TD8 : Modèles et ultrafiltres

L3 - LOG (Année 2011/2012) A. Miquel/V. Blot/S. Tavenas
TD8 : Modèles et ultrafiltres
Idésigne un ensemble quelconque non vide.
Exercice 1. Ultrafiltres
On dit qu’un ensemble U ⊆ P(I)de parties de Iest un filtre sur Is’il satisfait les conditions
suivantes :
–∅/∈ U
–I∈ U
–J∈ U ∧ J⊆J0⇒J0∈ U
–J∈ U ∧ J0∈ U ⇒ J∩J0∈ U
On dira que Iest un ultrafiltre si Ivérifie de plus
–(∀J)(J∈ U ∨ (I\J)∈ U)
1. Vérifier que si Uest un ultrafiltre, alors pour tous J, J0⊆I:
J∪J0∈ U ⇔ J∈ U ∨ J0∈ U
J∩J0∈ U ⇔ J∈ U ∧ J0∈ U
Une base de filtre Aest un ensemble de parties tel que pour tous X1, . . . , Xn∈A,
\
1≤i≤n
Xi6=∅
2. Montrer que toute base de filtre peut être complétée en une famille stable par inter-
section finie qui peut elle même être complétée en un filtre.
3. Remarquer que tout filtre est un idéal (dans l’anneau commutatif (P(I),∆c,∪, I, ∅)où
∆cest le complémentaire de la différence symétrique) pour montrer que tout filtre est
inclus dans un ultrafiltre (montrer le théorème de Krull qui affirme qu’avec l’axiome du
choix, tout idéal d’un anneau commutatif est contenu dans un idéal maximal).
Exercice 2. Ultraproduit d’une famille de L-structures
Soient Lun langage du premier ordre, (Mi)i∈Iune famille de L-structures et Uun ultrafiltre
sur I. Pour tout indice i∈I, l’ensemble de base de la L-structure Miest noté Mi.
On considère l’ensemble produit M=Qi∈IMimuni de la relation binaire ∼définie par :
u∼v⇔ {i∈I:u(i) = v(i)}∈U
1. Montrer que ∼est une relation d’équivalence sur M.
On appelle ultraproduit de la famille (Mi)i∈Ipar l’ultrafiltre Ula L-structure Mdont l’en-
semble de base est M=Qi∈IMiet dans laquelle :
– Chaque symbole de fonction fd’arité kest interprété par la fonction :
fM:Mk−→ M
(u1, . . . , uk)7−→ i7→ fMi(u1(i), . . . , uk(i))
– Chaque symbole de prédicat Pd’arité kest interprété par :
(u1, . . . , uk)∈PM⇔i∈I|(u1(i), . . . , uk(i)) ∈PMi∈ U
1

Dans le cas particulier où toutes les structures Misont identiques, on dit que Mest une
ultrapuissance.
Pour tout i∈I, on note πi:M→Mila projection sur la composante d’indice i, qui est
définie par πi(u) = u(i). On remarquera que si ρest une valuation dans M, alors πi◦ρest
une valuation dans Mi.
2. Montrer par induction sur tque pour tout terme t, pour toute valuation ρet pour tout
indice i∈Ion a :
πi(t[ρ]M) = t[πi◦ρ]Mi
3. Montrer par induction sur Aque pour toute formule A, pour toute valuation ρet pour
tout indice i∈Ion a :
M |=A[ρ]⇔ {i∈I:Mi|=A[πi◦ρ]} ∈ U
4. Soit Tune théorie sur le langage L.
Montrer que si (∀i∈I)(Mi|=T)alors M |=T.
Dans le cas où Test une théorie égalitaire et où les modèles Misont égalitaires, comment
l’égalité est-elle interprétée dans M?
5. En déduire le théorème de compacité sur les modèles en construisant un tel modèle à
l’aide d’ultrafiltres.
Exercice 3. Un modèle non standard de PA
On suppose ici que I=N.
1. Montrer qu’il existe un ultrafiltre sur Ncontenant (au moins) toutes les parties cofinies
(complémentaires de parties finies) de N.
Soit U ⊆ P(N)un tel ultrafiltre. On construit l’ultrapuissance Men prenant pour tous les
Mile modèle standard de PA (celui dont l’ensemble de base est N). L’ensemble de base de
Mest l’ensemble NNdes suites d’entiers, il s’agit d’après l’exercice précédent d’un modèle
de PA.
On note M0le modèle égalitaire obtenu en effectuant le quotient de Mpar la relation
d’équivalence ∼(ici sur NN) définie précédemment.
2. Quels sont les entiers standard dans le modèle M0?
3. Montrer que pour tout n∈N,Id 6∼ Kndans M, où Id ∈NNdésigne la fonction identité
sur Net où Kndésigne la fonction constante égale à n. En déduire que le modèle M0est
un modèle non standard de PA.
4. Quel est le cardinal de M0?
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