TD8 : Modèles et ultrafiltres

L3 - LOG (Année 2011/2012)
A. Miquel/V. Blot/S. Tavenas
TD8 : Modèles et ultrafiltres
I désigne un ensemble quelconque non vide.
Exercice 1.
Ultrafiltres
On dit qu’un ensemble U ⊆ P(I) de parties de I est un filtre sur I s’il satisfait les conditions
suivantes :
– ∅∈
/U
– I∈U
– J ∈ U ∧ J ⊆ J0 ⇒ J0 ∈ U
– J ∈ U ∧ J0 ∈ U ⇒ J ∩ J0 ∈ U
On dira que I est un ultrafiltre si I vérifie de plus
– (∀J)(J ∈ U ∨ (I \ J) ∈ U)
1. Vérifier que si U est un ultrafiltre, alors pour tous J, J 0 ⊆ I :
J ∪ J0 ∈ U ⇔ J ∈ U ∨ J0 ∈ U
J ∩ J0 ∈ U ⇔ J ∈ U ∧ J0 ∈ U
Une base de filtre A est un ensemble de parties tel que pour tous X1 , . . . , Xn ∈ A,
\
Xi 6= ∅
1≤i≤n
2. Montrer que toute base de filtre peut être complétée en une famille stable par intersection finie qui peut elle même être complétée en un filtre.
3. Remarquer que tout filtre est un idéal (dans l’anneau commutatif (P(I), ∆c , ∪, I, ∅) où
∆c est le complémentaire de la différence symétrique) pour montrer que tout filtre est
inclus dans un ultrafiltre (montrer le théorème de Krull qui affirme qu’avec l’axiome du
choix, tout idéal d’un anneau commutatif est contenu dans un idéal maximal).
Exercice 2.
Ultraproduit d’une famille de L-structures
Soient L un langage du premier ordre, (Mi )i∈I une famille de L-structures et U un ultrafiltre
sur I. Pour tout indice i ∈ I, l’ensemble de base de la L-structure Mi est noté Mi .
Q
On considère l’ensemble produit M = i∈I Mi muni de la relation binaire ∼ définie par :
u ∼ v ⇔ {i ∈ I : u(i) = v(i)} ∈ U
1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur M .
On appelle ultraproduit de
Q la famille (Mi )i∈I par l’ultrafiltre U la L-structure M dont l’ensemble de base est M = i∈I Mi et dans laquelle :
– Chaque symbole de fonction f d’arité k est interprété par la fonction :
fM :
Mk
−→ M
(u1 , . . . , uk ) 7−→ i 7→ f Mi (u1 (i), . . . , uk (i))
– Chaque symbole de prédicat P d’arité k est interprété par :
(u1 , . . . , uk ) ∈ P M ⇔ i ∈ I|(u1 (i), . . . , uk (i)) ∈ P Mi ∈ U
1
Dans le cas particulier où toutes les structures Mi sont identiques, on dit que M est une
ultrapuissance.
Pour tout i ∈ I, on note πi : M → Mi la projection sur la composante d’indice i, qui est
définie par πi (u) = u(i). On remarquera que si ρ est une valuation dans M, alors πi ◦ ρ est
une valuation dans Mi .
2. Montrer par induction sur t que pour tout terme t, pour toute valuation ρ et pour tout
indice i ∈ I on a :
πi (t[ρ]M ) = t[πi ◦ ρ]Mi
3. Montrer par induction sur A que pour toute formule A, pour toute valuation ρ et pour
tout indice i ∈ I on a :
M |= A[ρ] ⇔ {i ∈ I : Mi |= A[πi ◦ ρ]} ∈ U
4. Soit T une théorie sur le langage L.
Montrer que si (∀i ∈ I)(Mi |= T ) alors M |= T .
Dans le cas où T est une théorie égalitaire et où les modèles Mi sont égalitaires, comment
l’égalité est-elle interprétée dans M ?
5. En déduire le théorème de compacité sur les modèles en construisant un tel modèle à
l’aide d’ultrafiltres.
Exercice 3.
On suppose ici que I = N.
Un modèle non standard de PA
1. Montrer qu’il existe un ultrafiltre sur N contenant (au moins) toutes les parties cofinies
(complémentaires de parties finies) de N.
Soit U ⊆ P(N) un tel ultrafiltre. On construit l’ultrapuissance M en prenant pour tous les
Mi le modèle standard de PA (celui dont l’ensemble de base est N). L’ensemble de base de
M est l’ensemble NN des suites d’entiers, il s’agit d’après l’exercice précédent d’un modèle
de PA.
On note M0 le modèle égalitaire obtenu en effectuant le quotient de M par la relation
d’équivalence ∼ (ici sur NN ) définie précédemment.
2. Quels sont les entiers standard dans le modèle M0 ?
3. Montrer que pour tout n ∈ N, Id 6∼ Kn dans M, où Id ∈ NN désigne la fonction identité
sur N et où Kn désigne la fonction constante égale à n. En déduire que le modèle M0 est
un modèle non standard de PA.
4. Quel est le cardinal de M0 ?
2