Tale S
Chapitre n° 12
ÉTUDE DE M OU VE MENTS PLANS
DANS UN C HA MP DE PES A N TEUR
I- Introduction
1°)Un peu d’histoire
Pour Aristote, (384 322) av. J.C.), un projectile qui a été lancé a un mouvement qui se décompose en
deux parties rectilignes : le mouvement « » à une action extérieure qui fait monter le
projectile, puis le mouvement « » au cours duquel le projectile va vers le bas.
Galie (1564 1642) fait une étude expérimentale du mouvement d’un corps qui a été lancé et montre
ométriquement que
C’est grâce aux lois de Newton (1642 – 1727) que la modélisation du mouvement permet d’obtenir
2°)Un peu de mathématique
Une ellipse est l’ensemble des points P défini par :
AA = 2.a est
et BB’ = 2.b est
L’excentricité e de l’ellipse est définie par :
'AA
'FF
e
=
Si l’excentricité est nulle, l’ellipse devient
II- La chute libre parabolique
1°)Présentation
Considérons un solide S soumis à une impulsion initiale, donc ayant une
vitesse initiale non nulle, faisant un angle α avec l’axe horizontal.
2°) Les équations horaires paramétriques du mouvement
Système étud :
Référentiel utilisé :
Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système :
D’après la deuxième loi de Newton :
soit soit
Si le solide S est assimi à un système ponctuel, nous avons :
Projetons cette équation vectorielle sur le système d’axes (O ;
i
,
j
,
k
) :
soit
Rq. : Ces équations constituent
Par ingration, la vitesse s’exprime par :
soit
Rq. : La vitesse selon l’horizontale est : le mouvement horizontal est
La vitesse selon la verticale est : le mouvement vertical est
(comme pour une chute libre verticale).
- 1 -
z
x
α
O
P
b
a
A'
A
F’
O
F
B
B'
Par ingration, les coordonnées x, y et z s’expriment par :
Comme le solide a débuté son mouvement à l’origine du repère, nous obtenons :
3°) L’équation cartésienne de la trajectoire
Définition : l’équation cartésienne de la trajectoire est une relation mathématique indépendante du temps
entre les coordonnées du point mobile.
Nous avons : donc
Donc :
soit
Rq. : L’équation du mouvement étant de la forme z = a.x2 + b.x + c, la trajectoire est
4°) Caractéristiques de la trajectoire
a) Notion de portée
1- Définition
2- Détermination de la portée
En utilisant l’équation cartésienne, et sachant que l’origine des cotes est prise au départ du solide,
nous obtenons :
soit
soit xMax = ou
soit
soit
Comme sin(2.α) = 2.sinα.cosαalors
- 2 -
z
x
xS
xMax
h
O
3- Propriétés La portée est donc
La portée est maximale lorsque sin(2.α) = soit 2.α = soit α =
Déterminons la vitesse du solide lors de l’impact au sol, définie par :
- Nous avons :
- Lors de l’impact :
Comme x = (v0.cosα).t alors :
soit :
Donc :
soit
- La vitesse du solide s’exprime donc par :
soit
soit
soit
: la vitesse du solide lors de l’impact est donc
(dans le cas d’une absence de force de frottement).
b) Notion de flèche
1- Définition
2- Détermination de la flèche L’abscisse du sommet xS peut s’obtenir en écrivant :
ce qui donne, d’après l’équation cartésienne de la trajectoire :
soit
soit
soit
Nous avions 4°)a)2-) alors
En réutilisant l’équation cartésienne de la trajectoire, nous obtenons :
soit soit
c) Remarque de réalisme
Si les frottements de l’air ne sont plus négligés :
la trajectoire
la portée et la flèche
III- Les lois de Kepler
1°)Le référentiel héliocentrique
Le repère (S ;
I
,
J
,
K
) attaché au référentiel héliocentrique est fini par
le centre du Soleil S, et trois axes dont les directions sont données par trois étoiles
lointaines E1,E2 et E3.
Ce repère peut être assimi à un repère galiléen pour des durées de
quelques années.
- 3 -
S
(E1)
(E3)
(E2)
2°)La première loi de Kepler ou loi des orbites
Rq. : A l’exception de Mercure et de Pluton, les ellipses que décrivent les centres des planètes ont une très faible
excentricité, et on peut considérer que
3°)La deuxième loi de Kepler ou loi des aires
4°)La troisième loi de Kepler ou loi des périodes
Le carré de la durée d’une révolution T d’une planète (ou d’un satellite) est proportionnel au cube de la longueur
du demi - grand axe de l’ellipse a :
où KS est une constante qui ne dépend pas de la planète consi.
KS = 2,97.10-19 s2.m-3 pour toutes les planètes du système solaire
KJ = 3,11.10-16 s2.m-3 pour tous les satellites de Jupiter
IV- Application de la deuxième loi de Newton aux satellites et planètes
1°)Le vecteur accélération Un système ponctuel ou solide, en mouvement circulaire de rayon r, a une accélération (dans la base de Frenet
(G ;
T
,
N
)) définie par :
Dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, l’accélération tangentielle est nulle, donc :
Comme v et r sont deux constantes, l’accélération est (c’est-à-dire normale à la trajectoire
et dirigée vers l’intérieur de la concavité) et
2°)Nature du mouvement d’une planète
a) Notion de force centripète
Système étud :
Référentiel utilisé :
Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système :
D’après la deuxième loi de Newton : soit
soit soit
Conclusion 1 : Comme une planète est soumise à une force radiale, le vecteur accélération de son centre
d’inertie est
Conclusion 2 : Comme le vecteur accélération de son centre d’inertie est constamment dirigé vers le centre du
Soleil, la planète est soumise à une force
b) Modélisation du mouvement
1- Principe
Nous avons vu dans le § IV-1°) qu’un système en mouvement circulaire et uniforme possédait une
accélération centripète. Comme cela est le cas pour une planète, ce type de mouvement est alors une des solutions possibles
des équations coulant de l’application de la deuxme loi de Newton. (Une autre solution courante étant le mouvement
elliptique).Quelle condition sur la vitesse cela impose-t-il alors ?
2- Vitesse d’une planète en mouvement circulaire et uniforme L’application de la deuxième loi de Newton nous a conduit à la relation :
- 4 -
P
b
a
A'
A : Périhélie
A' : Aphélie
A
F2
O
l1
l3
A1
l2
F1
A3
A2
P
S
uSP
FSP
r
Or l’accélération d’un système en mouvement circulaire et uniforme s’écrit :
Donc :
Comme
N
et
SP
u
ontme direction mais sens contraire, nous avons alors :
Soit
Rq. 1 : G, MS et r étant des constantes,
Rq. 2 : Pour un satellite de la Terre, la vitesse s’exprime par :
Rq. 3 : La vitesse d’un objet en orbite (une planète ou un satellite) est
3°)Période de révolution
a) Définition
b) Expression La vitesse de déplacement d’un système est définie par : soit
La période de révolution s’écrit donc :
soit où M est la masse du solide au centre de la trajectoire
soit soit
Rq. 1 : Pour un satellite de la Terre, la période de révolution s’exprime par :
Rq. 2 : Cette relation nous montre que
Rq. 3 : A partir de la relation
M.G
r..4
T
32
2
π
=
, nous pouvons retrouver la troisième loi de Kepler :
Comme G et M sont des constantes, nous avons bien :
c) Cas des satellites géostationnaires Un satellite géostationnaire a une période de révolution égale à la période de rotation propre T0 de la
Terre, soit T = 1 jour sidéral soit T = 23 h 56 min. 4 s soit T = 86164 s
Déterminons l’altitude z S d’évolution de ce type de satellites.
La période de révolution correspondante T est définie par :
soit soit soit
A.N. : soit zS m
soit zS km
Rq. : L’origine des altitudes est prise au niveau du sol.
Déterminons la vitesse v S des satellites géostationnaires.
Nous avons montré que
A.N. :
4°)É tat d’ im pesanteur dans un satellite
L’étude du mouvement d’un système en orbite autour de la Terre ( § IV-2°) a) ) a conduit à écrire :
Cette accélération est : un satellite et tout objet
à l’intérieur possède donc , et donc
Conclusion : tout objet à l’intérieur d’un satellite semble alors « flotter » : ils sont en
, mais en fait en chute libre !
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