Cours

Chapitre 03 Matrices
Terminale S Spécialité
MATRICES
I- Définitions
Définition 1
Une matrice A de format (n, p) est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Ces
nombres sont appelés coefficients de la matrice.
Le coefficient
de la ième et 
de la j ème est noté aij .

a11 a12 · · · a1p
 a21 a22 · · · a2p 


A= .
..
.. . On pourra écrire A = (aij ).
 ..
.
. 
an1 an2 · · · anp
Exemple
−3 2 1
A=
est une matrice de dimension 2 × 3.
4 −1 5
a23 = 5, a12 = 2.
Définition 2
Si n = 1, la matrice A est une matrice ligne.
Si p = 1, la matrice A est une matrice colonne.
Si n = p, la matrice A est une matrice carrée (on dit que c’est une matrice carrée d’ordre
n).
Exemples
A = 3
−2 4 −5 est une matrice ligne de format (1, 4).

2
B = −6 est
3

−4 1
12
C = 7
3 −2
une matrice colonne de format (3, 1).

5
3 est une matrice carrée de d’ordre 3.
1
Définition 3
Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont égales si elles ont le même format n × p et si,
pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p, aij = bij .
Définition 4
La matrice nulle de format (n, p) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Définition 5
Soit A = (aij ) une matrice de format (n, p).
L’opposée de la matrice A, notée −A, est la matrice de format (n, p) dont les coefficients
sont les opposés des coefficients de A situés à la même ligne et même colonne.
−3 2 1
3 −2 −1
Si A =
, alors −A =
4 −1 5
−4 1 −5
Définition 6
La matrice transposée d’une matrice A de format (n, p) est la matrice notée tA de format
(p, n) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
1
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Exemple


−4 −4
−3 2 1
Si A =
, alors tA =  2 −1.
4 −1 5
1
5
A est de format (2, 3), tA est de format (3, 2).
II- Opérations
1. Somme de deux matrices
Définition 1
On appelle somme de deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) de même format (n, p) la
matrice notée A + B = (cij ) de format (n, p) telle que, pour tout couple (i, j), avec
1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p, cij = aij + bij .
1 −5 0
4
3
2
Soit A =
et B =
deux matrices de format (2, 3).
−3 −3 −1
2 3 −1 5 −2 2
A+B =
.
−1 0 −2
Théorème
Soit A = (aij ), B = (bij ), C = (cij ) trois matrices de même format (n, p) et O la
matrice nulle de format (n, p).
• A+B =B+A
• (A + B) + C = A + (B + C), on notera donc A + B + C cette somme.
• A + O = O + A = A.
• A + (−A) = (−A) + A = O
Démonstration
• Les coefficients de la matrice A + B sont aij + bij , ceux de la matrice B + A sont
bij + aij .
aij + bij = bij + aij pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p. On a
donc : A + B = B + A.
• Les coefficients de la matrice (A + B) + C sont (aij + bij ) + cij .
Les coefficients de la matrice A + (B + C) sont aij + (bij + cij ).
(aij + bij ) + cij = aij + (bij + cij ) = aij + bij + cij , pour tout couple (i, j), avec
1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p.
On a donc : (A + B) + C = A + (B + C).
• aij + 0 = 0 + aij = aij pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p.
On a donc A + O = O + A = A.
• aij + (−aij = (−aij ) + aij = 0 pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p.
On a donc A + (−A) = (−A) + A = 0.
Remarque
Soit A et B de même format (n, p).
On notera A − B la somme A + (−B).
1 −5 0
4
3
2
Soit A =
et B =
deux matrices de dimension 2 × 3.
2 3 −1
−3 −3 −1
−4 −3 −2
−3 −8 −2
−B =
et A − B =
.
3
3
1
5
6
0
2
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2. Produit d’une matrice par un réel
Définition
Soit A = (aij ) une matrice de format (n, p) et λ un nombre réel.
Le produit du réel λ par la matrice A est la matrice notée λA de format (n, p) dont le
terme de la ième et de la j ème colonne est λaij .
Exemple
1 −5 0
Soit A =
.
2 3 −1
2 −10 0
2A =
.
4
6
−2
Théorème
Soit A et B deux matrices de même format, λ et µ deux nombres réels.
• 0.A = O et 1.A = A
• λ(A + B) = λA + λB
• (λ + µ)A = λA + µA.
• (λµ)A = λ(µA)
Remarque On retrouve les mêmes propriétés que sur l’ensemble des vecteurs du plan
muni de l’addition et du produit par un réel.
x
On peut noter les coordonnées d’un vecteur ~u sous forme d’une matrice colonne :
.
y
3. Produit de deux matrices
Définition 1 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne

b1
 b2 

Soit A = a1 a2 · · · an une matrice ligne de format(1, n) et B = 
· · · une
bn
matrice colonne de format (n, 1).
!
n
X
ai bi . A × B est une matrice de format
A × B = (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) =

i=1
(1, 1).
Exemple
 
4
2 −3 1 × 2 = (2 × 4 + (−3) × 2 + 1 × 0) = (2).
0
Définition 2 Produit de deux matrices
Soit A une matrice de format (n, p) et B une matrice de format (p, q), n, p et q étant
des entiers naturels non nuls.
Le produit A × B est la matrice de dimension n × q, dont le terme de la iième ligne et
de la j ième colonne est le produit de la iième ligne de la matrice A par la j ième colonne
de la matrice B.
Soit aik les coefficients de la matrice A, bkj les coefficients de la matrice B et cij les
coefficients de la matrice A × B.
p
X
Alors : cij =
aik bkj .
k=1
3
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Exemple et disposition des calculs
6 −3
2 −1 3
Soit A =
une matrice de format (2, 2) et B =
une matrice de
1 −2
5 0 4
format (2, 3).
Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, on peut donc effectuer
le produit A × B, qui est une matrice de format (2, 3).
Remarque : On ne peut pas effectuer le produit B × A.
On dispose lescalculs de la manière suivante :
2 −1 3
5 0 4
6 −3
−3 −6 6
1 −2
−8 −1 −5
Le coefficient de la première ligne et première colonne s’obtient en effectuant le produit
de la première ligne de A par la pemière colonne de B : 6 × 2 + (−3) × 5 = −3.
III- Matrices carrées
Définition 1
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice qui a n lignes et n colonnes.
Définition 2
La matrice unité d’ordre n, notée In est la matrice dont tous les termes diagonaux sont
égaux à 1 et dont tous les autres termes sont nuls.
Exemple


1 0 0
I3 = 0 1 0.
0 0 1
Propriétés (admises)
Soit A, B et C trois matrices carrées d’ordre n, n étant un entier naturel non nul.
• (A × B) × C = A × (B × C). On note ce produit A × B × C. (Associativité)
• A × (B + C) = A × B + A × C et (A + B) × C = A × C + B × C. (Distributivité)
• Pour tout réel λ, (λA) × B = λ(A × B) = A × (λB).
• A × In = In × A = A.
Attention
• La multiplication
n’est
en général, on n’apasA × B = B
× A. pas commutative,
2 1
4 −2
10 −3
4 −2
2 1
8 10
Exemple :
×
=
mais
×
=
0 −3
2 1
−6 −3
2 1
0 −3
4 −1
• Si A et B sont
non
leur
deux
matrices
nulles,
produit peut être nul.
2 1
−1 3
0 0
×
=
Exemple :
4 2
2 −6
0 0
Conséquence : Si A × B = A × C, avec A non nulle, on ne peut pas en déduire en
général que B = C.
Définition 3
Soit A une matrice carrée d’ordre n, n étant un entier naturel non nul.
A1 = A et, pour tout entier naturel k non nul, Ak+1 = Ak × A.
Par convention : A0 = In .
4
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Exemple
1 1
Soit la matrice A =
.
1 1
Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, An = 2n−1 A.
On fait une démonstration par récurrence :
Intialisation
A1 = 20 A est vrai, la propriété est initialisée au rang 1.
Hérédité Supposons que, pour un entier naturel n non nul, An = 2n−1 A.
n+1
n
n−1
On a alors
A × A = 2n−1 A2 .
A = A × A = 2
2 2
Or A2 =
= 2A.
2 2
Par conséquent An+1 = 2n−1 × 2A = 2n A.
La propriété est héréditaire.
Conclusion
Pour tout entier naturel n non nul, An = 2n−1 A.
5