1 Introduction 2 Topologie, définitions `a sec - Les

1 Introduction
Ceci est un cours de basique Topologie, qui rappelle aussi d’autres bases
math´ematico-logiques peu pr´esentes dans les documents courants. Une pra-
tique classique de l’analyse non standard y est aussi pr´esent´ee, par ‘classique
’ j’entends sans faire un usage de la formalisation officielle ‘IST Nelson ’.
La plupart du temps, je ferai une faute volontaire (pour ´eviter des ambi-
guit´es) de style en utilisant la forme comme blabla1 donc blabla2, plutot que
l’usage qui met une virgule a la place du donc.
Le mot ´evidence et le mot axiome seront consid´er´es comme de parfaits
synonymes dans la suite.
J’ai essay´e de r´eunir aussi en appendice les sujets dont j’ai remarqu´e qu’ils
posaient parfois des soucis r´ecurrents en plus de juste signaler les definitions
et lemmes de topologie. On y trouve le signe =, quelques consideration sur
implique, et les axiomes logiques propositionnel, ainsi qu’une preuve qu’il y
a equivalence entre (A implique B) et ((nonA) ou B)
2 Topologie, d´efinitions `a sec
Soit Tune partie de P(E).
On dit que Test une topologie sur Equand ∀X⊆T:union(X)∈Tet
∀F⊆Tsi Fest fini alors inter(E, F )∈T.
Traduction fran¸caise: Test stable par unions (quelconques) et intersec-
tions finies.
Soit S⊆P(E). Soit Gl’ensemble des topologies Tsur Etelles
que S⊆T. Alors T0:= inter(P(E), G)est une topologie sur E, donc
T0∈Get comme ∀X∈G:T0⊆X, on dit que T0est la plus petite
topologie qui contient S, ou encore la topologie engendr´ee par S.
2.1 Preuves
•Evidemment S⊆T0
•soit Fune partie finie de T0. soit T∈G. alors F⊆T. donc
inter(E, F )∈T. Ceci valant pour tout T∈Gdonc inter(E, F )∈T0
•soit P⊆T0. soit T∈G. alors P⊆T. Donc union(P)∈T. Ceci
valant pour tout T∈Gdonc union(P)∈T0.
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•conclusion: T0∈G.
•inter(E, ∅) = E∈T0
•union(∅) = ∅ ∈ T0.
La topologie T0ci-dessus est egale `a T1:= l’ensemble des parties
de Equi sont r´eunions d’intersections finies d’´el´ements de S
En particulier, si Sest stable par intersections finies, alors T0
est simplement l’ensemble des r´eunions d’´el´ements de S.
Soient en particuler deux espaces topologiques (E, top1) et (F, top2). Soit
Sl’ensemble des U×V∈P(E×F), quand (U, V ) parcourt top1×top2.
alors Sest stable par intersections finies.
On verra plus bas que dans ce cas la topologie engendr´ee par Ssur E×F
s’appelle la topologie produit des topologies top1, top2.
2.2 Preuves
Pour prouver que T0=T1, il suffit de prouver que T1⊆T0et que T0⊆T1.
Pour prouver que T0⊆T1on va prouver que T1∈G
L’autre sens sera prouv´e directement.
•si X, Y sont des ´el´ements de T1alors il existe des ensembles A, B tels
que X=union(A) et Y=union(B) et des applications f, g telles que
∀x∈A:f(x) est une partie finie de Stelle que x=inter(E, f(x))
(idem avec g a la place de f et B a la place de a). Soit Cl’ensemble des
inter(E, f(x)∪g(y)) quand (x, y) parcourt A×B. Si t∈X∩Yalors
il existe (x, y)∈A×Btel que t∈inter(E, f(x)) et t∈inter(E, g(y)).
Donc ∀z∈f(x)∪g(y) : t∈z. Donc t∈inter(E, f(x)∪g(y)). Donc
x∈union(C). R´eciproquement, si t∈union(C) alors il existe (x, y)∈
a×Btel que t∈inter(E, f(x)∪g(y)). En particulier t∈inter(E, f(x))
donc t∈Xet t∈inter(E, g(y)) donc t∈Y. Finalement union(C) =
X∩Yet union(C) est une r´eunion d’intersections finies d’´el´ements de
S.
• ∅ ∈ T1. En effet, ∅=union(∅)
•E∈T1. En effet, E=inter(E, ∅)
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•soit Fune partie finie de T1. Si F=∅alors inter(E, F ) = E∈T1.
Si Fest le singleton {X}alors X∈T1et inter(E, F ) = X∈T1. Si
F={X1, .., Xn}alors inter(E, F ) = X1∩X2.. ∩Xn∈T1d’apr´es la
preuve faite pour le cas n= 2.
•soit Pune partie de T1. Alors il existe une application ftelle que ∀X∈
P:X=union(f(X)) et tout ´el´ement de f(X) est un intersection finie
d’´el´ements de S. Soit C:= l’ensemble des atels que ∃X∈P:a∈
f(X). Chaque ´el´ement de Cest une intersection finie d’´el´ements de S.
Donc union(C) est une r´eunion d’intersections finies d’´el´ements de S
et est donc un ´el´ement de T1. Si t∈union(P) alors il existe x∈P
tel que t∈xet donc t∈union(f(x)) donc ∃z∈f(x) : t∈zet
comme z∈C,t∈union(C). R´eciproquement si t∈union(C) alors
∃a∈Ctel que t∈adonc il existe X∈Ptel que a∈f(X) donc
t∈union(f(X)) = Xce qui fait que t∈union(P). Il s’ensuit que
union(P) = union(C)∈T1.
•les points pr´ec´edents prouvent que T1∈Get donc que T0⊆T1.
•une intersection finies d’´el´ements de Sest dans T0. Une r´eunion d’´el´ements
de T0est dans T0. Conclusion T1⊆T0.
3 Sentimentalement (ou intuitivement)
3.1 Espaces m´etriques
Une topologie est une notion qui g´en´eralise la notion d’´eloignement. Je ne
rappelle pas ce qu’est un espace m´etrique (notion que je suppose connue),
mais je signale ce qu’on appelle la topologie induite par la m´etrique et donne
les preuves li´ees a ¸ca.
Soit donc (E, d) un espace m´etrique. L’expression boule(x, r) signifie
{y∈E/r > d(x, y)}
Soit Tl’ensemble des parties Xde Etelles que ∀x∈X∃r > 0 :
Boule(x, r)⊆X.
Th´eor`eme: Test une topologie sur E.
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3.2 Preuve
•soit P⊆Tet a∈union(P). Il existe U∈Ptel que a∈U. donc il
existe r > 0 tel que boule(a, r)⊆U. Donc Boule(a, r)⊆union(P)
•soit Fune partie finie de T. soit x∈inter(E, F ). Il existe stelle que
∀U∈F:Boule(x, s(U)) ⊆Uet s(U)>0. Soit r > 0 tel que ∀U∈F:
s(U)> r. alors ∀U∈F:boule(x, r)⊆Boule(U, s(U)) ⊆Uet donc
boule(x, r)⊆inter(E, F ). Ceci valant pour tout x∈inter(E, F ) donc
inter(E, F )∈T.
3.3 Produit d’espaces topologiques
Soit Jun ensemble et j∈J7→ (E(j), T (j)) une application qui associe a
chaque j∈Jun espace topologique (E(j), T (j)) c’est a dire un ensemble
E(j) et une partie T(j)⊆P(E(j)) qui est une topologie que E(j)
soit Zun ensemble tel que ∀j∈J:E(j)⊆Z
L’ensemble Edes applications fde Jdans Ztelles que ∀j∈J:f(j)∈
E(j) s’appelle le produit des E(j)
Soit j∈Jet U∈T(j). On note a(j, U) := {f∈E/f (j)∈U}. Soit
S:= {X/∃j∈J∃U∈T(j) : X=a(j, u)}
Alors Sest un ensemble de parties de E. La topologie T0engendr´ee
par Ss’appelle la topologie produit. Pr´ecis´ement, (E, T0) s’appelle le produit
topologique de la famille d’espaces topologiques j∈J7→ (E(j), T (j)).
4 Ultrafiltres
Soit Eun ensemble. Soit Wune partie de P(E). On dit que West un
ultrafiltre sur Equand les conditions suivantes sont toutes satisfaites:
• ∅ /∈W
•E∈W
• ∀X∈W∀Y⊇X:Y∈W
• ∀Fsi Fest une partie finie de Walors inter(E, F )∈W
• ∀a⊆E:a∈Wou (E\a)∈W(***)
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Lorsque la condition (***) n’est pas satisfaite, on se contente de dire que
West un filtre sur E
Un ultrafiltre est un ´el´ement virtuel de l’ensemble E. Soit a∈E. alors
Wa(E) := {X∈P(E)/a ∈X}est un ultrafiltre sur E.
Un ultrafiltre Usur Eest dit principal quand ∃a∈E:U=Wa(E).
Soit Eun ensemble fune application de Edans Fet Wun ultrafiltre sur
E. On notera f[W] (comprendre image de W par f) l’ensemble des parties
Xde Ftel que {e∈E/f(e)∈X} ∈ W.
Lemme: f[W] est un ultrafiltre. (´evident)
Lemme: f[Wa(E)] = Wf(a)(F) (encore plus ´evident)
Intuitivement, f[W] est l’´el´ement virtuel de F qui est obtenu en prenant
l’image f(x) de l’´el´ement virtuel de E repr´esent´e par W.
L’int´erˆet des ultrafiltres (et de la topologie) est d’ˆetre utilis´e en pr´esence
de l’axiome du choix.
4.1 ultrafiltres et topologies
Soit (E, T ) un espace topologique. Soit Wun ultrafiltre sur E, soit a∈E.
On dit que aest une limite de Wquand pour tout ouvert U∈Tsi a∈Ualors
U∈W. Intuitivement l’´el´ement virtuel repr´esent´e par West superproche de
a.
Par exemple, un ultrafiltre sur IR tel que ∀x, y, si 0 ∈]x, y[ alors ]x, y[∈W
sera un r´eel virtuel superproche de 0.
Voici une liste de th´eor`emes importants, mais basiques, concernant les
ultrafiltres et comment ils trivialisent la topologie.
•si West un ultrafiltre sur Eet union(P)∈Wet Pfini alors
∃x∈P:x∈W(exercice)
•si Fest un filtre sur Ealors il existe un ultrafiltre Wsur E
tel que F⊆W.
•si ∀Fpartie finie de Z:E∩inter(E, F )6=∅alors il existe un
ultrafiltre Wsur Etel que P(E)∩Z⊆W
•soit ftelle que pour tout ultrafiltre Wsur E:f(W)∈W.
Alors il existe un ensemble fini Fdont les ´el´ements sont des
ultrafiltres sur Etel que ∀x∈E∃W∈F:x∈f(W)
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