Applications linéaires

Applications lin´ eaires et matrices
Herv´ e Hocquard
Universit´ e de Bordeaux, France
4 septembre 2016

Notion d’application lin´ eaire
D´ efinition
Soit Eet Fdeux K-ev (K=Rou C). On dit qu’une application
ϕ :E→Fest une application K-lin ´ eaire ou que ϕ est un
homomorphisme de K-ev si :
∀(u,v)∈E2
ϕ (u+v) = ϕ (u) + ϕ (v)
∀
α ∈K,∀u∈E, ϕ ( α u) = αϕ (u)

Notion d’application lin´ eaire
D´ efinition
Soit Eet Fdeux K-ev (K=Rou C). On dit qu’une application
ϕ :E→Fest une application K-lin ´ eaire ou que ϕ est un
homomorphisme de K-ev si :
∀(u,v)∈E2
ϕ (u+v) = ϕ (u) + ϕ (v)
∀
α ∈K,∀u∈E, ϕ ( α u) = αϕ (u)
Proposition
Soit ϕ :E→F,Eet Fdeux K-ev. Alors ϕ est lin´ eaire ssi :
∀(u,v)∈E2∀(
α , β )∈K2 ϕ ( α u+ β v) = αϕ (u) + β ϕ (v)
et on a alors :
∀(u1, ..., un)∈En∀( α
1, ...,
α
n)∈Kn
ϕ
n
∑
i=1
α
iui!=
n
∑
i=1
α
i
ϕ (ui)

Notion d’application lin´ eaire
Remarques
Si ϕ est lin´ eaire, ϕ (0) = 0.
On note L(E,F)l’ensemble des applications lin ´ eaires de E
dans Fet L(E)l’ensemble des applications lin ´ eaires de E
dans E(endomorphismes de E). Il est facile de voir que
(L(E,F),+, .)est un K-espace vectoriel.

Notion d’application lin´ eaire
Proposition
Soit Eet Fdeux K-ev et ϕ ∈L(E,F). Alors, pour tout sev E1
de E,
ϕ (E1)est un sev de F. En particulier, ϕ (E)est un sev de
F, qui s’appelle l’image de
ϕ et qui se note Im ϕ .