I Espace des applications linéaires II Applications linéaires en
PTSI 1/2
I Espace des applications linéaires
I.1 LK(E, F )
Définition 1
Soient E, F deux K-ev.
1. Une application f:E→Fest dite application linéaire si
∀x, y ∈E f(x+y) = f(x) + f(y)et ∀x∈E∀α∈Kf(αx) = αf (x).
Il est équivalent d’imposer ∀x, y ∈E∀α, β ∈Kf(αx +βy) = αf(x) + βf (y).
L’ensemble des applications linéaires (ou morphismes de K-ev) est noté LK(E, F )
ou L(E, F )quand le corps de base est sous-entendu.
2. Un application linéaire de Edans Eest appelé endomorphisme linéaire. On note
LK(E)ou L(E)l’ensemble des endomorphismes linéaires de E.
3. Une application linéaire bijective est appelé isomorphisme linéaire, et un endomor-
phisme bijectif est appelé automorphisme. L’ensemble des automorphismes de Eest
noté GLK(E).
4. Une application linéaire de Edans Kest appelé forme linéaire sur E.
I.2 Noyau
Définition 2
Soit f:E→Fune application K-linéaire. On appelle noyau de fet on note ker f
l’ensemble ker f={x∈E|f(x) = 0F}=f−1({0F}).
Proposition 1
Soit f∈ LK(E, F ). Alors ker fest un sev de E
Théorème 1
Soit f∈ LK(E, F ).
fest injective ssi ker f={0E}.
Proposition 2
Soit Eun Kev de dimension finie et (e1, . . . , en)une base de E. Soit f∈ L(E, F )une
application linéaire.
fest injective ⇐⇒ (f(e1), . . . , f(en)) est libre dans F
I.3 Image
Définition 3
Soit f∈ L(E, F ). L’image de fet on note Im fl’ensemble Im f={f(x)|x∈E}.
Proposition 3
Soit f∈ LK(E, F )et E=Vect(e1, . . . , en). Alors Im f=Vect(f(e1), . . . , f(en)).
Corollaire 1
Soit Eun K-ev de dimension fini Soit f∈ L(E, F )et (e1, . . . , en)une base de E.
fest surjective ssi (f(e1), . . . , f(en)) est génératrice de F.
I.4 Structure algébrique
Théorème 2
Soient E, F, G des K-ev.
1. LK(E, F )est un K-ev avec 0L(E,F )l’application nulle.
2. Si f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G)alors g◦f∈ L(E, G).
3. Soient f1, f2∈ L(E, F )et g1, g2∈ L(F, G).
g1◦(f1+f2) = g1◦f1+g1◦f2et (g1+g2)◦f1=g1◦f1+g2◦f1
Proposition 4
Soit Eun K-ev et f, g ∈GL(E). Alors f◦g∈GL(E)et f−1∈GL(E).
II Applications linéaires en dimension finie
II.1 Isomorphismes
Proposition 5
Soit Eun K-ev de dimension finie et (e1, . . . , en)une base de E.
Soit f∈ L(E, F ). fest un isomorphisme ssi (f(e1), . . . , f (en)) est une base de F.
En particulier dimKF=n.
Définition 4
Deux K-ev Eet Fsont dits isomorphes s’il existe f∈ L(E, F )qui soit un isomorphisme.
Corollaire 2
Soit Eun K-ev de dimension n. et Fun K-ev.
1. Soit f∈ L(E, F )une application linéaire injective. Soit Gun sev de Ede dimen-
sion finie p. Alors f(G)est de dimension finie p.
2. Eet Knsont isomorphes
Chap 22 : Applications linéaires
2/2 PTSI
3. Eet Fsont isomorphes ssi dim(F) = dim(E).
Théorème 3
Soient E, F deux K-espaces vectoriels de même dimension net f∈ L(E, F ).
fest injective ssi fest surjective ssi fest bijective.
II.2 Rang
Définition 5
Soient E, F deux K-ev de dimensions finies et f∈ L(E, F ). On appelle rang de fet on
note rg(f)la dimension de Im f.
Lemme 1
Soient E, F deux K-ev et f∈ L(E, F ). Si ker fadmet un supplémentaire Hdans Ealors
f|H:H→Im(f)est un isomorphisme de Hdans Im f.
Théorème 4 (Théorème du rang)
Soient E, F deux K-ev et f∈ L(E, F ). Si Eest de dimension finie alors
dim E= dim(ker f) + rg(f).
Proposition 6
Soient E, F deux K-ev de dimension finie et f∈ L(E, F ).
1. fest surjective ssi rg f= dim F.
2. fest injective ssi rg f= dim E.
3. Si dim E= dim F, fest bijective ssi f est injective ssi f est surjective.
Proposition 7
Soient E, F deux K-ev de dimension finie et f∈ L(E, F ).
1. Soit F0un espace vectoriel et ϕ:F→F0un isomorphisme, alors rg(ϕ◦f) = rg f.
2. Soit E0un K-ev et ψ:E0→Eun isomorphisme, alors rg(f◦ψ) = rg f.
III Matrices
III.1 Matrice d’une application linéaire
Définition 6
1. Soient E, F deux K-ev de dimension finie de dimension respectives pet n. On
note BE= (e1, . . . , ep)une base de Eet BF= (u1, . . . , un)une base de F. Soit
également f∈ L(E, F ). La matrice de fdans BEet BF(noté MatBE,BF(f)) est
la matrice MatBF(f(e1), . . . , f(ep)) ∈ Mn,p(K).
C’est la matrice des coordonnées des f(ej)dans u1, . . . , un, écrites en colonnes.
2. Si f∈ L(E), on note MatBE,BE(f) = MatBE(f)∈ Mp(K).
Théorème 5
Soient E, F deux K-ev de dimensions pet nrespectivement. Soient BEune base de E
et BFune base de F. Alors ϕ:L(E, F )→ Mn,p(K)
f7→ MatBE,BF(f)est un isomorphisme
linéaire.
Corollaire 3
Soit Ede dimension pet Fde dimension ndeux Kev. Alors
dim(L(E, F )) = np
Proposition 8
Soient A, B ∈ Mn,p(K), A=Bssi ∀X∈KpAX =BX.
Théorème 6
Soit f:E→Fune application linéaires entre ensembles de dimensions finies de bases
respectives BEet BF. fest un isomorphisme ssi MatBE,BF(f)est inversible.
III.2 Produit matriciel
Proposition 9
Soit E, F deux K-ev de dimensions respectives pet net BE,BFdes bases de Eet F. Soit
f∈ L(E, F )et x∈E. On note A= MatBE,BF(f)et X= MatBE(x) =
x1
. . .
xp
.
Alors MatBF(f(x)) =
Pp
k=1 a1kxk
. . .
Pp
k=1 ankxk
=AX.
Théorème 7
Soient E, F, G trois K-ev de dimensions respectives q, p, n et de bases B= (e1, . . . , eq),B0=
(f1, . . . , fp),B00 = (g1, . . . gn). Soient f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G).
On pose de plus Mf= MatB,B0(f)∈ Mp,q(K)et Mg= MatB0,B00 (g)∈ Mn,p(K).
Alors C= MatB,B00 (g◦f) = MgMf=C∈ Mn,q(K)
III.3 Changement de base
Théorème 8
Soient E, F deux K-ev BE,B0
Edeux bases de Eet BF,B0
Fdeux bases de F. On note Pla
matrice de passage de BEà B0
Eet Qla matrice de passage de BFà B0
F.
Soit f∈ L(E, F ). On pose M= MatBE,BF(f)et M0= MatB0
E,B0
F(f). Alors M0=
Q−1MP
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