Mr : Chortani Atef DEVOIR DE CONTROLE N°03

REPUBLIQUE TUSIENNE
MINISTRE DE L’EDUCATION DE LA FORMATION
Lycée Ali Bourguiba Bembla
Mr : Chortani Atef
Site : www.matheleve.net
DEVOIR DE CONTROLE N°03
SECTION :
EPREUVE :
SCIENCES DE L’INFORMATIQUE
MATHEMATIQUES
DUREE : 2 h
COEFFICIENT : 3
Exercice 1 (4 points)
Pour chacune une seul de trois réponse proposées et exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la
lettre correspondante à la réponse choisie .Aucune justification n’est demandée.
1) L’équation (E) :12x+8y=5 admet dans ℤ× ℤ
a)une infinité de solutions.
e
2) ∫
b) une seul solution.
c) zéro solution.
1
d𝑥 est égal à:
𝑥ln(𝑥)
√e
a) ln(2)
b) − ln(2)
c)
3
8
ln(1 + e𝑥 )
3) lim
est égal à:
𝑥→+∞
𝑥
a)0
b)1
c) + ∞
4)Soit Ω un univers . p une probabilité définie sur 𝒫(Ω) et F et E deux événements telle que
p(F) =
a)
1
3
̅ ∩ F) est égal à:
et p(E/F) = , alors p(E
5
8
3
40
b)
5
8
c)
1
8
Exercice 2(3 points)
Soit dans ℤ× ℤ l’équation (E) :8𝑥 − 3𝑦 = 12.
1)a) Vérifier que (3 ; 4) est une solution de (E).
b) Résoudre dans ℤ× ℤ l’équation (E)
8
2)Soit dans un repère orthonormé la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥 − 4
3
Déterminer tous les points de ∆ dont les coordonnés sont des entiers et dont leurs abscisses sont
compris entre 0 et 10.
Exercice 3 (7 points)
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥
On note ( C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; ⃗i, ⃗j)
1)On donne ci-dessous le tableau de variation de 𝑓.
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑓
−∞
+
0
0
2
+∞
−
−∞
1
a)Justifier que la restriction 𝑔 de 𝑓 à [0, +∞[ réalise une bijection de [0, +∞[ sur ]−∞, 2]
b) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet dans ℝ une unique solution α.
c)Vérifier que 1<α<1,5
𝑓(𝑥)
Interpréter graphiquement le résultat.
𝑥→+∞ 𝑥
2)a)Calculer lim
b) Etudier la position relative de la courbe ( C)et la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥
c)Tracer ( C) et ∆
3) On note 𝑔−1 la fonction réciproque de g et ( C’) sa courbe représentative dans le repère (O; ⃗i, ⃗j)
Tracer ( C’)
4)a)Vérifier que la fonction F définie sur ℝ par 𝐹(𝑥) = 𝑥 + (2 − 𝑥)e𝑥 est une primitive de𝑓 sur ℝ
b) Calculer l’aire 𝒜 de la partie du plan limité par la courbe ( C) ,la droite ∆ et les droites d’équation
𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑥 = 1
2
c)En déduire que ∫ g −1 (𝑥)d𝑥 = e − 2
1
Exercice 4 (6 points)
Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations: la destination A, la destination G et
la destination M.
*60% des clients choisissent la destination A.
*30% des clients choisissent la destination G.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l’agence répondent a une enquête de satisfaction. Le
dépouillement des réponses ace questionnaire permet de dire que :
*80% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits,
*70% des clients ayant choisi la destination G sont satisfaits,
On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis. On note les
évènements :
A : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination A »;
G : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination G »;
M : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination M » ;
S : « le questionnaire est celui d’un client satisfait »;
S : « le questionnaire est celui d’un client insatisfait ».
1)a)Déterminer les probabilités suivantes
P(A) , p(G) ,p(M) , p(S\G) et p(S\M)
b) Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
2) L’enquête montre que 83% des clients de l’agence sont satisfaits.
a)En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que p(S∩A) = 0,54.
b) En déduire, probabilité de l’évènement S sachant que l’évènement A est réalisé.
c) Le questionnaire prélevé est celui d’un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle
destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu’il ait choisi la destination A
3) On prélève successivement au hasard quatre questionnaires dans la pile d’enquêtes. On suppose
que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs
sont indépendants,
Calculer la probabilité de l’évènement : « les quatre questionnaires sont ceux de clients insatisfaits »