a, b], un compact de R. Ecrire, après avoir rappelé les hypothèses
de validité, le théorème des accroissements finis. On se propose de déterminer la valeur du paramètre c;
pour cela on pose a = x, b = x + h et c = x + θh. Déterminer la valeur de h.
14
M Puschnigg, A. Broglio
2. Mêmes questions pour la fonction x → 1/x pour [a, b] ⊆ R?+ .
3. A l’aide du théorème des accroissements finis démontrer les inégalités:
ex ≥ 1 + x,
∀x ∈ R :
∀x ∈ [0, +∞[:
sin x ≤ x.
POUR ALLER PLUS LOIN
5.7
Fonctions C ∞
Que signifie f ∈ C ∞ (R) ? Donner deux exemples de telles fonctions choisies dans la liste suivante:
sin2 x,
|x|,
5.8
p
|x|,
1
,
x2 + 1
e−|x| ,
th x.
Extremum
On considère l’ellipse déquation cartésienne
y2
x2
+ 2 = 1,
2
a
b
a > b > 0.
Graphe de cette ellipse. On veut inscrire un rectangle, dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy et
dont les sommets sont sur l’ellipse, de façon que sa surface soit maximale. Déterminer la longueur et la
largeur du rectangle de surface maximale. Comparer cette surface à celle de l’ellipse.
5.9
Loi de Descartes
Un faisceau lumineux incident (angle θ1 par rapport à la normale au plan d’incidence) se propage à la
vitesse v1 dans le milieu de gauche et à la vitesse v2 dans le milieu de droite (angle θ2 par rapport à la
normale). Exprimer le temps de parcours total entre le point A et le point B en fonction de x, d, h1 et
h2 . Déterminer la condition pour que ce temps soit extrêmal. Vérifier que sous cette condition on retrouve
la relation de Snell-Descartes n1 sin θ1 = n2 sin θ2 . Les indices de réfraction sont définis par n1 = vc1 et
n2 = vc2 , où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
Montrer que si n1 < n2 la réfraction est toujours possible, alors que pour n1 > n2 il existe un angle
critique θc pour lequel la réfraction reste possible. Si l’angle d’incidence est supérieur à θc alors la lumière
subit alors une réflexion.
A
H
6HH
H
HH
h1
H
θ1
HH
H
H
H
-AA
x
n2
5.10
A
A
θ2 A
d
n1
A
A
A
h2
A
A
A
-A? B
Equation fonctionnelle
Soit f (x) une fonction C 1 (R) avec f (0) 6= 0. On se propose de résoudre l’équation
f (x + y) = f (x) · f (y),
∀x, y ∈ R.
(4)
Exercices d’Analyse: Fonctions
15
1. Montrer que f (0) = 1 et que f (−x) = 1/f (x).
2. En prenant y = et en faisant tendre vers 0, montrer que l’on a
f 0 (x) ≡ lim
→0
f (x + ) − f (x)
= f (x)f 0 (0).
En déduire f (x). Quelle est l’interprétation géométrique du paramètre libre f 0 (0)?
Remarque: On peut montrer que ce résultat reste valable sous la seule hypothèse de continuité de f.
TD 6: Dérivation des fonctions réciproques
6.1
Dérivées diverses
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
√
arcsin( x), x ∈ ]0, 1[,
earctan x ,
x ∈ R.
2. Simplifier la dérivée de
1
f (x) = arctan x + arctan ,
x
x ∈ R∗ .
Peut-on conclure que f (x) = π/2 ∀x ∈ R∗ ?
3. En utilisant la définition de la dérivée déterminer les limites
lim
x→0
arcsin x
,
x
4. Pour les fonctions hyperboliques inverses
p
argsh x ≡ ln(x + x2 + 1), x ∈ R,
et
argth x ≡
arctan x
.
x
lim
x→0
argch x ≡ ln(x +
1
1+x
ln
,
2
1−x
p
x2 − 1),
x ∈ [1, +∞[,
x ∈ ] − 1, +1[,
calculer et simplifier leurs dérivées.
6.2
Fonction réciproque et dérivation
Soit la fonction x → f (x) = arcsin(e−x ), définie sur Df = R+ .
1. Déterminer Imf . Sens de variation de f ? Montrer que c’est une bijection de Df → Imf .
2. Calculer explicitement f −1 et donner Df −1 et Imf −1 .
3. Calculer directement la dérivée de f −1 en utilisant la forme explicite de f −1 obtenue à la question
précédente. Sur quel domaine maximal est-elle définie? Sens de variation de f −1 ?
4. Donner la formule qui exprime la dérivée d’une fonction réciproque (f −1 )0 .
5. En utilisant cette formule, vérifier la dérivée de f −1 obtenue à la question précédente.
Reprendre le même exercice avec les fonctions:
√
x → f (x) = x − 2 x,
Df = [0, 1],
x → f (x) = x +
1
,
x
Df = [1, +∞[.
16
M Puschnigg, A. Broglio
POUR ALLER PLUS LOIN
6.3
Accroissements finis
Démontrer les inégalités:
arcsin x < √
6.4
x
,
1 − x2
∀x ∈]0, 1[,
x
≤ arctan x ≤ x,
1 + x2
∀x ∈ [0, +∞[.
(5)
Fonction réciproque et dérivation
1. Soit la fonction x → f (x) =
Im f =] − 1, +∞[.
1+x
. Montrer que c’est une bijection de Df =] − ∞, 1[ sur
1−x
2. Déterminer f −1 et donner Df −1 et Im f −1 . Pourquoi ne peut-on pas écrire f −1 = −
1
?
f
3. Calculer directement la dérivée de f −1 pour x ∈ Df −1 .
4. Rappeler la formule générale qui donne la dérivée d’une fonction réciproque et sa condition de
validité.
5. Calculer à nouveau la dérivée de f −1 en utilisant cette formule et comparer au résultat du calcul
direct obtenu à la question 3.
6. Reprendre les mêmes questions pour les fonctions réciproques de l’exercice 4.6.
6.5
Fonctions réciproques
1. Soient les fonctions
x → f1 (x) = arcsin
2x ,
1 + x2
Df1 =] − 1, 1[,
2x 2x ,
D
=]
−
∞,
−1[,
x
→
f
(x)
=
arcsin
,
f
+
−
1 + x2
1 + x2
Calculer leurs dérivées et en déduire une expression simple pour f1 et f± .
x → f− (x) = arcsin
Df+ =]1, +∞[.
2. Montrer la relation
r
arctan
1+x
π 1
= − arccos x,
1−x
2
2
∀x ∈ [−1, +1[,
en calculant la dérivée des deux membres.
3. Calculer les dérivées pour simplifier
arcsin(2x
p
1 − x2 ),
arccos(4x3 − 3x),
arctan
2x .
1 − x2
λ ≥ 0,
λx 6= 1.
Atttention à bien préciser les intervalles sur lesquels on dérive...
6.6
Relation d’addition
Soit la fonction
x → h(x) = arctan x − arctan
x+λ
,
1 − λx
x ≥ 0,
1. Montrer que h0 = 0 et en déduire la relation
arctan x + arctan λ = arctan
x+λ
+ δ,
1 − λx
avec
δ=

 0
si
λx < 1,
π
si
λx > 1.

Exercices d’Analyse: Fonctions
17
2. En déduire les relations
arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π,
arctan
1
1
1
π
+ arctan + arctan = .
2
5
8
4
TD 7: Formules de Taylor et Développements limités
7.1
Les symboles o et O
Après avoir rappelé les définitions de o(xn ) de O(xn ) et de (x), discriminer parmi les égalités suivantes
celles qui sont vraies ∀n, ∀p ∈ N:
λo(xn ) = o(xn ),
λO(xn ) = O(xn ),
sin x = x + o(x2 ) = x + O(x3 ),
(1 + x)α = 1 + αx + α(α + 1)x2 + o(x2 ),
xo(xn ) = o(xn+1 ),
7.2
o(xn ) = xn (x),
(x) = O(x),
xO(xn ) = o(xn ),
o(xn )o(xp ) = o(xn+p ).
Calcul de quelques DL
1. Calculer les DL suivants
√
DL(2, 0)
1 + x ln(1 + x),
DL(3, 0)
2
e2x−x ,
1
,
cos x
DL(2, 0)
√
DL(3, 0)
cos(sin x),
DL(4, 0)
ln(cos x),
DL(2, 0) e
cos x
.
2. Même question pour
DL(4, 0)
√
1
,
1 − x2
DL(4, 0)
1
,
1 + x2
√
DL(4, 0)
1
,
x2 + 1
DL(4, 0)
1
,
1 − x2
et en déduire par primitive les DL(3,0) des fonctions réciproques circulaires et hyperboliques. Que peut-on
dire du DL(2,0) de arg ch x ?
7.3
Quelques limites
Utiliser les DL pour calculer les limites
cos x − e−x
x→0
x4
lim
lim
x→0
7.4
2
/2
1
1
−
,
x→0 x
sin x
π
lim x
− arctan x .
x→+∞
2
,
x[ln(1 + sin x) − tan x]
,
sin x − tan x
lim
Prolongement par continuité
Utiliser un DL pour obtenir le prolongement par continuité en x = 0 de f et de ses dérivées pour les
fonctions définies dans R∗ par
x2
,
1 − ch x
ln(1 + tan x) − sh x
,
x3
Donner dans chaque cas les valeurs de f (0), f 0 (0), f 00 (0).
x3
.
argsh x − arcsin x
18
7.5
M Puschnigg, A. Broglio
Asymptotes
Soient les fonctions
f (x) =
p
x2 − 2ax + 1,
a 6= ±1,
f (x) = arctan
x+1
,
x
f (x) = x
p
3
x3 + 3x2 + 6x + 4.
Déterminer l’équation fas (x) de son asymptote lorsque x → ±∞. Préciser la position de f par rapport à
l’asymptote.
7.6
Equivalents
Donner un équivalent lorsque x → 0 des fonctions
x
a − 1,
a∈
R∗+ \{1},
ex + e−x − 2
− 1,
x2
p
r
1 + 2ax +
x2
−
3
3
1 + 3ax + x2 ,
2
a ∈ R.
On rappelle que 0 ne peut pas être un équivalent!
7.7
DL décalés
1. Donner le DL(4, 1) de ex .
2. Donner le DL(5, π/2) de cos x.
√
3. Donner le DL(4, ∞) de
x2 − 1
.
x
POUR ALLER PLUS LOIN
7.8
Limites
Calculer
sin2 x
,
x→0 1 + ln(1 + x) − ex
1
1
lim x ln x tan
x→+∞
x
2
7.9
1
lim x2 (e x − e x+1 ),
lim
x→+∞
,
ax − bx
,
x→0
x
lim
x2 cos x − (ex − 1)2
,
x→0
sin3 x
lim
lim
x→+∞
a > 0, b > 0.
2
cos
1 x
.
x
Extremum local ou inflexion?
Soit f une fonction C 5 sur R. On considère un point x0 ∈ R pour lequel on a
a) f (x0 ) = 1 f 0 (x0 ) = 0
f (2) (x0 ) = 0
f (3) (x0 ) = 0
f (4) (x0 ) = 0 f (5) (x0 ) = 1,
b)
f (x0 ) = 1 f 0 (x0 ) = 0
f (2) (x0 ) = 0
f (3) (x0 ) = 0
f (4) (x0 ) = 1 f (5) (x0 ) = 0,
c)
f (x0 ) = 0 f 0 (x0 ) = 0
f (2) (x0 ) = 0
f (3) (x0 ) = −1
f (4) (x0 ) = 0 f (5) (x0 ) = 0,
d)
f (x0 ) = 0 f 0 (x0 ) = 0
f (2) (x0 ) = −1
f (3) (x0 ) = 0
f (4) (x0 ) = 0 f (5) (x0 ) = 0,
e)
f (x0 ) = 1 f 0 (x0 ) = 1
f (2) (x0 ) = 0
f (3) (x0 ) = 0
f (4) (x0 ) = 0 f (5) (x0 ) = 1.
Décider, en utilisant la série de Taylor, pour chaque cas si x0 est un maximum local, un minimum local
ou un point d’inflexion.
Exercices d’Analyse: Fonctions
7.10
19
Quelques DL
Calculer les DL:
DL(3, 0)
DL(3, 0)
1
,
sin(x + π/4)
DL(5, 0)
sin(2x − 4x2 ) − 2 sin(x − 2x2 ),
arcsin(1 + x),
DL(3, 0)
DL(4, 0)
sh x
,
1 − ln(1 + x)
ln(1 + sh x),
DL(4, 0) earcsin x − esin x .
Montrer que si x → +∞ on a le développement
(x − 1) arctan
d
1
b
c
1
= a + + 2 + 3 + O( 4 )
x
x x
x
x
et déterminer a, b, c et d.
7.11
Equivalents
1. Déterminer les paramètres a et b de façon que, pour x → 0, les expressions suivantes soient
d’ordre le plus élevé possible en x:
ex −
1 + ax
,
1 + bx
ln
1+x
(2 + ax2 )
−x
.
1−x
1 + bx2
2. Trouver un équivalent, pour x au voisinage de x = 2,
√
x+2−2
y(x) = √
−
x+7−3
et determiner lim
x→2
de l’expression
3
,
2
y
.
x−2
3. Déterminer l’équivalent, lorsque n → +∞, de la suite (un ) définie par
un = Sn − Sn−1 ,
7.12
Sn = (n + 1/2) ln(n) − n − ln(n!).
Inégalités
Utiliser la formule de Taylor-Mac-Laurin avec reste pour justifier les inégalités
ex ≥ 1 + x ∀x ∈ R,
cos x ≥ 1 −
x2
2
∀x ∈ [0, π],
ln(1 + x) ≥ x −
x2
2
∀x ≥ 0.
TD 8: Primitives et intégrales
8.1
Primitives et intégrales avec indications
1. Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes par décomposition en éléments simples
1
a
b
=
+
,
x2 − 1
x−1 x+1
x
a
b
=
+
,
x2 − 1
x−1 x+1
4
a
bx + c
= + 2
x3 + 4x
x x +4
2. Calculer les primitives des fonctions trigonométriques
sin2 x,
cos2 x,
sin3 x,
cos4 x,
tan x,
tan2 x
.
1 + tan2 x
(parité).
20
M Puschnigg, A. Broglio
3. Montrer leur existence puis calculer, par changement de variable, les intégrales
ln 2
Z
√
ex − 1 dx
(poser
√
0
Z
2
1
2
Z
ex − 1 = t),
ln s
ds
s2
1
t+2
√
dt
5 − t2
(poser t =
√
(poser s = et ),
π/2
Z
sin3 t dt
5 sin s),
(poser cos t = x).
0
4. Montrer que les intégrales suivantes existent, puis les calculer par ipp:
Z
√
e
xn |{z}
ln x dx,
1
8.2
Z
n ∈ N,
√
3
Z
arctan
| {z s} ds,
√
−1/ 3
u
3/2
1/2
u
arcsin
| {z }t dt.
u
Primitives et intégrales
1. Etudier l’existence des intégrales suivantes, et les calculer si elles existent, par changement de
variable
Z π/2
Z +π/2
Z 1
Z 1/2 x
2
e
dx,
(tan x)3 dx,
sin3 x cos2 x dx.
x ex dx,
ch
x
0
0
−1
0
2. Etudier l’existence des intégrales suivantes, et les calculer si elles existent
Z
2
√
1
Z
x x + 2 dx,
1
8.3
0
Z
dx
,
x2 + a2
1
0
Z
x
dx,
x2 + a2
π
2
a > 0,
2
Z
π/2
sin x cos x dx,
0
π/4
dx
.
sin2 x
Aires
1. Calculer les intégrales
Z
6
Z
6
(4 − x)dx,
(2 + 3x)dx,
1
1
puis vérifier vos résultats par des arguments géométriques.
2. Calculer la surface comprise entre la parabole f (x) = x2 et la droite f (x) = x pour x ∈ [0, 1].
3. Calculer
Z
1
p
1−
x2
Z
− x dx,
0
1
p
1 − x2 −
p
1/4 − (1/2 − x)2 dx,
0
puis vérifier vos résultats par des arguments géométriques.
On rappelle que l’équation cartésienne d’un cercle de centre (x0 , y0 ) et de rayon R est
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .
8.4
Intégrales fonction de leurs bornes
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
Z x
Z 2x
u
e du,
(sh t − ch (2t))dt,
0
tan x
Z
x
0
du
.
(u2 + 1)2
2. Préciser, pour les intégrales suivantes, si elles sont croissantes ou décroissantes en x:
Z
x
Z
−1
−e
ch t dt,
−1
x
−u2
Z
−2x
du,
−1
2
ev dv.
Exercices d’Analyse: Fonctions
8.5
21
Primitives et intégrales
1. On rappelle que
Z
x
ln x =
1
• Montrer que u ≥
√
du
,
u
x > 0.
u pour u ≥ 1 et a < 1.
• Utiliser ce résultat pour obtenir une inégalité dont on déduira
ln x
= 0.
x
lim
x→+∞
• Par les changements de variable successifs x = ua puis u = 1/v, en déduire
lim
u→+∞
ln u
= 0,
ua
lim v a ln v = 0,
v→0+
∀ a > 0.
2. Calculer, par le changement de variable u = tan x, l’intégrale
π/2
Z
I(a) =
0
dx
= lim
1 + a2 cos2 x →0
π/2−
Z
0
dx
,
1 + a2 cos2 x
a ∈ R.
Vérifier votre résultat pour a = 0 et a → +∞.
x
3. Calculer, par le changement de variable u = tan , l’intégrale
2
Z
π/2
π/4
dx
sin x
on utilisera
sin x =
2 tan x2
.
1 + tan2 x2
POUR ALLER PLUS LOIN
8.6
Surfaces
Dessiner la région du plan définie par les inégalités suivantes et calculer son aire:
2 < x < 4, x3 y 2 = 64;
|x| < 2, |y| < 2, 2x + 3y < 5;
8.7
x > 0, y > 0, (y + 1)ex < 3.
Valeur moyenne
Soit f (x) une fonction réelle, continue et périodique, de période T. On définit sa valeur moyenne comme
l’application qui à f (x) associe le réel f (x) défini par
1
f (x) =
T
Z
a+T
f (x)dx,
a ∈ R.
a
1. Montrer que la valeur moyenne est une application linéaire.
2. En séparant l’intervalle d’intégration en [a, 0] ∪ [0, T ] ∪ [T, T + a], montrer que la valeur moyenne
est indépendante du choix de a. On a deux choix commodes a = 0 ou a = −T /2.
3. Calculer les valeurs moyennes de
1,
sin x,
cos x,
sin x cos x,
sin2 x,
cos2 x,
sin2 x cos2 x.
4. Au vu des exemples précédents, la valeur moyenne d’un produit de fonctions périodiques de même
période est-elle toujours égale au produit des valeurs moyennes?
22
M Puschnigg, A. Broglio
8.8
Autres exemples
1. Primitiver ces fractions rationnelles:
x3
cx + d
= ax + b + 2
,
+1
x +1
x2
cx + d
1
ax + b
√
√
+
.
=
2
2
+1
x − 2x + 1 x − 2x + 1
x4
2. Soit l’intégrale
1
Z
xe−λx dx,
I(λ) =
λ ∈ [−1, +1].
−1
• Montrer que cette intégrale existe ∀λ ∈ [−1, +1].
• Calculer cette intégrale par une intégration par parties dont on détaillera les différentes étapes et
montrer qu’on peut l’écrire
sh λ − λ ch λ
.
I(λ) = 2
λ2
I(λ)
• Donner le DL(3,0) de sh λ et le DL(2,0) de ch λ et les utiliser pour déterminer lim
.
λ→0 λ
3. Soit l’intégrale
Z
1
J(λ) =
p
x 1 − λ2 x2 dx,
λ ∈ [−1, +1].
0
• Montrer que cette intégrale existe ∀λ ∈ [−1, +1].
• Transformer cette intégrale par le changement de variable u = 1 − λ2 x2 . On expliquera comment
changent l’intégrand et les bornes d’intégration.
• Calculer J(λ).
• Donner le DL((2,0) de (1 − λ2 )3/2 . L’utiliser pour déterminer lim J(λ). Comparer au calcul direct
λ→0
de l’intégrale donnant J(0).
4. On considère l’intégrale
Z
1
I(a) =
−1
dx
,
x2 + 2ax + 1
a ∈ ] − 1, 1[.
• Montrer que I(a) existe.
x+a
• Transformer cette intégrale par le changement de variable u = √
. On veillera à simplifier les
1 − a2
bornes et l’intégrand.
• Utiliser la relation arctan λ + arctan λ1 = π/2, valable si λ > 0, pour montrer que
π
I(a) = √
2 1 − a2
8.9
∀a ∈ ] − 1, 1[.
Autres exercices
1. Calculer les intégrales
Z argsh(1)
Z
ch3 x dx,
0
Z
π/3
4
Z
−π/4
dx
,
cos2 x
5
7
π/3
cos x sin x dx,
0
π/4
Z
2
xe
√
x
Z
π/4
cos x sin x dx,
−π/3
dx,
0
e2 tan x
−π/4
dx
cos2 x
2. En utilisant la relation
Z
Z
Z
eax eiωx dx =
eax cos(ωx) dx + i eax sin(ωx) dx,
et en calculant le membre de gauche, déduire la valeur des intégrales du membre de droite. Cette méthode
évite une double ipp.
Exercices d’Analyse: Fonctions
23
3. Discuter, selon les valeurs des paramètres réels a et b, les primitives
Z
Z
dx
dx
√
,
.
2
2
x + ax + b
x + ax + b
8.10
Longueur curviligne
Soit un morceau de courbe d’équation cartésienne y(x) pour x ∈ [a, b]. On admettra que la longueur
curviligne (c’est à dire mesurée par un mètre qui épouserait la forme de la courbe) est donnée par l’intégrale
Z
b
p
1 + (y 0 )2 dx.
a
1. Pour un cercle centré sur l’origine et de rayon R, déterminer la longueur du quart de cercle situé
dans le premier quadrant. On précisera y(x) et les valeurs de a et b.
2. Longueur curviligne de la parabole y = ax2 avec a > 0 entre x = 0 et x = l.
3. Longueur curviligne de la chaı̂nette y(x) = R ch (x/R) entre x = −l et x = +l.
TD 9: Etudes de fonctions
9.1
Graphes
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des réels positifs, par x 7→ x2 − 2x. Dessiner les graphes des
fonctions suivantes:
x → f (x),
x → f (−x),
x → f (x) − 1,
x → f 2 (x),
x → 1 − f (x − 1),
9.2
x → 1 − f (x),
x → f (1 − x)
p
x → (f (x))2 .
Tangentes
Soient les fonctions
f (x) = 2x+2 (2x − 1),
f (x) = √
1
.
1+x
Montrer que ces fonctions sont dérivables en x = 0 et déterminer l’équation de leur tangente fT (x) en
x = 0 puis préciser la position de f par rapport à fT .
9.3
Asymptotes
Déterminer l’équation des asymptotes pour x → +∞ des fonctions suivantes et préciser leur position par
rapport à la fonction considérée:
x2
,
−1
x2
9.4
x3 + x
,
x2 − 1
x2 − 3x + 2 − √
Etude de fonctions
1. Etudier les variations et dessiner le graphe de la fonction
x → f (x) =
1 + cos(2x)
.
1 − 2 cos x
On réduira l’intervalle de l’étude en utilisant les symétries de f .
2. Soit la fonction
x → (x + 2)e1/x .
x3
.
x2 − 1
24
M Puschnigg, A. Broglio
• Calculer les limites à droite et à gauche en x = 0. Quel est le domaine maximal de continuité Df ?
• Cette fonction est-elle dérivable sur Df ? Calculer sa dérivée pour x ∈ Df . Déterminer les dérivées
à droite et à gauche en x = 0. Quel est le domaine maximal de continuité Df 0 ?
• Déterminer les points d’inflexion.
• Montrer que pour x → ±∞ f est asymptote à une droite (D) dont on donnera l’équation cartésienne
y = fas (x). Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote.
• Tableau des variations et graphe de f .
3. Soit la fonction
x→
p
3
x2 (x − 1).
• Quel est le domaine maximal de continuité Df ?
• Cette fonction est-elle dérivable sur Df ? Déterminer les dérivées à droite et à gauche en x = 0 et en
x = 1. Calculer sa dérivée pour x ∈ Df . Quel est le domaine maximal de continuité Df 0 ?
• Déterminer le zéro de f 00 . Ce point est-il un point d’inflexion?
• Montrer que pour x → ±∞ f est asymptote à une droite (D) dont on donnera l’équation cartésienne
y = fas (x). Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote.
• Tableau des variations et graphe de f .
4. Soit la fonction
x→
xch x − sh x
, si x 6= 0
ch x − 1
et f (0) = 0.
• Montrer que f est continue et dérivable en x = 0. Donner f 0 (0). Déterminer l’équation cartésienne
y = fT (x) de la tangente à f en x = 0. Préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente.
• Montrer que le graphe de f admet une asymptote dont on donnera l’équation cartésienne y = fas (x).
Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote.
• Tableau des variations et graphe de f .
POUR ALLER PLUS LOIN
9.5
Asymptotes
Déterminer l’équation des asymptotes pour x → +∞ des fonctions suivantes et préciser leur position par
rapport à la fonction considérée:
r
1
(x + 1)3
x + 2p 2
x3 − 3x2 − 2x + 1
,
x − 1,
(x − 2)e x−3 ,
.
x+
2
(x − 1)
x
x+1
9.6
Etude de fonctions
1. Etudier les fonctions
1
(x2 + x + 1) arctan ,
x
x ∈ R∗ ,
(1 + sin3 x)1/4 ,
x1/x ,
x ∈ R∗+ ,
cos3 x + sin3 x.
1
2. Soit la fonction x → f (x) = x2 E( ). On demande:
x
• Que vaut f (x) pour x > 1? Déterminer f (1+).
• Pour n ≤
1
x
< n + 1 montrer que f est un arc de parabole.
• Montrer que les extrémités supérieures de ces arcs sont sur la droite y = x, alors que les extrémités
inférieures sont sur la parabole y = −x2 + x.
• Tracer le graphe pour x > 1/5.