CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE CAPESA SESSION 2009 Concours : Section : INTERNE Mathématiques COMPOSITION POUVANT PORTER SUR : algèbre – analyse – géométrie - probabilités - statistiques ----------------------------(Coefficient 2 : - Durée : 5 heures) La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu’elles soient à fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante. Le sujet comporte cinq pages. L’épreuve est constituée de deux exercices indépendants l’un de l’autre. 1/5 MATH-Interne_Sujet_2009 Exercice 1 1- Préliminaire Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f une fonction numérique continue sur l’intervalle [ a , b ] . a. Rappeler les conditions pour que la fonction f soit une densité de probabilité sur [ a , b ] . Dans la suite de l’exercice, f désigne une fonction continue, densité de probabilité sur l’intervalle [ a , b ] . b. Démontrer que : a < On prolonge ∫ b t f (t )dt < b . a f à l’ensemble des nombre réels par f (x ) = 0 pour tout nombre réel x n'appartenant pas à l’intervalle [ a , b ] . X désigne une variable aléatoire réelle de densité f . La fonction de répartition de X notée F est définie sur IR par F ( x ) = P ( X ≤ x) = ∫ x −∞ f (t ) dt . Si P ( X ≤ 0) = 0 , on dit que X est positive. Si l’intégrale ∫ +∞ −∞ t f (t ) dt est convergente, cette intégrale notée E ( X ) , est appelée espérance mathématique de la variable aléatoire X . ( Si X admet une espérance mathématique et si E ( X − E ( X )) 2 ) existe, ce nombre réel est appelé variance de la variable aléatoire X . 2- Exemple de loi à densité ⎤ π π⎡ . ; ⎦ 2 2 ⎢⎣ Soit Θ , variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l’intervalle ⎥ − Soit T la variable aléatoire réelle définie par T = tan Θ . a. Déterminer la densité, puis la fonction de répartition de la variable aléatoire Θ . b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire T . c. En déduire que la fonction f définie sur IR par f ( x) = 1 π 1+ x2 ( ) probabilité de la variable aléatoire T . d. Vérifier que la variable aléatoire T n'admet pas d'espérance mathématique. 2/5 est la densité de 3- Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle de densité de probabilité f . On suppose que X est positive et admet une espérance mathématique. Soit a un nombre réel strictement positif et b tel que b = a E ( X ) . a. Démontrer que E ( X ) ≥ ∫ +∞ xf ( x)dx puis que E ( X ) ≥ b P( X > b) . b b. En déduire que P[ X > aE ( X )] ≤ c. On suppose que la fonction de répartition de X est strictement croissante sur IR . 1 . a Démontrer qu’il existe un nombre réel unique q3 tel que P ( X ≤ q3 ) = 3 . 4 q3 est appelé le troisième quartile de la variable aléatoire X . Démontrer que q3 ≤ 4 E ( X ) . d. Exemple Soit la variable aléatoire U de loi normale centrée réduite et X = U 2 . Déterminer E ( X ) et une valeur approchée du troisième quartile de X . On rappelle que P (U ≤ 1,15) ≈ 0,875 . 4- Inégalité de Tchebychev Soit Y une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée μ , et une variance, notée σ 2 . Déduire de la question 3 en prenant X = (Y − μ ) que pour tout nombre réel k strictement positif : 2 P( Y − μ > kσ ) ≤ 1 . k2 5- Loi faible des grands nombres Soit X une variable aléatoire réelle à densité admettant une espérance mathématique, notée μ , et une variance, notée σ 2 . n étant un entier naturel non nul, soient X 1 , X 2 ,..., X n , n variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi que X . Soit X n , la variable aléatoire définie par X n = 1 n ∑ Xi . n i =1 a. Démontrer que X n admet pour espérance mathématique μ et pour variance b. Soit ε un nombre réel strictement positif. Soit ( p n )n≥1 la suite définie par p n = P( X n − μ > ε ) . Démontrer que lim p n = 0 . n → +∞ c. Donner un exemple en statistique inductive illustrant cette propriété. 3/5 σ2 n . Exercice 2 On se place dans le plan affine euclidien. Soit ABC un triangle non isocèle. On pose BC = a , CA = b , AB = c . Le problème sera illustré par une figure que l’on complétera au fil de l’exercice, en prenant comme unité le centimètre comme unité, avec a = 6 , b = 3 , c = 8 . 1- Soit I , le barycentre du système de points a. G Soit i = {(B, b ) ; (C , c )}. G 1 → 1 → AB et j = AC . c b Démontrer qu’un point M appartient à la bissectrice intérieure de l’angle BAˆ C si et → K → G seulement si : AM . i = AM . j . b. En déduire que la droite ( AI ) est la bissectrice intérieure de l’angle BAˆ C . c. Quel point remarquable du triangle ABC est le barycentre de 2- Soit J , le barycentre du système de points {( A, a ) ; (B, b ) ; (C , c )} ? {(B, b ) ; (C ,−c )} . Démontrer que les droites ( AI ) et ( AJ ) sont orthogonales. Que peut-on en déduire pour ( AJ ) ? 3a. Montrer que l’ensemble des points M du plan tels que MB c = est le cercle de diamètre MC b [I J ] noté C1 . b. Soit Ω1 , le milieu du segment [I J ] . → → → Exprimer le vecteur A Ω1 en fonction des nombres réels b et c et des vecteurs AB et AC . c. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. → → Etablir les égalités : AO . AB = d. → → c2 b2 et AO . AC = . 2 2 Démontrer que la droite (OA) est tangente en A au cercle C1 . 4- Soit C 2 , le cercle ensemble des points M du plan tels que MC a = et Ω 2 son centre. MA c On admet que les cercles C1 et C 2 sont sécants en deux points P et Q. a. Démontrer que OΩ12 = OA2 + AΩ12 et OΩ 22 = OB 2 + BΩ 22 . b. En déduire que OΩ12 − OΩ 22 = PΩ12 − PΩ 22 . c. Si ω désigne le milieu du segment [Ω1 Ω 2 ] , en déduire que Oω . Ω1Ω 2 = Pω . Ω1Ω 2 . → 4/5 → → → d. Démontrer que les points O, P, Q sont alignés. 5- Soit C 3 , le cercle ensemble des points M du plan tels que MA b = . MB a a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle C 3 . Construire le cercle C 3 . b. En déduire que les centres des trois cercles précédents sont alignés. _______________________________ 5/5