2/2 PTSI
3. Eet Fsont isomorphes ssi dim(F) = dim(E).
Théorème 3
Soient E, F deux K-espaces vectoriels de même dimension net f∈ L(E, F ).
fest injective ssi fest surjective ssi fest bijective.
II.2 Rang
Définition 5
Soient E, F deux K-ev de dimensions finies et f∈ L(E, F ). On appelle rang de fet on
note rg(f)la dimension de Im f.
Lemme 1
Soient E, F deux K-ev et f∈ L(E, F ). Si ker fadmet un supplémentaire Hdans Ealors
f|H:H→Im(f)est un isomorphisme de Hdans Im f.
Théorème 4 (Théorème du rang)
Soient E, F deux K-ev et f∈ L(E, F ). Si Eest de dimension finie alors
dim E= dim(ker f) + rg(f).
Proposition 6
Soient E, F deux K-ev de dimension finie et f∈ L(E, F ).
1. fest surjective ssi rg f= dim F.
2. fest injective ssi rg f= dim E.
3. Si dim E= dim F, fest bijective ssi f est injective ssi f est surjective.
Proposition 7
Soient E, F deux K-ev de dimension finie et f∈ L(E, F ).
1. Soit F0un espace vectoriel et ϕ:F→F0un isomorphisme, alors rg(ϕ◦f) = rg f.
2. Soit E0un K-ev et ψ:E0→Eun isomorphisme, alors rg(f◦ψ) = rg f.
III Matrices
III.1 Matrice d’une application linéaire
Définition 6
1. Soient E, F deux K-ev de dimension finie de dimension respectives pet n. On
note BE= (e1, . . . , ep)une base de Eet BF= (u1, . . . , un)une base de F. Soit
également f∈ L(E, F ). La matrice de fdans BEet BF(noté MatBE,BF(f)) est
la matrice MatBF(f(e1), . . . , f(ep)) ∈ Mn,p(K).
C’est la matrice des coordonnées des f(ej)dans u1, . . . , un, écrites en colonnes.
2. Si f∈ L(E), on note MatBE,BE(f) = MatBE(f)∈ Mp(K).
Théorème 5
Soient E, F deux K-ev de dimensions pet nrespectivement. Soient BEune base de E
et BFune base de F. Alors ϕ:L(E, F )→ Mn,p(K)
f7→ MatBE,BF(f)est un isomorphisme
linéaire.
Corollaire 3
Soit Ede dimension pet Fde dimension ndeux Kev. Alors
dim(L(E, F )) = np
Proposition 8
Soient A, B ∈ Mn,p(K), A=Bssi ∀X∈KpAX =BX.
Théorème 6
Soit f:E→Fune application linéaires entre ensembles de dimensions finies de bases
respectives BEet BF. fest un isomorphisme ssi MatBE,BF(f)est inversible.
III.2 Produit matriciel
Proposition 9
Soit E, F deux K-ev de dimensions respectives pet net BE,BFdes bases de Eet F. Soit
f∈ L(E, F )et x∈E. On note A= MatBE,BF(f)et X= MatBE(x) =
x1
. . .
xp
.
Alors MatBF(f(x)) =
Pp
k=1 a1kxk
. . .
Pp
k=1 ankxk
=AX.
Théorème 7
Soient E, F, G trois K-ev de dimensions respectives q, p, n et de bases B= (e1, . . . , eq),B0=
(f1, . . . , fp),B00 = (g1, . . . gn). Soient f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G).
On pose de plus Mf= MatB,B0(f)∈ Mp,q(K)et Mg= MatB0,B00 (g)∈ Mn,p(K).
Alors C= MatB,B00 (g◦f) = MgMf=C∈ Mn,q(K)
III.3 Changement de base
Théorème 8
Soient E, F deux K-ev BE,B0
Edeux bases de Eet BF,B0
Fdeux bases de F. On note Pla
matrice de passage de BEà B0
Eet Qla matrice de passage de BFà B0
F.
Soit f∈ L(E, F ). On pose M= MatBE,BF(f)et M0= MatB0
E,B0
F(f). Alors M0=
Q−1MP
Chap 22 : Applications linéaires