Applications lin´
eaires et matrices
Herv´
e Hocquard
Universit´
e de Bordeaux, France
6 septembre 2015
Notion d’application lin´
eaire
D´
efinition
Soit Eet Fdeux K-ev (K=Rou C). On dit qu’une application
ϕ
:EFest une application K-lin´
eaire ou que
ϕ
est un
homomorphisme de K-ev si :
(u,v)E2
ϕ
(u+v) =
ϕ
(u) +
ϕ
(v)
α
K,uE,
ϕ
(
α
u) =
αϕ
(u)
Notion d’application lin´
eaire
D´
efinition
Soit Eet Fdeux K-ev (K=Rou C). On dit qu’une application
ϕ
:EFest une application K-lin´
eaire ou que
ϕ
est un
homomorphisme de K-ev si :
(u,v)E2
ϕ
(u+v) =
ϕ
(u) +
ϕ
(v)
α
K,uE,
ϕ
(
α
u) =
αϕ
(u)
Proposition
Soit
ϕ
:EF,Eet Fdeux K-ev. Alors
ϕ
est lin´
eaire ssi :
(u,v)E2(
α
,
β
)K2
ϕ
(
α
u+
β
v) =
αϕ
(u) +
βϕ
(v)
et on a alors :
(u1, ..., un)En(
α
1, ...,
α
n)Kn
ϕ
n
i=1
α
iui!=n
i=1
α
i
ϕ
(ui)
Notion d’application lin´
eaire
Remarques
Si
ϕ
est lin´
eaire,
ϕ
(0) = 0.
On note L(E,F)l’ensemble des applications lin´
eaires de E
dans Fet L(E)l’ensemble des applications lin´
eaires de E
dans E(endomorphismes de E). Il est facile de voir que
(L(E,F),+, .)est un K-espace vectoriel.
Notion d’application lin´
eaire
Proposition
Soit Eet Fdeux K-ev et
ϕ
L(E,F). Alors, pour tout sev E1
de E,
ϕ
(E1)est un sev de F. En particulier,
ϕ
(E)est un sev de
F, qui s’appelle l’image de
ϕ
et qui se note Im
ϕ
.
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