PROBLEME 1 : Charge électrique plongée dans un champ

L1 PC et IM 20092010
UEL SME 20092010
UFR-Sciences de Luminy
Centre d'Océanologie de Marseille
Partiel PHY1
Département de Physique
DYNAMIQUE DES SYSTEMES PHY1
Partiel du jeudi 26 novembre 2009
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PROBLEME 1 : Charge électrique plongée dans un champ
magnétique constant
Considérons une particule, de charge q = −e et de masse m, plongée dans un champ
~ = B~ez . Sous l'action du champ magnétique, la
magnétique constant dirigé selon l'axe z : B
particule va suivre une trajectoire circulaire dans le plan (x0y) perpendiculaire au champ.
Au temps t, les coordonnées de la particules sont :
v0
sin(ωc t)
ωc
v0
y(t) =
(1 − cos(ωc t))
ωc
z(t) = 0
x(t) =
où v0 est le module de la vitesse de la particule au temps t = 0, et ωc est une constante
appelée pulsation cyclotron.
1. Calculer la vitesse (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) de la particule au temps t.
2. Calculer l'accélération (ẍ(t), ÿ(t), z̈(t)) de la particule au temps t.
3. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique associée à ce système.
~.
Rappel : la force de Lorenz en l'absence de champ électrique s'écrit : F~ = q~v × B
4. En déduire l'expression de la pulsation cyclotron ωc en fonction de e, m et B .
5. Calculer l'énergie cinétique T de la particule. Que remarquez-vous ?
~ entre des temps t1 et t2 . Quelle interpréta6. Calculer le travail de la force F~ = q~v × B
tion faites-vous du résultat ? Comment celui-ci est-il relié au résultat de la question
5?
−→ TSVP
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PROBLEME 2 : Masse xée à un ressort
On considère un ressort de raideur k constante positive et de longueur au repos `0 ,
auquel est suspendu un point matériel de masse m qui est soumis à son poids et à la force
de rappel du ressort. On supposera constante l'accélération de la pesanteur ~g = g e~z où
l'axe des z correspond à l'axe vertical dirigé vers le bas. La force de rappel est donnée
par : F~r = −k(z − `0 )e~z .
1. On écarte verticalement le point matériel de sa position d'équilibre. On choisit
comme conditions initiales : z(t = 0) = z0 , et on supposera que la vitesse à t = 0
est nulle. Ecrire l'équation du mouvement du point matériel.
2. Montrer que la position du point matériel à chaque instant est donnée par :
z(t) = z0 cos(ωt) + zeq (1 − cos(ωt))
Quelle est la valeur de la pulsation ω des oscillations ? Donner l'expression de zeq .
3. On ne néglige plus la force de frottement F~f exercée par l'air que l'on suppose
proportionnelle à la vitesse : F~f = −η ż e~z , où η est une constante positive. Ecrire
l'équation du mouvement.
4. Résoudre l'équation qui précède dans le cas où le coecient de frottement η est petit
devant la raideur k avec les conditions initiales : z(t = 0) = z0 et ż(t = 0) = 0 . On
η
posera α = 2m
. Quelle est la nature du mouvement ?
5. Quelle est la limite asymptotique de z(t) pour t → ∞ ?
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