Devoir de maison

Devoir de maison
EXERCICE 01
1) Soit dans l’ensemble C l’équation (E) suivante :
(E) Z3 + 2 (
2
- 1) Z² + 4 (1 -
2
) Z – 8 = 0.
a) Monter que (E) admet une racine réelle Z0 = 2.
b) Résoudre alors l’équation (E). On notera Z
1
la racine dont la partie
imaginaire et positive et Z2 l’autre racine.
c) Déterminer le module et un argument de Z1 et Z2.
2) Le plan complexe étant rapporté a un repère orthonormé directe.
)
v
,
u
(0,
r
r
, on considère les points A, B et C d’affixes respectives
2 ; -
2
+
2
i ; -
2
-
2
i et I = A* B.
a) Placer sur une figure les points A, B et C.
b) Monter que le triangle OAB est isocèle. En déduire une mesure de
l’angle
OI)
,
u
(
r
.
c) Calculer l’affixe ZI du point I.
d) Déduire les valeurs de
(
)
(
)
8
3
sinet
8
3
cos
p
p
EXERCICE 02 :
Soit f la fonction définie sur IR par :
1x
x
1f(x) 2+
+= .
1) Etudier les variations de f.
2) Monter que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on
précisera. Exprimer f-1 (x) pour x Î J.
3) construire les courbes (C) et (C’) représentatives de f et f-1 dans un
même repère orthonormé )J,i,0(
r
r
: (unité 2 cm).
4) Soit h la fonction définie sur IR par : h (x) = f (x) – x

Montrer en utilisant les variations de h sur IR que l’équation f(x) = x
admet une seule solution a dans IR et que
]
[
2,
4
7
Îa .
5) Soit g la fonction définie sur
]
[
2
,
2
p
p
- par :
()
ï
î
ï
í
ì
=
p
=
2
1
2
g
(x)tg(f
1
)x(g
.
a) Montrer que pour tout
]
]
2
,
2
-x
p
p
Î on a :
x
sin
1
1
)x(g
+
=.
b) Montrer que g est une bijection de
]
]
2
,
2
-
p
p
sur un intervalle K que l’on
précisera.
c) Déterminer
(
)
2
1
get)2(g -1-1 .
d) Montrer que 2
1
xpour tout
x
x1
)x(gsin 1³
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ-.
Retrouver alors la valeur de g-1(2).
6) Etudier la dérivabilité de g-1 sur K et déterminer (g-1)¢ (x).
EXERCICE 03:
1-Mettre sous forme algébrique : (1+2i)2.
2-Résoudre dans
£
l’équation (E) : z2 +z+(1-i) = 0.
3-Soit f(z) = z3 -z2 -(1+i)z-2+2i.
a-Montrer que l’équation f(z) = 0 admet une solution réelle z0 que l’on
déterminera.
b- déterminer les nombres complexes a,b et c tel que :
f(z) = (z-z0)(a z2+b z+c).
c--Résoudre dans
£
l’équation f(z) = 0.
4-Soit A(2), B(i) et C(-1-i).

a- Placer dans un repère orthonormé
(,,)
oij
rr
les points A, B et C.
b- Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
c- Déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un carré.