algèbre – analyse – géométrie - probabilités - statistiques

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MATH-Interne_Sujet_2009
CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT CAPESA
DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE
SESSION 2009
Concours : INTERNE
Section : Mathématiques
COMPOSITION POUVANT PORTER SUR :
algèbre – analyse – géométrie - probabilités - statistiques
-----------------------------
(Coefficient 2 : - Durée : 5 heures)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront
pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu’elles soient à
fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante.
Le sujet comporte cinq pages.
L’épreuve est constituée de deux exercices indépendants l’un de l’autre.

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Exercice 1
1- Préliminaire
Soient a et b deux nombres réels tels que ba
<
et f une fonction numérique continue sur
l’intervalle
[]
ba,.
a. Rappeler les conditions pour que la fonction f soit une densité de probabilité sur
[]
ba,.
Dans la suite de l’exercice, f désigne une fonction continue, densité de probabilité sur
l’intervalle
[]
ba,.
b. Démontrer que : ()
b
a
atftdtb<<
∫.
On prolonge f à l’ensemble des nombre réels par
(
)
0
=
xf pour tout nombre réel x n'appartenant pas à
l’intervalle
[] ba,.
X
désigne une variable aléatoire réelle de densité f.
La fonction de répartition de
X
notée Fest définie sur IR par
()
() ()
x
F
xPXx ftdt
−∞
=≤=
∫.
Si 0)0( =≤XP , on dit que
X
est positive.
Si l’intégrale ()tf tdt
+∞
−∞
∫ est convergente, cette intégrale notée
(
)
XE , est appelée espérance
mathématique de la variable aléatoire
X
.
Si
X
admet une espérance mathématique et si
(
)
(
)
(
)
2
XEXE − existe, ce nombre réel est appelé
variance de la variable aléatoire
X
.
2- Exemple de loi à densité
Soit Θ, variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l’intervalle ⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤−2
;
2
ππ
.
Soit
T
la variable aléatoire réelle définie par tanT
=
Θ.
a. Déterminer la densité, puis la fonction de répartition de la variable aléatoire Θ.
b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
T
.
c. En déduire que la fonction fdéfinie sur IR par
()
2
11
)( x xf + =
π
est la densité de
probabilité de la variable aléatoire
T
.
d. Vérifier que la variable aléatoire
T
n'admet pas d'espérance mathématique.

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3- Inégalité de Markov
Soit
X
une variable aléatoire réelle de densité de probabilité f.
On suppose que
X
est positive et admet une espérance mathématique.
Soit a un nombre réel strictement positif et b tel que
(
)
XEab
=
.
a. Démontrer que ( ) ( )
b
E
Xxfxdx
+∞
≥∫ puis que )()( bXPbXE >≥ .
b. En déduire que
[]
a
XaEXP 1 )( ≤> .
c. On suppose que la fonction de répartition de
X
est strictement croissante sur IR .
Démontrer qu’il existe un nombre réel unique 3
q tel que
()
4
3
3=≤ qXP .
3
qest appelé le troisième quartile de la variable aléatoire
X
. Démontrer que
()
XEq 4
3≤.
d. Exemple
Soit la variable aléatoire U de loi normale centrée réduite et 2
UX =.
Déterminer
()
XE et une valeur approchée du troisième quartile de
X
.
On rappelle que
()
875,015,1 ≈≤UP .
4- Inégalité de Tchebychev
Soit
Y
une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée
μ
, et une
variance, notée 2
σ
.
Déduire de la question 3 en prenant
(
)
2
μ −= YX que pour tout nombre réel k strictement positif :
2
1
)(
k
kYP ≤>− σμ .
5- Loi faible des grands nombres
Soit
X
une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée
μ
, et une
variance, notée 2
σ
.
n étant un entier naturel non nul, soient n XXX ,...,, 21 , n variables aléatoires mutuellement
indépendantes, de même loi que
X
.
Soit n
X, la variable aléatoire définie par ∑
=
=n
iin X
n
X1
1.
a. Démontrer que n
X admet pour espérance mathématique
μ
et pour variance n
2
σ
.
b. Soit
ε
un nombre réel strictement positif.
Soit
()
1≥n
n
p la suite définie par )(
εμ >−= nn XPp .
Démontrer que 0lim =
+∞→ n np.
c. Donner un exemple en statistique inductive illustrant cette propriété.

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Exercice 2
On se place dans le plan affine euclidien. Soit ABC un triangle non isocèle.
On pose aBC =, bCA =, cAB =.
Le problème sera illustré par une figure que l’on complétera au fil de l’exercice, en prenant comme unité
le centimètre comme unité, avec 6=a, 3=b, 8
=
c.
1- Soit
I
, le barycentre du système de points
(
)
(
)
{
}
cCbB ,;, .
a. Soit →
=AB
c
i1
G
et AC
b
j→
=1
G
.
Démontrer qu’un point
M
appartient à la bissectrice intérieure de l’angle CABˆ si et
seulement si : j
AM
i
AM
G
K.. →
→=.
b. En déduire que la droite
()
AI est la bissectrice intérieure de l’angle CABˆ.
c. Quel point remarquable du triangle ABC est le barycentre de
(
)
(
)( )
{
}
cCbBaA ,;,;, ?
2- Soit J, le barycentre du système de points
(
)
(
)
{
}
cCbB
−
,;, .
Démontrer que les droites
()
AI et
()
AJ sont orthogonales. Que peut-on en déduire pour
()
AJ ?
3-
a. Montrer que l’ensemble des points M du plan tels que b
c
MC
MB = est le cercle de diamètre
[]
JI noté 1 C.
b. Soit 1
Ω, le milieu du segment
[
] JI .
Exprimer le vecteur 1
→
Ω
A en fonction des nombres réels b et c et des vecteurs AB
→et
C
A→.
c. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Etablir les égalités : 2
.2
c
AB
AO =
→
→ et 2
.2
b
ACAO =
→→ .
d. Démontrer que la droite
()
OA est tangente en A au cercle 1 C.
4- Soit 2
C, le cercle ensemble des points M du plan tels que c
a
MA
MC = et 2
Ω
son centre.
On admet que les cercles 1
C et 2 C sont sécants en deux points P et Q.
a. Démontrer que 2
1
22
1Ω+=Ω AOAO et 2 2
22
2Ω+=Ω BOBO .
b. En déduire que 2
2
2
1
2
2
2
1Ω−Ω=Ω−Ω PPOO .
c. Si
ω
désigne le milieu du segment
[
]
21
Ω
Ω
, en déduire que 2121 .. ΩΩ =
ΩΩ →
→
→
→
ωω PO .

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d. Démontrer que les points O, P, Q sont alignés.
5- Soit 3
C, le cercle ensemble des points M du plan tels que a
b
MB
MA =.
a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle 3
C. Construire le cercle 3 C.
b. En déduire que les centres des trois cercles précédents sont alignés.
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