Cours

Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité
MATRICES
I- Définitions
Définition 1
Une matrice Ade format (n, p) est un tableau de nombres à nlignes et pcolonnes. Ces
nombres sont appelés coefficients de la matrice.
Le coefficient de la ième et de la jème est noté aij .
A=
a11 a12 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p
.
.
..
.
..
.
.
an1an2· · · anp
. On pourra écrire A= (aij ).
Exemple
A=−3 2 1
4−1 5est une matrice de dimension 2 ×3.
a23 = 5, a12 = 2.
Définition 2
Si n= 1, la matrice Aest une matrice ligne.
Si p= 1, la matrice Aest une matrice colonne.
Si n=p, la matrice Aest une matrice carrée (on dit que c’est une matrice carrée d’ordre
n).
Exemples
A=3−2 4 −5est une matrice ligne de format (1,4).
B=
2
−6
3
est une matrice colonne de format (3,1).
C=
−4 1 5
7 12 3
3−2 1
est une matrice carrée de d’ordre 3.
Définition 3
Deux matrices A= (aij ) et B= (bij ) sont égales si elles ont le même format n×pet si,
pour tout couple (i, j), avec 1 6i6net 1 6j6p,aij =bij .
Définition 4
La matrice nulle de format (n, p) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Définition 5
Soit A= (aij ) une matrice de format (n, p).
L’opposée de la matrice A, notée −A, est la matrice de format (n, p) dont les coefficients
sont les opposés des coefficients de Asitués à la même ligne et même colonne.
Si A=−3 2 1
4−1 5, alors −A=3−2−1
−4 1 −5
Définition 6
La matrice transposée d’une matrice Ade format (n, p) est la matrice notée t Ade format
(p, n) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
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Exemple
Si A=−3 2 1
4−1 5, alors t
A=
−4−4
2−1
1 5 
.
Aest de format (2,3), t Aest de format (3,2).
II- Opérations
1. Somme de deux matrices
Définition 1
On appelle somme de deux matrices A= (aij ) et B= (bij ) de même format (n, p) la
matrice notée A+B= (cij ) de format (n, p) telle que, pour tout couple (i, j), avec
16i6net 1 6j6p,cij =aij +bij .
Soit A=1−5 0
2 3 −1et B=432
−3−3−1deux matrices de format (2,3).
A+B=5−2 2
−1 0 −2.
Théorème
Soit A= (aij ), B= (bij ), C= (cij ) trois matrices de même format (n, p) et Ola
matrice nulle de format (n, p).
•A+B=B+A
•(A+B) + C=A+ (B+C), on notera donc A+B+Ccette somme.
•A+O=O+A=A.
•A+ (−A) = (−A) + A=O
Démonstration
•Les coefficients de la matrice A+Bsont aij +bij , ceux de la matrice B+Asont
bij +aij .
aij +bij =bij +aij pour tout couple (i, j), avec 1 6i6net 1 6j6p. On a
donc : A+B=B+A.
•Les coefficients de la matrice (A+B) + Csont (aij +bij ) + cij .
Les coefficients de la matrice A+ (B+C) sont aij + (bij +cij ).
(aij +bij ) + cij =aij + (bij +cij ) = aij +bij +cij , pour tout couple (i, j), avec
16i6net 1 6j6p.
On a donc : (A+B) + C=A+ (B+C).
•aij + 0 = 0 + aij =aij pour tout couple (i, j), avec 1 6i6net 1 6j6p.
On a donc A+O=O+A=A.
•aij + (−aij = (−aij ) + aij = 0 pour tout couple (i, j), avec 1 6i6net 1 6j6p.
On a donc A+ (−A) = (−A) + A= 0.
Remarque
Soit Aet Bde même format (n, p).
On notera A−Bla somme A+ (−B).
Soit A=1−5 0
2 3 −1et B=432
−3−3−1deux matrices de dimension 2 ×3.
−B=−4−3−2
331et A−B=−3−8−2
560.
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2. Produit d’une matrice par un réel
Définition
Soit A= (aij ) une matrice de format (n, p) et λun nombre réel.
Le produit du réel λpar la matrice Aest la matrice notée λA de format (n, p) dont le
terme de la ième et de la jème colonne est λaij .
Exemple
Soit A=1−5 0
2 3 −1.
2A=2−10 0
4 6 −2.
Théorème
Soit Aet Bdeux matrices de même format, λet µdeux nombres réels.
•0.A =Oet 1.A =A
•λ(A+B) = λA +λB
•(λ+µ)A=λA +µA.
•(λµ)A=λ(µA)
Remarque On retrouve les mêmes propriétés que sur l’ensemble des vecteurs du plan
muni de l’addition et du produit par un réel.
On peut noter les coordonnées d’un vecteur ~u sous forme d’une matrice colonne : x
y.
3. Produit de deux matrices
Définition 1 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne
Soit A=a1a2··· anune matrice ligne de format(1, n) et B=
b1
b2
···
bn
une
matrice colonne de format (n, 1).
A×B= (a1b1+a2b2+··· +anbn) = n
X
i=1
aibi!.A×Best une matrice de format
(1,1).
Exemple
2−3 1×
4
2
0
= (2 ×4 + (−3) ×2 + 1 ×0) = (2).
Définition 2 Produit de deux matrices
Soit Aune matrice de format (n, p) et Bune matrice de format (p, q), n,pet qétant
des entiers naturels non nuls.
Le produit A×Best la matrice de dimension n×q, dont le terme de la iième ligne et
de la jième colonne est le produit de la iième ligne de la matrice Apar la jième colonne
de la matrice B.
Soit aik les coefficients de la matrice A,bkj les coefficients de la matrice Bet cij les
coefficients de la matrice A×B.
Alors : cij =
p
X
k=1
aikbkj .
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Exemple et disposition des calculs
Soit A=6−3
1−2une matrice de format (2,2) et B=2−1 3
5 0 4une matrice de
format (2,3).
Le nombre de colonnes de Aest égal au nombre de lignes de B, on peut donc effectuer
le produit A×B, qui est une matrice de format (2,3).
Remarque : On ne peut pas effectuer le produit B×A.
On dispose les calculs de la manière suivante :
2−1 3
50 4
6−3
1−2 −3−6 6 −8−1−5
Le coefficient de la première ligne et première colonne s’obtient en effectuant le produit
de la première ligne de Apar la pemière colonne de B: 6 ×2 + (−3) ×5 = −3.
III- Matrices carrées
Définition 1
Une matrice carrée d’ordre nest une matrice qui a nlignes et ncolonnes.
Définition 2
La matrice unité d’ordre n, notée Inest la matrice dont tous les termes diagonaux sont
égaux à 1 et dont tous les autres termes sont nuls.
Exemple
I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Propriétés (admises)
Soit A,Bet Ctrois matrices carrées d’ordre n,nétant un entier naturel non nul.
•(A×B)×C=A×(B×C). On note ce produit A×B×C. (Associativité)
•A×(B+C) = A×B+A×Cet (A+B)×C=A×C+B×C. (Distributivité)
•Pour tout réel λ, (λA)×B=λ(A×B) = A×(λB).
•A×In=In×A=A.
Attention
•La multiplication n’est pas commutative, en général, on n’a pas A×B=B×A.
Exemple : 2 1
0−3×4−2
2 1 =10 −3
−6−3mais 4−2
2 1 ×2 1
0−3=8 10
4−1
•Si Aet Bsont deux matrices non nulles, leur produit peut être nul.
Exemple :2 1
4 2×−1 3
2−6=0 0
0 0
Conséquence : Si A×B=A×C, avec Anon nulle, on ne peut pas en déduire en
général que B=C.
Définition 3
Soit Aune matrice carrée d’ordre n,nétant un entier naturel non nul.
A1=Aet, pour tout entier naturel knon nul, Ak+1 =Ak×A.
Par convention : A0=In.
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Exemple
Soit la matrice A=1 1
1 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul, An= 2n−1A.
On fait une démonstration par récurrence :
Intialisation
A1= 20Aest vrai, la propriété est initialisée au rang 1.
Hérédité Supposons que, pour un entier naturel nnon nul, An= 2n−1A.
On a alors An+1 =An×A= 2n−1A×A= 2n−1A2.
Or A2=2 2
2 2= 2A.
Par conséquent An+1 = 2n−1×2A= 2nA.
La propriété est héréditaire.
Conclusion
Pour tout entier naturel nnon nul, An= 2n−1A.
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