mecanique i - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Université Virtuelle de Tunis
MECANIQUE I
PRINCIPES DE LA DYNAMISME DU POINT
MATERIEL
Habib Bouchriha, Zeineb Benahmed, Dhouha Gamra, Ridene Saïd
Attention !
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1
M Hichem Trabelsi
Principes de la dynamique du
point matériel
Isaac Newton fonda la mécanique sur trois lois qu’il appela : loi de l’inertie,
loi des forces en action et loi des actions réciproques. Ces lois, qui ne sont
valables que dans un référentiel galiléen, sont couplées entre elles et sont
devenues des principes connus et enseignés sous le nom de : "Principe de
l’inertie", "Principe fondamental de la dynamique" et "Principe de l’action
et de la réaction".
Après avoir évoqué l’existence et le caractère approximatif du référentiel
galiléen, nous allons présenter, dans ce chapitre, les trois principes de la mécanique pour un point matériel et discuter de la limite de leur validité. Nous
aborderons ensuite l’étude du principe fondamental de la dynamique pour
un point matériel dans un référentiel non galiléen et nous montrerons que
ce principe demeure valable, à condition d’ajouter aux forces réelles appliquées à ce point, les forces d’inertie résultant des e¤ets d’entraînement et de
Coriolis.
1.
1. Référentiels galiléens ou d’inertie
Ce sont des référentiels en translation rectiligne et uniforme par rapport
à un référentiel supposé "…xe". Pour choisir ce référentiel …xe ou approximativement …xe, plusieurs possibilités sont envisageables suivant la durée du
mouvement et l’intensité de son accélération.
* Le référentiel terrestre
Un référentiel lié à la Terre n’est pas tout à fait galiléen en raison de la
rotation journalière de la Terre autour de la ligne de ses pôles qui s’e¤ectue
2
= 7; 29:10 5 rad:s 1 .
en 24 heures avec une vitesse angulaire ! 1 =
24 3600
2
Cette rotation induit une accélération centripète qui vaut, à l’équateur :
(1)
e = ! 21 RT ' 3; 4:10 2 m:s 2
Cette accélération est faible devant l’accélération de la pesanteur
(g = 9; 8 m:s 2 ) mais elle est non négligeable. De ce fait, un référentiel terrestre pourrait constituer approximativement un référentiel galiléen pour un
mouvement s’e¤ectuant pendant une durée courte devant une journée et d’ac(1)
célération très supérieure à e .
* Le référentiel géocentrique
Une autre approximation consisterait à prendre un référentiel d’ori-gine
!
!
le centre de la Terre, d’axe Oz l’axe Nord-Sud des pôles et d’axes Ox et
!
Oy dirigés vers des étoiles lointaines "…xes". Ce référentiel est di¤érent du
référentiel terrestre car on ne tient pas compte de la rotation de la Terre sur
elle-même et on considère uniquement sa rotation autour du Soleil qui est
décrite par une ellipse de faible excentricité située dans un plan passant par
le centre de gravité du Soleil appelé plan de l’écliptique et faisant un angle
de 23 270 avec le plan équatorial. La période de cette rotation est égale à une
année (' 365jours) et sa vitesse angulaire est
2
= 2:10 7 rad:s 1 . Ce référentiel est également accéléré
!2 =
365 24 3600
car cette rotation annuelle induit une accélération centripète du centre de
(2)
la Terre de l’ordre de e = ! 22 D ' 0; 58:10 3 m:s 2 , D étant la distance
Terre-Soleil (D ' 1; 5:1011 m). Toutefois, ce référentiel peut être supposé
en translation rectiligne et uniforme et considéré comme galiléen pour des
mouvements s’e¤ectuant pendant une durée limitée (de l’ordre de la journée)
(2)
et avec des accélérations supérieures à e .
* Le référentiel de Copernic
Une meilleure approximation du référentiel galiléen serait de prendre un
référentiel centré au Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles
lointaines "…xes", c’est le référentiel de Copernic. Cependant, le Soleil décrit lui-même une orbite courbe autour du centre de notre Galaxie de rayon
(3)
moyen 3:1020 m en 2:108 ann
ees et avec une accélération e de l’ordre de
2; 4:10 10 m:s 2 et on peut considérer dans ce cas que le Soleil est en mouvement de translation rectiligne et uniforme si on confond sa trajectoire avec
sa tangente.
* Le référentiel galactique !
On pourrait imaginer de prendre pour référentiel …xe un référentiel d’origine le centre de notre Galaxie et d’axes …xes. Pourtant, la Galaxie elle-même
n’est pas immobile dans l’espace intersidéral ! et décrirait probablement une
3
orbite courbe autour du centre de l’Univers.
Terre
Soleil
Galaxie
T = 365 jours
RS = 1,5.1011 m
RG = 3.1020 m
T = 6,3.1015 s
Fig.6.1. : Orbite terrestre autour du Soleil et orbite solaire autour du centre de la
Galaxie
En conclusion, il n’existe pas de référentiel …xe et par voie de
conséquence de référentiel galiléen exact. On utilisera néanmoins, selon
la durée de l’évènement étudié, l’intensité de l’accélération du mouvement et
la précision de sa mesure, l’un ou l’autre des référentiels précités.
Toutefois, en mécanique classique telle que nous l’étudierons, il est d’usage
de considérer comme référentiel galiléen ou d’inertie tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de COPERNIC.
2.
2. Principes de la dynamique d’un point
matériel
Se basant sur les travaux de Galilée et sur ses observations et analyses
propres, Newton énonce les trois principes suivants qui constituent les principes de base de la mécanique classique.
2.1.
2.1 Première loi de Newton ou Principe de l’inertie
2.1.1
2.1.1 Enoncé du principe
Une particule isolée, si elle est au repos,elle restera in…niment
au repos, si elle est en mouvement, son mouvement ne peut être
que rectiligne et uniforme.
!
Le vecteur vitesse V de la particule est donc constant. En e¤et :
4
! !
- si V = 0
: la particule demeure au repos,
! !
- si V = V 0 : la particule a un mouvement rectiligne et uniforme.
2.1.2
2.1.2 Limite de validité
Il est évident que la notion de particule isolée, c’est-à-dire non soumise à
des interactions extérieures, est une …ction de l’esprit ; en e¤et, le fait même
de l’observer et d’analyser son mouvement, on interagirait avec elle. Pour
que la particule soit vraiment isolée, il faudrait qu’elle soit la seule et unique
particule dans l’univers, ce qui est une utopie ! et on ne serait pas là pour
mesurer son mouvement.
Ce principe demeure toutefois applicable lorsque la particule est su¢samment éloignée des autres pour que leurs interactions soient négligeables ou
lorsqu’elle est soumise à des interactions qui se compensent mutuellement.
Ce principe est appelé principe de l’inertie car l’inertie est la qualité de la
matière qui la fait s’opposer à tout changement de mouvement en l’absence
d’une action extérieure.
!
En…n, comme la quantité de mouvement (!
p = m V ) est un vecteur qui
décrit l’état dynamique de la particule, le principe de l’inertie peut aussi
s’énoncer ainsi :
" La quantité de mouvement d’une particule isolée est nulle ou
constante".
2.2.
2.2 Deuxième loi de Newton ou Principe fondamental de la dynamique
2.2.1
2.2.1 Enoncé du principe
On considère une particule non isolée, c’est-à-dire subissant des interac!
tions du milieu extérieur, on dit alors qu’elle est soumise à une force F qui
décrit ces interactions. Sous l’action de cette force, il y a changement de
mouvement de la particule et donc variation de son état dynamique. Il en
résulte alors une variation de la quantité de mouvement qui caractérise cet
état.
!
La deuxième loi de Newton relie la force F à la variation de la quantité
de mouvement par l’équation :
! d!
p
F =
dt
(1)
5
qui constitue le principe fondamental de la dynamique qui s’énonce comme
suit :
" Dans un référentiel galiléen, la force qui s’exerce sur une particule est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de
mouvement".
2.2.2
2.2.2 Cas d’une masse constante
Lorsque la particule a une masse qui demeure constante au cours du
mouvement, le principe fondamental prend une forme particulière :
!
!
! d!
d
dV
p
= (m V ) = m
F =
dt
dt
dt
soit :
!
F = m!
(2)
!
où V et !
sont les vecteurs vitesse et accélération de la particule dans le
référentiel galiléen considéré.
Cette relation est connue sous le nom de "Relation Fondamentale de la
Dynamique" (RFD).
Le principe fondamental de la dynamique peut alors s’énoncer de la façon
suivante :
" Dans un référentiel galiléen, l’accélération !
du mouvement
d’une particule de masse constante m sur laquelle s’exerce une force
!
!
F
".
F est égale à
m !
Lorsque la force F est connue, la relation fondamentale de la dynamique
conduit à une équation di¤érentielle qui permet de déterminer le mouvement
de la particule lorsque les conditions initiales du mouvement sont précisées.
2.2.3 De même, lorsque la description cinématique du mouvement est
!
connue, la RFD permet de déterminer la résultante F des forces s’exerçant
sur la particule.
En…n, lorsque le mouvement de la particule et la force qui s’exerce sur
elle sont connues, la RFD permet de déterminer la masse. C’est le principe
du spectrographe de masse.
La force s’exprimant en Newton, la RFD permet de relier cette unité aux
unités fondamentales de masse, temps et longueur :
1N = 1 kg.m.s 2
6
2.2.3
2.2.3 Notion d’impulsion
Considérons dans un référentiel galiléen une particule de masse m se dé!
!
plaçant à la vitesse V sous l’action d’une force F dépendant explicitement
du temps.
On a d’après le principe fondamental de la dynamique :
!
! d!
p
soit encore
d!
p = F dt
F =
dt
En intégrant cette relation entre les instants t0 et t pour lesquels la quantité de mouvement prend respectivement les valeurs !
p 0 et !
p , on obtient :
Z t
!
!
!
!
p
p0=
F (t)dt = = (t)
(3)
t0
!
La fonction vectorielle = (t) est appelée "impulsion" et ce résultat peut
s’énoncer ainsi :
" La variation de la quantité de mouvement d’une particule est
égale à l’impulsion de cette particule"
!
* L’impulsion = (t) étant essentiellement le produit d’une force par
un temps, une force très grande agissant pendant un temps très court peut
produire la même variation de la quantité de mouvement qu’une force plus
faible agissant pendant un temps plus long. Ceci est d’autant plus vrai lorsque
la force est constante ou qu’elle varie très peu dans l’intervalle de temps
considéré. On aura dans ce cas :
Z
Z t
!
!
! t
!
dt = F :t
F (t)dt = F
p =
t0
t0
On verra que cette dernière relation est très utile dans l’étude des chocs
entre particules.
* Lorsque la masse de la particule est constante au cours du mou!
vement et que l’on connaît la dépendance explicite F (t) de la force avec le
temps, il est possible de déterminer les équations du mouvement à partir de
!
la fonction vectorielle = (t).
En e¤et, comme :
!
!
!
mV
m V 0 = = (t)
on a :
!
!
1!
V (t) = = (t) + V 0
m
7
!
!
d!
r (t)
ou encore
d!
r (t) = V (t)dt
Ayant
V (t) =
dt
on obtient, après intégration, le vecteur position de la particule et donc ses
équations de mouvement, soit :
r
R!
Rt !
d!
r = V (t)dt
!
r0
t0
et donc
1
!
r (t) =
m
Zt
!
!
= (t)dt + V 0 (t
t0 ) + !
r0
t0
2.3.
2.3 Troisième loi de Newton ou Principe de l’action et de la réaction
2.3.1
2.3.1 Enoncé du principe
"Dans un référentiel galiléen, lorsque deux particules M1 et M2
sont soumises uniquement à leur interaction mutuelle, la force exercée par M1 sur M2 est égale et opposée à la force exercée par M2
sur M1 "
•
M1
F 21
F12
•
M2
Fig.5.2. : Forces s’exerçant entre deux particules isolées en interaction
!
F 12 est la force exercée par M1 sur M2
!
F 21 est la force exercée par M2 sur M1
On a :
!
!
F 12 = F 21
2.3.2
2.3.2 Limite de validité
Ce principe implique que chaque particule a une "connaissance" instantanée de la présence de l’autre et réagit immédiatement par l’exercice d’une
force opposée. Cela signi…e que si, par exemple, à un instant donné la force
!
F 12 exercée par M1 sur M2 change, il y a au même instant changement de
!
la force F 21 exercée par M2 sur M1 .
8
Cette transmission instantanée de l’information est incompatible avec le
principe de relativité d’Einstein où l’interaction se propage à une vitesse …nie,
sans doute voisine de celle de la lumière. Toutefois, ce principe demeure
valable aussi longtemps que les particules se déplacent très lentement par
rapport à la vitesse de la lumière et que les interactions sont faibles.
2.4.
2.4 Couplage des principes
* Le principe de l’inertie est couplé au principe fondamental de la dynamique. En e¤et, si la particule est isolée, il n’y a aucune force qui s’exerce
!
d!
p
!
!
= 0 et donc que la quantité
sur elle ( F = 0 ) ce qui implique que
dt
!
de mouvement !
p et, par voie de conséquence, la vitesse V sont constantes.
Si la vitesse est constante, elle est ou nulle (particule au repos) ou égale à
!
sa valeur initiale V 0 (mouvement rectiligne et uniforme). Inversement, si la
quantité de mouvement est constante, la force est nécessairement nulle et la
particule est isolée.
* Le principe de l’action et de la réaction est également couplé aux deux
!
premiers principes. La force F 12 qu’exerce la particule M1 sur M2 et la force
!
F 21 exercée par M2 sur M1 sont reliées aux quantités de mouvement !
p 1 et
!
p 2 de M1 et M2 par :
!
d!
p1
F 21 =
dt
!
d!
p2
F 12 =
dt
!
!
Comme F 12 = F 21 , on a en additionnant les deux équations précédentes :
!
!
d !
!
(p1+!
p 2 ) = F 21 + F 12 = 0
dt
Si !
p =!
p1+!
p 2 est la quantité de mouvement totale de l’ensemble des
deux particules M1 et M2 qui constituent un système isolé, on a :
d!
p
!
!
= 0
et donc
p est constante
dt
Cela implique que la quantité de mouvement d’un système isolé se conserve
et donc que son centre de masse est soit au repos soit en mouvement rectiligne et uniforme. On reviendra à ce point lorsqu’on abordera les lois de
conservation.
9
2.5.
2.5 Moment cinétique d’un point matériel
2.5.1
2.5.1 Dé…nition
Le moment cinétique, par rapport à un point …xe O, d’une particule M
!
de masse m animée d’une vitesse V est le moment par rapport à ce point de
!
la quantité de mouvement !
p . On le note L :
!
!
!
L = OM ^ m V = !
r ^!
p
(4)
!
!
!
L est un vecteur perpendiculaire au plan formé par OM et V , orienté
dans le sens usuel d’un produit vectoriel et de module L = rp sin où est
l’angle entre !
r et !
p.
2.5.2
2.5.2Expression analytique
En coordonnées cartésiennes où le vecteur position !
r et la quantité de
!
mouvement p sont tels que :
!
!
!
!
r =x i +y j +zk
!
!
!
!
p =p i +p j +p k
x
y
z
On a :
!
! ! !
!
!
L = r ^ p = L x i + Ly j + Lz k
où :
Lx = ypz zpy
Ly = zpx xpz
Lz = xpy ypx
!
Lorsque le mouvement est plan et s’e¤ectue dans xOy, L est porté par
!
! !
Oz ( L = L k ) ; il est alors plus simple d’utiliser les coordonnées polaires r
et . On a dans ce cas :
! ! !
! dr !
d
!
ur +r !
u
L = r ^ p
avec
r = r!
ur
et
V =
dt
dt
Soit :
!
d !
L = mr2 k
dt
(5)
10
z
L
O
y
θ
x
V
r
M
Fig.5.3. : Représentation du moment cinétique d’une particule
2.5.3
2.5.3Théorème du moment cinétique
!
En dérivant, par rapport au temps, l’expression donnant L ; on a :
!
d ! !
d!
r
d!
p
dL
=
(r ^ p)=
^!
p +!
r ^
dt
dt
dt !
dt
! !
!
!
dr
p
d!
p
Le premier terme est nul car
= V =
et comme
= F où F
dt
m
dt
est la résultante des forces appliquées à la particule, on a alors :
!
!
! !
dL
=!
r ^ F = OM ^ F
dt
soit :
!
! !
dL
= MO ( F )
(6)
dt
d’où le théorème :
" La dérivée par rapport au temps du moment cinétique par
rapport à un point …xe O d’une particule est égal au moment par
rapport à ce même point de la résultante des forces appliquées à
cette particule".
Cette formulation s’interprète, comme on le verra dans le chapitre 7,
comme le principe fondamental de la dynamique pour les mouvements de
rotation.
2.5.4
2.5.4 Application : forces centrales
!
Lorsque la particule M est soumise en tout point à une force F dont
le support passe par un point …xe O (force centrale), le moment de cette
11
force par rapport à O est nul et il en est de même de la dérivée du moment
!
cinétique L :
!
Il en résulte que L est une constante du mouvement :
!
! !
! !
dL
!
= MO ( F ) = 0
)
L = L0
(7)
dt
!
!
!
OM et V sont donc constamment perpendiculaires à un vecteur L 0
constant (en module et en direction). Il s’ensuit que la trajectoire de M est
!
plane et contenue dans le plan perpendiculaire à L et contenant O.
On a également :
d
= L0
L = mr2
dt
soit :
r2
d
L0
=
dt
m
(8)
Le mouvement obéit donc à la loi des aires que nous avons formulée au
chapitre 1.
3.
3. 3.1 Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen
Nous avons vu que le principe fondamental de la dynamique n’est valable que dans un référentiel galiléen. Toutefois, nous allons montrer qu’il
est possible, en connaissant les forces appliquées à la particule et le mouvement d’entraînement d’un référentiel relatif accéléré (R’) par rapport à un
référentiel absolu (R) supposé galiléen, de relier l’accélération !
r du mouvement de la particule dans le référentiel non galiléen (R’) aux forces qui lui
sont appliquées et de déduire les lois de mouvement de la particule dans ce
référentiel.
3.1.
Formulation du principe
Dans le référentiel galiléen (R), la particule de masse constante m a une
!
accélération !
a reliée aux forces qui lui sont appliquées et de résultante F
par la relation fondamentale de la dynamique :
12
!
m!
a = F appl:
Lorsque le mouvement de la particule est analysé dans un référentiel non
galiléen (R’) en mouvement par rapport à (R), son accélération relative !
r
est donnée par la loi de composition :
!
a=!
r+!
e+!
c
!
!
!
!
Soit
r= a e c
où !
e et !
c sont les accélérations d’entraînement et de Coriolis.
En multipliant les deux membres de cette équation par la masse m, il
vient :
m!
r = m!
a m!
e m!
c
ou encore
!
m!
=F
m!
m!
(9)
r
appl:
e
c
m!
e et m!
c ont la dimension d’une force, elles sont proportionnelles
à la masse et sont appelées de ce fait "forces d’inertie". Ce sont des forces
"ressenties" par la particule uniquement dans le référentiel accéléré (R’).
L’interprétation physique de ces forces est délicate. Bien qu’elles soient
comme la gravitation proportionnelles à la masse, elles n’ont rien à voir avec
les forces réelles qui traduisent une interaction avec le milieu extérieur. Elles
sont indépendantes de ce milieu et traduisent plutôt l’action de l’espace de
référence sur le mouvement de la particule.
* m!
e est appelée "force d’inertie d’entraînement" et m!
c
! !
"force d’inertie de Coriolis". On les désigne souvent par F e et F c , l’étoile
!
!
traduisant le signe négatif ( F e = m!
e ; F c = m!
c ).
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors dans le référentiel
accéléré (R’) :
!
!
!
m!
r = F appl: + F e + F c
(10)
! !
! !
En posant
F = F appl: + F e + F c , somme des forces réelles appliquées
à la particule et des forces d’inertie "ressenties" par elle, on peut écrire :
!
m!
r= F
(11)
qui présente la même forme que la relation fondamentale de la dynamique
dans les référentiels galiléens.
"Donc, à condition d’ajouter aux forces réelles les forces d’inertie, il est possible de lier l’accélération mesurée dans le référentiel
non galiléen aux forces appliquées à la particule".
13
3.2.
3.2 Exemples de mouvements dans des référentiels
en translation rectiligne non uniforme
3.2.1
3.2.1 Equilibre d’un pendule dans une voiture
Considérons une voiture animée d’un mouvement de translation rectiligne
uniformément accéléré sur une route horizontale et un pendule de masse m
attaché par un …l au toit de cette voiture. Soit (R) le référentiel galiléen lié
au sol et (R’) le référentiel accéléré lié à la voiture
y
(R)
y’
x
z
z’
T
(R’)
x’
Fe
α
γ
P
Fig.5.4. : Pendule dans une voiture en translation rectiligne non uniforme
!
!
La masse m est soumise à son poids P = m!
g et à la tension T du …l.
Lorsque la voiture est au repos, le pendule est immobile et vertical. Il en
est de même lorsqu’elle est animée d’un mouvement de translation rectiligne
et uniforme car dans ce cas l’accélération d’entraînement est nulle et on a
! !
m!
a = m!
g +T = 0
Lorsque la voiture est en mouvement de translation non uniforme d’accélération !
par rapport au référentiel galiléen (R), la relation fondamentale
de la dynamique s’écrit dans le référentiel accéléré (R’)
m!
r = m!
a m!
e m!
c
!
!
!
!
mr =mg + T
me
car, en l’absence de rotation, l’accélération de Coriolis !
c est nulle.
!
!
A l’équilibre dans le référentiel (R’), r = 0 et on aura :
!
!
0 = m!
g +T
m!
e
!
où e s’identi…e à l’accélération constante !
du mouvement de la voiture
par rapport à (R).
!
!
La projection de la condition d’équilibre sur les axes Ox et Oy donne :
m + T sin = 0
14
mg
T cos = 0
soit :
tg =
g
Le pendule est donc incliné d’un angle par rapport à la verticale. Il est
alors possible de mesurer la valeur de l’accélération par la simple mesure
de l’angle d’inclinaison , d’où le nom d’accéléromètre donné au pendule.
En…n, ce sont de tels e¤ets que l’on ressent lors d’un freinage violent d’une
voiture : le conducteur (ou le passager) est projeté vers le pare-brise, d’où
l’intérêt de la ceinture de sécurité.
3.2.2
3.2.2 Mouvement d’une cabine d’ascenseur
Entre deux étages, une cabine d’ascenseur a un mouvement rectiligne et
uniforme. Mais, au moment du démarrage et de l’arrêt, cette translation n’est
plus uniforme mais accélérée ou décélérée.
Soit (R’) le référentiel lié à la cabine et (R) le référentiel galiléen lié au
sol. Une personne de masse m debout dans la cabine est soumise à son poids
!
!
P = m!
g et à la réaction R du plancher de la cabine. Cette réaction peut
être mesurée à tout instant à l’aide d’une balance, appelée "pèse-personne".
!
A l’arrêt ; l’indication de la balance donne R = m!
g ;qui correspond au
poids réel de la personne.
γ
R
P
Fig.5.5. : Homme dans un ascenseur
Durant le mouvement, l’équation fondamentale de la dynamique s’écrit
dans (R’) :
!
m!
r = m!
g + R 0 m!
e
!
où e est l’accélération d’entraînement qui est, dans ce cas, l’accélération de
!
la cabine et R0 la nouvelle réaction du plancher pendant le mouvement.
15
!
Comme la personne est au repos dans la cabine (!
r = 0 ), on a :
!
!
0 = m!
g + R 0 m!
e
!0
! !
!
!
d’où :
R = m g + m e soit d’après précédemment R0 = R + m!
e
!0
!
Tout se passe comme si le poids apparent de la personne est : P = R0
qui correspond à la nouvelle indication de la balance.
!
!
On a donc :
P 0 = m(!
g
e)
Lorsque l’ascenseur ralentit en montant, !
e est dirigée vers le bas
0
et le poids apparent de la personne est P = m(g e ). Il est plus petit que
son poids réel (P = mg) et la personne se "sent" plus légère.
!
Lorsque le mouvement de la cabine est uniforme (!
e = 0 ), on a
bien sûr P 0 = mg = P
Lorsque l’ascenseur accélère en montant, !
e est dirigée vers le haut
et le poids apparent P 0 = m(g + e ).est plus grand que le poids réel P : la
personne se "sent" plus lourde.
Dans le cas particulier où la cabine est en chute libre,!
e = !
g.
Le poids apparent est "nul" et on dit qu’il y a "impesanteur" ou "apesanteur" mais la dénomination impesanteur est préférée pour éviter la confusion
phonétique entre "la pesanteur" et "l’apesanteur".
Cet e¤et est utilisé pour entraîner les astronautes à l’état d’impesanteur
qui s’établit lorsque leur vaisseau spatial "s’échappe" de l’attraction terrestre.
On réalise l’expérience souvent en avion dont on coupe périodiquement les
moteurs une fois en vol. On dit qu’on a "gzéro". L’avion décrit alors des
portions de trajectoires paraboliques de chute libre avec une vitesse initiale
horizontale.
3.3.
3.3 Exemples de mouvements dans des référentiels
en rotation autour d’un axe …xe
3.3.1
3.3.1 Mouvement dans un manège
Le "manège" est un plateau horizontal tournant autour d’un axe vertical
!
Oz avec une vitesse angulaire !
! que l’on va supposer constante. Soit (R’) le
référentiel lié au manège et (R) le référentiel galiléen lié au sol. On considère
une personne M de masse m se déplaçant dans le plan du manège en rotation.
!
!
Elle va être soumise à son poids P = m!
g , à la réaction R du plateau et va
ressentir les e¤ets des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis :
16
!
!
* la force d’inertie d’entraînement Fe = m!
e = m! 2 OM est
centrifuge. Elle est radiale et tend à déporter la personne vers l’extérieur du
manège,
!
!
* la force d’inertie de Coriolis Fc = m!
c = 2m!
! ^ V r est
!
perpendiculaire à !
! et à la vitesse relative V r . Elle est située dans le plan
!
du manège et sa direction dépend de la direction de V r .
!
!
- lorsque la vitesse V r est radiale et dirigée vers l’axe, Fc est dirigée dans
le sens de la rotation du manège,
!
- lorsque la vitesse V r est tangentielle et dirigée dans le sens du mouve!
!
ment de rotation, Fc est centrifuge et son e¤et se conjugue à celui de Fe pour déporter la personne vers l’extérieur,
!
- lorsque la vitesse V r est tangentielle et dirigée dans le sens contraire du
!
!
mouvement de rotation, Fc est centripète et donc opposée à Fe . Pour une
!
certaine valeur du module de V r elle peut même compenser l’e¤et centrifuge
!
de Fe .
ω
ω
Fc
O
vr
ω
*
Fe
v r radiale
*
Fc tangentielle
vr
O
•M
O
•M
*
Fc
*
Fe
v r tangentielle dans le
sens du mouvement
*
Fc centrifuge
Fc
*
*
•M
Fe
*
vr
v r tangentielle en sens
contraire du mouvement
*
Fc centripète
Fig.5.6. : Représentation des forces d’inertie suivant la direction de la vitesse
relative
Dans tous les cas, le mouvement de la personne dans le référentiel (R’)
est décrit par la relation fondamentale de la dynamique :
!
m!
r = m!
g +R
!
m! 2 OM
!
2m!
! ^Vr
(12)
!
!
- lorsque la personne est immobile sur le manège ( V r = 0 et donc
!
!
r = 0 ) seul l’e¤et centrifuge persiste et l’on a :
17
!
!
!
0 = m!
g + R m! 2 OM
!
La réaction R de la plateforme s’écrit :
!
!
R = m(!
g
! 2 OM )
Elle a deux composantes, l’une (mg) dans la direction verticale et l’autre
(m! 2 OM ) dans la direction radiale. Elle est sur un cône de frottement de
demi-angle au sommet tel que
! 2 :OM
tg =
g
L’expérience montre que l’équilibre n’est possible que si est inférieur à
une valeur 0 correspondant à l’angle de frottement de glissement (chap 3).
Une application de l’e¤et centrifuge est la centrifugeuse où des molécules
en suspension dans un liquide subissent une accélération e = ! 2 r qui peut
être très importante. Pour une vitesse de rotation de 100 tours=s
(! = 628 rad=s) et une distance à l’axe r ' 1m, on atteint des accélérations
de l’ordre de 4:104 ms 2 ; très supérieures à g. Ces molécules, dont les densités
sont di¤érentes de celle du liquide, subissent la force m! 2 r qui tend à les
séparer. C’est une méthode expérimentale très utilisée pour séparer di¤érents
types de molécules, les plus lourdes sont plus vite séparées que les plus légères.
De même, on utilise l’e¤et centrifuge pour recréer sur Terre les conditions
de décollage des fusées qui nécessitent des accélérations de plusieurs g.
3.3.2
3.3.2 Equivalence des masses inerte et pesante
Nous avons vu que la masse d’un corps telle qu’elle apparaît dans les
lois de Newton et dans la dé…nition de la quantité de mouvement est un
coe¢cient caractéristique de ce corps. Ce coe¢cient peut être déterminé
de façon dynamique en étudiant le comportement du corps en mouvement
suite à ses interactions avec son environnement (masse inerte mi ) ou de façon
statique en étudiant l’équilibre de ce corps sous l’in‡uence uniquement de la
gravitation de la Terre (masse gravitationnelle ou masse pesante mg ).
Pour montrer l’équivalence de ces masses, Newton d’abord et Eötvös ensuite ont réalisé des expériences mettant en jeu les oscillation d’un pendule
simple. La méthode de Newton ne tient pas compte des e¤ets de rotation de
la Terre alors que celle d’Eötvös (1890) tient compte de ces e¤ets.
1. Méthode de Newton
Le pendule est constitué d’une masse suspendue à un …l de longueur `.
!
La masse est soumise à son poids mg !
g et à la tension T du …l.
18
α
T
mg g
Fig.5.7. : Forces s’exerçant sur un pendule dans un référentiel d’inertie
Ecarté d’un angle de la verticale, le pendule e¤ectue un mouvement
décrit par la relation fondamentale de la dynamique qui, projetée sur la
tangente de la trajectoire, donne :
d dV
= mi (`) = mi `
mg g sin = mi
dt
dt
Pour de petits écarts, cette équation devient :
mg g
+ !2 = 0
avec
!2 =
mi `
r
1 mg g
qui est l’équation d’un mouvement oscillatoire de fréquence =
2 mi `
Newton a constaté que quel que soit le matériau constituant
le pendule,
r
1 g
:
la fréquence est toujours constante et égale à =
2 `
mg
Il en déduit alors que
= 1. Plus tard, Bessel a trouvé le même rapport
mi
avec une précision de 10 4 .
2. Méthode d’Eötvös
Eötvös étudia l’équilibre d’un pendule suspendu à un toit à la surface de
la Terre à une latitude (' 45 ).
!
Le pendule, en équilibre sous l’action de son poids P 0 dirigé vers le centre
!
O de la Terre et de la force d’inertie F e centrifuge due aux e¤ets de la rotation
de la Terre, s’incline par rapport à la verticale réelle d’un angle tel que :
mi ! 2 R cos sin Fe sin =
tg =
P0 Fe cos mg g mi ! 2 R cos2 19
z
M
C
Fe
α
P0
λ
P
O
E
Fig.5.8. : Forces s’exerçant sur un pendule dans un référentiel non galiléen
Dans les conditions de l’expérience ( ' 45 ), cette équation s’écrit :
tg =
mi ! 2 R
2mg g mi ! 2 R
Comme Fe mg g , on a :
tg '
mi ! 2 R
mg 2g
En mesurant et en évaluant la quantité
mi
= 1 à 3:10
mg
3
!2R
, Eötvös a montré que
2g
près:
Signalons qu’une variante de cette expérience a été e¤ectuée par Dicke
(1961) dans laquelle il étudia les oscillations d’un pendule de torsion utilisant
mi
= 1 à 10 11 près.
successivement di¤érents matériaux. Il établit ainsi que
mg
En…n, une étude encore plus récente (1986) sur les résultats de cette
expérience propose l’existence d’une cinquième interaction, l’hypercharge !,
résultat non encore con…rmé et non adopté par la communauté scienti…que.
Remarquons, pour …nir, qu’en mécanique classique l’identité masse gravitationnelle - masse inerte est une constatation expérimentale qui date de
Galilée mais qui est inexplicable. En mécanique relativiste, cette identité revêt une importance capitale et constitue un principe fondamental : le Principe
d’équivalence.
20
4.
4. Application : Particule chargée dans un
champ électrique et un champ magnétique
Cette étude présente un intérêt considérable en physique car son champ
d’application s’étend à de nombreux domaines : oscilloscope, spectrographe,
accélérateurs de particules,..... On se limitera à des champs électriques et
magnétiques uniformes et on s’intéressera à des particules de vitesses relativement faibles par rapport à la vitesse de la lumière pour pouvoir utiliser
les principes de la mécanique classique et comme on se placera dans des référentiels approximativement galiléens, on négligera le poids des particules
considérées car l’intensité de l’interaction électromagnétique est beaucoup
plus grande que celle de l’interaction gravitationnelle. On considérera d’abord
l’e¤et des forces électriques, ensuite l’e¤et des forces magnétiques et en…n leur
e¤et combiné qui donne lieu à la force de Lorentz.
4.1.
4.1 Particule chargée dans un champ électrique
Soit un référentiel galiléen R(O,x,y,z) et considérons une particule M se
déplaçant dans le plan xOy dans une région où règne un champ électrique
!
! !
!
uniforme E parallèle à Oy : E = E j .
Supposons qu’à l’instant t = 0 la particule se trouve à l’origine O de
!
!
R(O,x,y,z) et que sa vitesse initiale V 0 fait un angle avec Ox de sorte que
l’on a :
!
!
!
V 0 = V0 cos i + V0 sin j
En négligeant le poids, la particule de charge q > 0 n’est soumise qu’à la
!
force électrique q E et la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
!
!
d!
p
= m!
= F e = qE
dt
! ! !
Projetée sur les axes Ox, Oy , Oz du référentiel (R), cette relation donne :
mx = 0
my =
x =0
qE
soit
y =
mz = 0
z =0
En tenant compte des conditions initiales, on a :
qE
m
21
x = V0 cos soit
x = V0 t cos qE 2
qE
t + V0 sin soit
y =
t + V0 t sin y =
m
2m
z =0
soit
z =0
En éliminant le temps, on obtient la trajectoire de la particule dans le
plan xOy qui s’écrit :
qE
x2
y=
+ xtg
2m V02 cos2 qui est l’équation d’une parabole passant par O.
y
E
v0
α
O
x
Fig.5.9. : Trajectoire d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
Cette équation est analogue à celle décrivant le mouvement d’un projectile
!
dans un champ de pesanteur uniforme !
g = gj.
4.2.
4.2 Particule chargée dans un champ magnétique
!
Lorsque la particule de charge q, animée d’une vitesse V est placée dans
!
une région où règne un champ magnétique B , elle est soumise à la force de
!
! !
Laplace F m = q V ^ B .
!
!
Si l’on choisit B orienté suivant l’axe Oz du référentiel galiléen R(O,x,y,z),
la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
!
! !
d!
p
= m!
= F m = qV ^ B
dt
!
!
qV
!
^B
soit :
=
m
!
!
Comme
B =Bk
, on a :
! !
! qB !
!
!
!
x_ i + y_ j + z_ k ^ k
x i + y j + z k =
m
! qB !
!
!
!
x_ j + y_ i
x i + y j + z k =
m
22
! ! !
qB
= ! c , appelée
En projetant sur les axes Ox; Oy; Oz et en posant
m
"pulsation cyclotron", on aboutit aux trois équations :
x = +! c y_
y = ! c x_
z = 0
(13)
(14)
(15)
Si on suppose qu’à l’instant t = 0, la particule se trouve à l’origine avec
!
!
!
une vitesse V 0 = V0 cos k + V0 sin i , en intégrant l’équation (5.14) et en
remplaçant dans (5.13), on obtient :
y_ = ! c x
et
x = ! 2c x
soit :
x + ! 2c x = 0
La solution de cette équation est de la forme :
x = A cos(! c t + ')
En tenant compte des conditions initiales x(0) = 0 et V0x = V0 sin V0 sin et
A=
on a :
'=
2
!c
ce qui donne :
V0 sin V0 sin x=
sin ! c t
;
y=
(cos ! c t 1)
!c
!c
L’intégration de (5.15) donne :
z = V0 t cos On obtient en dé…nitive les trois équations suivantes de la trajectoire :
V0 sin sin ! c t
x=
!c
V0 sin y=
(cos ! c t 1)
!c
z = V0 t cos V0 sin et
a = V0 cos En posant :
R=
!c
on obtient
8:
< x = R sin ! c t
y = R(cos ! c t 1)
:
z = at
Ce sont les équations paramétriques d’une hélice de rayon R, de pas
!
2a
h=
et d’axe parallèle à Oz:
!c
Le mouvement de la particule est donc la composition d’un mouvement
!
circulaire dans le plan (xOy) perpendiculaire à B et d’un mouvement recti! !
ligne uniforme suivant l’axe portant B (Oz)
23
Fig.5.10. : Trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique
4.3.
4.3 Particule chargée dans des champs électrique
et magnétique uniformes
Dans ce cas, la particule subit
force de
Lorentz :
! la!
!
!
!
!
FL= FE+ FB =q E + V ^B
et la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
! ! !
!
m =q E + V ^ B
La nature du mouvement de la particule va dépendre des orientations
!
!
des champs E et B . Nous allons considérer les deux situations pratiques
! !
! !
suivantes : E et B perpendiculaires et E et B parallèles.
4.3.1
4.3.1 Champs électrique et magnétique perpendiculaires
!
!
! !
On supposera que E = E j et B = B k
La relation
fondamentale
de
la dynamique
s’écrit dans le référentiel R(Oxyz) :
x 0 x_ 0 m y = q E + q y_ ^ 0 z 0 z_ B ! ! !
soit, suivant les trois axes Ox; Oy; Oz :
m
x = qB y_
m
y = qE qB x_
m
z=0
24
Ce système s’écrit en posant :
x = ! c y_
y = a ! c x_
z = 0
qE
=a
m
et
qB
= !c :
m
(16)
(17)
(18)
a ayant la dimension d’une accélération et ! c la dimension d’une pulsation.
A l’instant t = 0, on a : x0 = 0, y0 = 0; z0 = 0 et y_ = 0
En tenant compte de ces conditions initiales, l’intégration de (5.16) donne :
x_ = ! c y, en remplaçant dans (5.17) on obtient :
y = a ! 2c y
soit
y + ! 2c y = a
La solution de cette équation est :
a
y = A cos ! c t + B sin ! c t + 2
!c
Avec les conditions initiales précédentes, on obtient :
a
A=
et
B=0
! 2c
ce qui donne …nalement :
a
y = 2 (1 cos ! c t)
!c
a
Comme x_ = ! c y = (1 cos ! c t), on obtient après intégration :
!c
1
a
a
sin ! c t)
soit
x = 2 (! 2c t sin ! c t)
x = (t
!c
!c
!c
Pour la côte z, on a d’après (6.18) :
z_ = 0
et
z=0
Les équations du mouvement de la particule s’écrivent donc en dé…nitive :
8
a
>
x = 2 (! 2c t sin ! c t)
>
>
!c
<
a
y = 2 (1 cos ! c t)
>
!c
>
>
:
z=0
Ces équations paramétriques sont celles d’une cycloïde située dans le plan
xOy. La trajectoire de la particule est donc la cycloïde représentée sur la
…gure 5.11 :
25
(a)
(b)
Fig.5.11. : (a) Trajectoire dans le plan xOy d’une particule chargée dans des
! !
champs E et B uniformes et perpendiculaires
(b) Représentation de sa vitesse en fonction du temps
On peut montrer facilement, en calculant les composantes Vx et Vy du
!
!
vecteur vitesse V , que la norme de V est :
2a
!ct
V =
sin
!c
2
2n
et sa valeur
Cette vitesse s’annule donc aux instants tn tel que : tn =
!c
2a
: A ces instants yn = 0:
maximale est
!c
Cet e¤et est utilisé pour …ltrer des particules de vitesse et donc d’énergie
déterminées (…ltre de Wien).
!
!
4.3.2. Cas où E et B sont parallèles
!
! !
! !
On suppose que E et B sont tous deux dirigés suivant Oz ( E = E k et
!
!
B = B k ) et qu’à l’instant t = 0, on a y(0) = 0, y(0)
_
= V0 et que
!
! !
!
V 0 = V0 j et OM0 = 0 :
La relation
de
s’écrit dans ce cas :
la dynamique
fondamentale
x_ 0 0 x m y = q 0 + q y_ ^ 0 z_ B E z ! ! !
On obtient suivant les trois axes Ox; Oy; Oz en gardant les notations
précédentes pour ! c et a :
4.3.2
x = ! c y_
y = ! c x_
z = a
(19)
(20)
(21)
26
En intégrant l’équation (5.19) et en l’injectant dans (5.20), on obtient en
tenant compte des conditions initiales :
V0
V0
x=
cos ! c t
et
y=
sin ! c t
!c
!c
1
L’équation (5.21) s’intègre facilement et donne :
z = at2
2
Les équations paramétriques de la trajectoire de la particule sont donc :
8
V0
>
>
x
=
cos ! c t
>
>
!c
>
>
<
V0
y=
sin ! c t
>
!
c
>
>
>
1
>
>
: z = at2
2
Le mouvement de la particule est un mouvement hélicoïdal accéléré. L’héV0
lice est tracée sur un cylindre d’axe Oz et de rayon
!c
z
y
x
!
!
Fig.5.12. :Trajectoire d’une particule chargée dans des champs E et B
uniformes parallèles
Les vecteurs
vitesse et accélération ont
8
8 pour composantes :
< Vx = V0 sin ! c t
< x = ! c V0 cos ! c t
= ! c V0 sin ! c t
Vy = V0 cos ! c t
et
:
: y
Vz = at
z = a
Les modules
de
ces
vecteurs
sont
:
p
p
et
= ! 2c V02 + a2
V = V02 + a2 t2
Principes de la dynamique du
point matériel
Exercices et Problèmes
EP.5.1. : Lancement de "poids"
On considère un lanceur de "poids" dont la main est située, au
moment du lancer, à une hauteur h du sol.
L’athlète lance le "poids", de masse m, avec une vitesse initiale
!
V0 faisant l’angle avec l’axe Ox d’un référentiel galiléen R(Oxy)
lié à la Terre.
1. Etablir l’équation de la trajectoire du "poids" dans le plan
!
xOy, l’axe Oy étant l’axe ascendant.
2. Ecrire l’équation donnant l’abscisse X du point de chute du
"poids", la distance OX est appelée "portée". En di¤érentiant cette
équation, trouver la valeur maximale Xm de la portée.
3. En déduire la valeur m de qui réalise le meilleur lancer
ainsi que l’expression de Xm en fonction de V0 ; g et h.
4. Sachant que g = 10 m=s2 et V0 = 14 m=s, calculer m et Xm
pour h = 2; 2 m et pour h = 2; 5 m: Discuter les résultats obtenus.
4
La portée maximale s’obtient en remplaçant tan par tan m dans (3).
On obtient alors :
tan m
h
Xm = 2
1 tan2 m
1=2
V02
2gh
Xm =
1+ 2
g
V0
On remarque que Xm augmente avec h et avec V0 ; un athlète de grande
taille et de bonne constitution physique part favori pour ce genre de compétition.
4. En utilisant les données : V0 = 14 m/s et g = 10 m.s 2 , on obtient :
pour h = 2; 2 m
on a
m ' 42 ; 1
et
Xm ' 21; 70 m
pour h = 2; 5 m
on a
m ' 41 ; 7
et
Xm ' 21; 96 m
Nous remarquons que la valeur de la masse du "poids" (m = 7; 25 kg)
n’intervient pas explicitement dans l’expression de Xm . Elle intervient, en
fait, implicitement dans la valeur de V0 (transformation d’une énergie "musculaire" en énergie cinétique). De plus, on a négligé la résistance de l’air,
qui est de la forme hV~ et l’équation du mouvement du "poids" s’écrirait :
h ~
m~ = m~g hV~ soit ~ = ~g m
V et m apparaitrait explicitement dans les
résultats du problème.
Actuellement, le record du monde du lancer de poids est de 23,12 mètres,
mais, depuis le renforcement des contrôles anti-dopage, rares sont les athlètes
qui franchissent les 21 mètres.
EP.5.2. : Parachutiste
A l’instant t = 0; un parachutiste de poids m!
g ; se trouve à
!
l’origine O d’un référentiel R(Oxz) d’axe descendant Oz et amorce
!
une descente avec une vitesse V 0 .
En supposant que la résistance de l’air sur le parachute est proportionnelle à la vitesse du parachutiste, calculer :
1. La vitesse instantanée V (t) du parachutiste et montrer qu’elle
tend vers une limite VL que l’on déterminera:
2. La distance parcourue à un instant quelconque t > 0:
Solution
6
h
h
A t = 0 où V = V0 , V0 g = K( V0 g) =) K = 1
m
m
soit :
h
mg
mg
+ V0
e mt
V =
h
h
Pour t tendant vers l’in…ni, cette vitesse tend vers une limite VL telle que :
mg
,
VL =
h
Donc, après un certain temps, le parachutiste descend à vitesse pratiquement constante.
On aurait pu atteindre VL directement à partir de la relation fondamentale
de la dynamique. En e¤et, V = VL entraîne que :
mg
0 = mg hVL
soit
VL =
h
2. La distance z parcourue par le parachutiste s’obtient par une deuxième
intégration sachant qu’à t = 0 on a z = 0 :
mg mg h t
dz
e m
=
+ V0
V =
dt
h
h
On a donc
Z t: mg mg h t
m
z=
dt
+ V0
e
h
h
0
Soit en dé…nitive :
mg
m
z=
V0
t+
h
h
mg 1
h
e
h
t
m
EP.5.3. : Lancer amorti
A l’instant t = 0 un point matériel de masse m est lancé de l’ori!
gine O d0 un référentiel R(Oxy) avec une vitesse V 0 faisant l’angle avec l’horizontale. Au cours de son mouvement, ce point est soumis
!
!
à une force de frottement f = h V où h est une constante positive
!
et V son vecteur vitesse.
1. Ecrire l’équation fondamentale de la dynamique et déterminer
!
les composantes Vx et Vy de V à l’instant t.
2. Déterminer les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement
et montrer que la trajectoire admet une asymptote lorsque t tend
vers l’in…ni. Donner l’allure de cette trajectoire et calculer les coordonnées de son sommet S.
7
3. Montrer que l’on retrouve les équations du mouvement de
chute libre pour les faibles frottements.
Solution
1. L’équation fondamentale de la dynamique s’écrit :
!
!
dV
m
= m!
g
hV
dt
!
!
En projetant
sur les axes Ox et Oy, on a :
8
dV
>
< m x = 0 hVx
dt
dV
>
: m y = mg hVy
dt
La première équation s’intègre facilement et donne :
h
dVx
h
Vx
h
=
dt
soit
Log
=
t
et
Vx = Ce m t
Vx
m
C
m
où C est une constante d’intégration, que l’on détermine en écrivant que pour
t = 0, on a Vx = C = V0 cos , soit …nalement :
Vx = V0 cos e
h
t
m
La deuxième équation s’écrit :
h
dVy
dVy
h
m
=
= dt
ou encore
dt
h
h
m
g + Vy
Vy + g
m
m
Par intégration, on obtient :
h
Vy + g
h
=
t
Log m 0
C
m
Pour t = 0, Vy = V0 sin , ce qui donne pour la constante d’intégration
0
C :
h
C 0 = V0 sin + g
m
d’où …nalement
:
mg
h
mg
Vy =
+ V0 sin e m t
h
h
Lorsque t tend vers l’in…ni, Vx tend vers zéro et Vy tend vers une limite
!
mg
. La trajectoire est alors parallèle à l’axe Oy et le point matériel
VL =
h
retombe verticalement.
9
c’est-à-dire à l’instant tS tel que :
m
hV0 sin tS = Log 1 +
h
mg
Les coordonnées de S s’obtiennent en portant cette valeur dans les expressions de x(t) et y(t).
3. Lorsque les frottements sont faibles, c’est-à-dire lorsque h est petit, on
a:
h
h2 2
h
t+
t + ::::
e mt ' 1
m
2m2
ce qui donne en portant ceci dans les expressions de x(t) et y(t) :
h
x(t) ' (V0 cos ) t
V0 cos t2 ' (V0 cos ) t
2m
h
1 2
1 2
gt
V0 sin t2 ' (V0 sin ) t
gt
y(t) ' (V0 sin ) t
2
2m
2
(
x(t) = (V0 cos ) t
1 2
soit :
gt
y(t) = (V0 sin ) t
2
qui sont les équation horaires de la chute libre où la trajectoire est parabolique. On véri…e aussi que les expressions de Vx (t) et Vy (t) donnent :
Vx (t) = V0 cos Vy (t) = V0 sin gt
EP.5.4. : Expérience de Millikan
En 1906, Robert Andrews Millikan mesura la charge électrique
élémentaire. Sa méthode expérimentale est basée sur le fait que
des gouttelettes d’huile pulvérisée ont une légère charge électrique
acquise par frottement lors de la pulvérisation et, de ce fait, leur
mouvement de chute verticale peut être in‡uencé par un champ
électrique vertical. Il montra que leurs charges q étaient des multiples entiers d’une même charge élémentaire e = 1; 602:10 19 C.
L’objet de cet exercice est de présenter le fondement de cette méthode ainsi que les résultats obtenus.
Les gouttelettes d’huile, supposées sphériques, sont pulvérisées
entre les armatures d’un condensateur plan horizontal où règne un
10
champ électrique d’intensité réglable entre 0 et une certaine valeur
E.
Chaque gouttelette de rayon a, en mouvement vertical avec une
!
vitesse V est soumises aux forces suivantes :
!
4
- le poids P = m!
g = a3 !
g
3
!
4 3 0!
a g
- la poussée d’Archimède P 0 =
3
!
!
- la force de frottement de l’air F 1 = 6a V
!
!
- la force électrique F e = q E
avec q = ke; k étant un entier relatif. m la masse d’une gouttelette,
et 0 les densités volumiques de l’huile et de l’air et le coe¢cient
de viscosité de l’huile.
1. Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour une
gouttelette d’huile. En déduire son équation du mouvement sur
l’axe vertical descendant Oz.
2. Déterminer la vitesse limite V0 de la gouttelette en régime
!
dV
permanent (
= 0) lorsque le champ E est nul.
dt
3. Déterminer la vitesse limite VE de la gouttelette en régime
!
permanent lorsque le champ E est constant.
4. Déterminer le rayon a de la gouttelette et sa charge q.
5. Une des mesures e¤ectuées par Millikan a donné :
V0 = 4; 316:10 4 ms 1 et VE = 1; 395:10 4 ms 1 pour E = 4; 875:105 V m 1 .
Sachant que = 896 kg:m 3 ; 0 = 1; 29 kg:m 3 ; = 1; 836:10 5 P a:s:
et g = 9; 8ms 2 :
a. Caculer le rayon a et la charge q:
b. Déterminer le nombre de charges élémentaires portées par
la gouttelette.
Solution
1. Le principe fondamental de la dynamique s’écrit pour une gouttelette
d’huile :
P!
d!
p
Fi=
dt
i
12
4
3
a
9V0
2
= 6aV0
Il vient alors :
6(VE
q=
E
V0 )
9V0
2 ( 0 ) g
1=2
5. En utilisant les données numériques, on obtient :
a = 2:10 6 m = 2 m
q = 7; 66:10 19 C
b. Le nombre de charges élémentaires portées par la gouttelette est :
a.
n=
7; 66:10
q
=
e
1; 6:10
19
19
= 4; 78
n est donc égal à environ 5 charges élémentaires.
!
Remarques : selon le signe de q (ou celui de k) et le sens de E , la vitesse
VE peut être supérieure, inférieure ou égale à V0 (dans ce dernier cas, q =
0 et k = 0, la gouttelette n’est pas chargée). Une variante de l’expérience de
Millikan consiste à appliquer, pour chaque gouttelette, le sens et la norme du
!
champ électrique E (en réglant la polarité et la valeur de la tension appliquée
au condensateur) nécessaires pour immobiliser la gouttelette (VE = 0), ce qui
est plus avantageux que de mesurer sous microscope une vitesse limite.
EP.5.5. : Plateau tournant
On considère un plateau horizontal de rayon a et tournant à
!
la vitesse angulaire ! autour de l’axe vertical OZ d’un référentiel
galiléen R(OXYZ) lié à la Terre. Sur ce plateau, un homme lance,
!
de la périphérie vers le centre, avec la vitesse V 0 , un corps de
masse m assimilable à un point matériel M pouvant glisser sans
frottement sur le plateau. Soit R’(Oxyz) le référentiel non galiléen
!
!
lié au plateau et tel que Oz est confondu avec OZ. On suppose qu’à
!
!
l’instant initial t = 0; les axes Ox et Oy de R’ sont confondus avec
!
!
!
!
ceux OX et OY de R et que V 0 = V0 I .
13
Z z
ω
K k j
a
O
I
X
i
J
y
Y
x
1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée
au point M dans le référentiel R. Déterminer alors les équations
paramétri-ques X(t) et Y (t) de la trajectoire de M dans ce référentiel.
2. En déduire les coordonnées x(t) et y(t) du point M dans le
référentiel R’ lié au plateau.
3. Déterminer directement dans le référentiel R’ les coordonnées
x(t) et y(t) du point M.
Solution
1. Dans le référentiel galiléen lié à la Terre, la résultante des forces appliquées au point M est nulle car, le mouvement étant sans frottement, le poids
équilibre la réaction du plateau. On a donc :
!
!
!
m!
= 0
soit
= 0
ou encore
d2 Y
d2 X
=
0
et
=0
dt2
dt2
Par intégration et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :
8 dX
(
>
= VX = V0
<
X = V0 t + a
dt
et
>
Y = a!t
: dY = V = a!
Y
dt
qui sont respectivement les composantes des vecteurs vitesse et position du
point M dans R.
2. Pour trouver les coordonnées x et y du point M dans le référentiel relatif
R’, il su¢t d’appliquer les relations de transformation des coordonnées entre
les deux référentiels R et R’ établies dans le chapitre 1 § 9.2. On a en e¤et :
15
La solution est donc de la forme :
u = (At + B) e i!t où A et B sont
des constantes que l’on peut déterminer à partir des conditions initiales :
u (0) = a = B
u_ (0) = V0 = A i!B = A i!a
soit :
A = i!a V0
En dé…nitive, on a :
u = (i!at V0 t + a) (cos !t
Soit en développant u = x + iy , on retrouve :
x = (a V0 t) cos !t + a!t sin !t
y = (a V0 t) sin !t + a!t cos !t
i sin !t)
qui est le même résultat que celui obtenu dans la deuxième question.
EP.5.6. : Mouvement sur une tige tournante
On considère une tige OA de masse négligeable et un anneau
assimilable à un point matériel M de masse m qui peut glisser sans
frottement sur la tige.
Soient R(OXYZ) le référentiel galiléen lié à la Terre et R’(Oxyz)
le référentiel non galiléen lié à la tige.
1. La tige est d’abord située dans le plan horizontal XOY et
!
tourne avec une vitesse angulaire ! constante autour de l’axe OZ
(…g.1).
Z
y
K
X
A
• M
K α
Y
J
θ = ωt
y
θ
O
I
x
Z
O
M
z
Y
A
Fig.1
x
X
Fig.2
a. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique du point M
dans le référentiel R’ et en déduire l’équation du mouvement de M
sur la tige.
b. Déterminer l’équation horaire x(t) du mouvement de M en
supposant qu’à l’instant t = 0; M est en x0 avec une vitesse nulle.
16
!
c. Déterminer alors la réaction R de la tige sur le point M.
2. La tige est maintenant inclinée d’un angle par rapport à la
verticale OZ (0 < < ) et tourne avec la même vitesse angulaire
2
!
constante ! autour de l’axe OZ (…g.2).
On abandonne l’anneau sans vitesse initiale sur la tige au point
M0 tel que OM0 = x0 .
a. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique de l’anneau
dans le référentiel tournant R’(Oxyz). En déduire l’équation du
mouvement de l’anneau sur la tige.
b. A quelle distance xe de O l’anneau sera-t-il en équilibre relatif
sur la tige ?
c. Déterminer l’équation horaire x(t) du mouvement de l’anneau.
!
d. Déterminer la réaction R de la tige sur l’anneau.
Solution
!
1. L’anneau est soumis à son poids m!
g et à la réaction N de la tige qui est
! !
contenue dans le plan perpendiculaire (Oy; Oz) en l’absence de frottement.
a. Dans le référentiel R’(Oxyz), l’anneau est également soumis aux forces
!
!
d’inertie d’entraînement F e et de Coriolis F c .
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :
! !
!
m!
r = m!
g +N + Fe+ Fc
avec :
!
d2 x !
dx !
!
r= 2 i
i
;
Vr=
dt
dt
!
et :
m!
g = mg k
!
!
!
N = Ny j + Nz k
!
!
F e = m!
e = m! 2 x i
! dx !
!
!
dx !
F c = m!
c = 2m!
! ^ V r = 2m! k ^
i = 2m!
j
dt
dt
L’équation du mouvement de M sur la tige s’obtient en projetant la rela!
tion fondamentale de la dynamique sur l’axe Ox. On a alors :
d2 x
m 2 = m! 2 x
dt
soit :
19
x0 = A + B + x e
0=A B
donc :
ce qui conduit à :
x0 xe (! sin )t
e
+e
x=
2
(! sin )t
A=B=
x0
xe
2
+ xe
soit encore
x(t) = (x0
xe ) cosh (!t sin ) + xe
!
!
!
d. La réaction de la tige est :
N = Ny j + Nz k
La projection de la relation fondamentale de la dynamique sur les vecteurs
! !
de base j et k donne :
(
Ny = m! 2 x sin cos + mg sin dx
Nz = 2m! sin dt
En utilisant l’expression de x(t), on obtient :
Ny = mg sin + m! 2 sin cos [(x0 xe ) cosh (!t sin ) + xe ]
Nz = 2m! 2 sin2 (x0 xe ) cosh (!t sin )
EP.5.7. : Mouvement sur un cerceau tournant horizontal
On considère, dans un référentiel galiléen R(OXYZ), une tige
OA de longueur a, située dans le plan horizontal XOY et solidaire
en A d’un cerceau de centre C et de rayon a situé dans le même
plan. Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M,
est mobile sans frottement sur ce cerceau. L’ensemble tige-cerceau
!
tourne autour de l’axe OZ avec la vitesse angulaire constante !.
20
Z
K
O
J
Y
y
I
A
T
N M
θ
j
X
C
i
x
On associe au cerceau un référentiel R’(Cxyz) tel que les axes
!
!
!
Oz et OZ soient parallèles et l’axe Ox confondu avec la tige et on
! !
pose (Cx; CM ) = .
1. En négligeant les masses de la tige et du cerceau, déterminer
les forces qui s’exercent sur le point M dans le référentiel non
! ! !
galiléen R’(Oxyz). Exprimer ces forces dans la base ( T ; N ; k ) de
Frenet liée au point M.
! ! !
2. Ecrire dans la base ( T ; N ; k ) la relation fondamentale de la
! !
dynamique du point M et la projeter sur les vecteurs de base T ; N
!
et k
3. En déduire l’équation di¤érentielle décrivant le mouvement
de M sur ce cerceau.
!
4. Déterminer la réaction R exercée par le cerceau sur M.
Solution
1. Les forces qui s’exercent sur l’anneau dans le référentiel R’ sont le
!
!
poids P , la réaction R qui, en l’absence de frottement, est perpendiculaire
!
à l’anneau et donc à T et les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis
!
!
F e et F c :
!
!
P = m!
g = mg k
!
!
!
R = RN N + Rz k
!
F e = m!
e
22
d2 + 2! 2 = 0
dt2
!
4. La réaction R est donnée par :
!
!
!
R = RN N + Rz k
avec :
#
" 2
d
d
+ 2! + ! 2 (1 + 2 cos )
RN = ma
dt
dt
Rz = mg
EP.5.8. : Mouvement sur un cerceau tournant vertical
On considère, dans un référentiel galiléen R(AXYZ), un cerceau,
de centre O, de rayon a et de masse négligeable, situé dans un plan
vertical, tournant autour d’une de ses tangentes verticales d’un
mouvement uniforme à la vitesse angulaire !.
Un anneau M, de masse m, assimilable à un point matériel, est
mobile sans frottement sur ce cerceau. On désigne par l’angle que
fait OM avec la verticale descendante passant par O.
Z
A
O
y
ș
M
x
1. Déterminer l’équation di¤érentielle du mouvement dans le
plan vertical contenant la circonférence :
a. en appliquant la relation fondamentale de la dynamique
b. en appliquant le théorème du moment cinétique
2. On veut étudier l’équilibre relatif de M.
a. Ecrire la relation f () = 0 donnant les positions d’équilibre.
b. Déterminer les positions d’équilibre à l’aide d’une résolution graphique.
25
2.a. Les positions d’équilibre relatif de l’anneau sont obtenues en annulant
d2 dans l’équation du mouvement ; on obtient donc :
dt2
f () = g sin + a! 2 (1 + sin ) cos = 0
3
ne sont pas solution de cette équation, on
b. Comme = et =
2
2
peut diviser par g cos et on aboutit à l’équation équivalente :
a! 2
tan =
(1 + sin )
g
soit encore :
y1 () = y2 ()
Les solutions sont les intersections des graphes des fonctions
a! 2
y1 () = tan et y2 () =
(1 + sin ) qui sont représentées sur la …gure
g
suivante dans l’intervalle [0; 2] :
y
2ω 2 a
g
y1
M1
y2
ωa
g
2
0
θ1
π
2
M2
π
θ2
2π
3π
2
θ
Les positions d’équilibre correspondent aux points M1 et M2 tels que :
M1 correspond à un angle 1 compris entre 0 et
2
3
M2 correspond à un angle 2 compris entre et
2
EP.5.9. : Pesanteur apparente et déviation vers l’Est
Un objet assimilé à un point matériel M de masse m, est suspendu par un …l à un plafond, en un lieu où la latitude est , à la
surface de la Terre supposée sphérique de centre O et de rayon r.
26
Soit RT (O0 x0 y 0 z 0 ) le référentiel lié à la Terre ; ce référentiel n’est
pas galiléen en raison de la rotation de la Terre autour de l’axe des
!
pôles Oz 0 qui s’e¤ectue avec la vitesse angulaire ! = 7; 29:10 5 rad:s 1
et soit R (Oxyz) le référentiel galiléen d’origine le centre de la Terre,
!
!
!
!
d’axe Oz confondu avec l’axe Oz 0 et d’axes Ox et Oy ayant des
directions …xes.:
1. Ecrire, dans le référentiel R, le principe fondamental de la
dynamique appliqué à M et en déduire la direction de la verticale appa-rente en M et la variation de l’intensité du champ de
pesanteur g avec la latitude.
2. On suppose que le point M subit, en plus de son poids, l’action
!
d’une force F
Ecrire, dans le référentiel R, le principe fondamental de la dynamique appliqué à M. Ecrire ce principe dans RT .
3. Application : déviation vers l’Est
Montrer que si M tombe en chute libre d’une hauteur h, la
trajectoire n’est plus rigoureusement verticale et qu’elle est déviée
vers l’Est. Calculer cette déviation en fonction de h, g, ! et .
Cette manifestation du caractère non galiléen du repère terrestre fut observée en 1833 par Reich en étudiant la chute libre
dans un puits de mine de profondeur h = 158 m; situé à Freiberg
(Allemagne) sous la latitude = 51 . Calculer la déviation observée.
Solution
1. Par rapport au repère galiléen R (O; x; y; z), le point M est animé d’un
mouvement circulaire uniforme.
z
M
H
ω
O
ε
A
λ
r
P
− mγ e
(T)
y
29
En intégrant, on obtient :
dx0
= !gt2 cos dt
1
x0 = !gt3 cos 3
1
Si la hauteur de chute est h , on a : h = gt2
soit
2
et
t=
La déviation de la trajectoire vers l’Est est donc donnée par :
r
2h
2
0
x = h! cos 3
g
r
2h
g
Pour h = 158 m; ! = 7:10 5 rad:s 1 et = 51 , on obtient :
x0 = 28 mm distance qui est relativement faible.
P.5.10. : Pendule de Foucault
En 1851, Léon Foucault a e¤ectué une expérience montrant
qu’il est possible de mettre en évidence la rotation de la Terre
autour de l’axe des pôles et de mesurer sa vitesse de rotation tout
en étant sur la Terre. C’est l’expérience du pendule de Foucault
que l’on va décrire et interpréter.
Foucault a réalisé cette célèbre expérience à Paris, à la coupole
du Panthéon dont la hauteur est ` = 67 m. Il a utilisé un pendule
simple constitué d’une sphère, de masse m = 30 kg suspendue à
l’extrémité d’un …lin (…l rigide), de longueur légèrement inférieure
à `, …xé en un point O1 situé au sommet de la coupole.
Z
Ȧ
y
N
O
C
z
x (Est)
Ȝ
Y
X
S
30
Soit RG (CXY Z) le référentiel géocentrique et R (Oxyz) le réfé!
!
rentiel lié à la Terre tel que Oz est l’axe vertical ascendant et Ox
l’axe local orienté vers l’Est. R tourne par rapport à RG à la vitesse
angulaire ! = 7; 29:10 5 rad:s 1 . Dans le référentiel RG ; le pendule,
écarté de sa position d’équilibre et abandonné à l’action de son
poids et de la tension du …lin, e¤ectue un mouvement oscillatoire
dans un plan …xe. Dans R; ce plan semble donc e¤ectuer une rotation autour de l’axe polaire, dans le sens Est-Ouest.
En assimilant la sphère à un point matériel A et en exprimant
!
!
O1 A
:
la tension du …lin sous la forme T = T
`
1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel non galiléen R. En déduire les équations du mouvement.
2. En négligeant le déplacement vertical de la sphère, déterminer les équations décrivant le mouvement dans le plan horizontal
(xOy).
3. Résoudre le système d’équations obtenues sachant qu’à l’insdx
dy
tant initial t = 0, on a : x = x0 , y = 0 et
=
= 0. On posera
dt
dt
u = x + iy et = ! sin ! !
4. Montrer que dans un système d’axes (Ox0 ; Oy 0 ) tournant dans
le plan Oxy autour de O à la vitesse angulaire la masse A décrit
une ellipse très aplatie. Montrer également que le plan d’oscillation du pendule e¤ectue un tour complet autour de ce même axe
2
.
pendant la durée T =
5: Calculer T à Tunis ( ' 36 50); à Paris ( ' 48 50); aux pôles
( = 90 ) et à l’équateur ( = 0).