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Chapitre VI Application des Lois de Newton aux mouvements I – Mouvement dans un champ uniforme 1 – Dans un champ de pesanteur On lance une balle de masse m avec une vitesse initiale vo quelconque Système : la balle, modélisée par son centre M. Référentiel : le référentiel terrestre qui sera supposé Galiléen. On lui associe un repère orthonormé . Rappel : La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur g. Les caractéristiques de ce champ sont : - sa direction qui est la verticale du lieu - son sens vers la Terre - sa valeur qui dépend du lieu. g = P/m. A Paris, g = 9,81 N.kg-1 Si les dimensions de la trajectoire de ce point matériel sont petites devant le rayon de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme, c’est-à-dire identique en tout point de l’espace : g = cste Inventaire des forces : - Le poids P - Les forces de frottements exercées par l’air sont très faibles devant celle du poids donc elles seront négligées. Un objet qui n’est soumis qu’à son poids est en chute libre. b – Equation horaires de la trajectoire Accélération Application de la deuxième loi de newton dans le cas d’un système dont la masse reste constante. Le vecteur accélération a d’un point matériel M en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, est égal au vecteur champ de pesanteur L’accélération ne dépend pas de la masse m de l’objet. On écrit les coordonnées du vecteur accélération dans le repère donc Vitesse On rappelle que l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. On détermine par intégrations les coordonnées du vecteur vitesse. donc où C1, C2 et C3 sont des constantes d’intégration. Elles sont déterminées à partir des conditions initiales. A t = 0, donc Position La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. On détermine par intégration les coordonnées du vecteur position. donc Il faut maintenant déterminer les constantes d’intégration. On suppose que l’origine du point M correspond à l’origine du repère. donc Les équations horaires montrent que : - y(t) = 0 donc le mouvement se fait dans le plan (Oxz). - vx= v0cos : le mouvement selon l’axe (Ox) est uniforme. - az =-g : le mouvement selon l’axe (Oz) est uniformément varié. c – Equation de la trajectoire On chercher maintenant à trouver l’équation de la trajectoire, c’est à dire z en fonction de x, car le mouvement est dans le plan (Oxz). Il faut donc éliminer la variable t. x = u0 cosat donc x t= u 0 cosa On injecte t dans l’expression z(t) et on obtient: g 2 z=x + tan a x 2 2(u0 cosa ) Il s’agit donc bien de l’équation d’une parabole. d – Questions usuelles: Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle (flèche) ? Trouver z tel que Donc t= u 0 sin a dz =0 dt g On remplace dans l’équation z(t): (u0 sin a ) z= 2g 2 Quelle est la portée de la trajectoire ? Trouver x tel que z =0. g x(x + tan a ) = 0 2 2(u0 cos a ) Donc x = 0 ou Donc - g x + tan a = 0 2 2(u0 cosa ) 2(u 0 cosa )2 tan a 2u02 cosa sin a x= = g g 2 – Dans un champ électrique Une particule de masse m, de charge électrique q est placée dans un champ électrique uniforme E (par exemple entre les deux plaques d’un condensateur). E est orienté de la plaque chargée positivement à la plaque chargée négativement. Système : particule chargée supposée ponctuelle M. Référentiel : Référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère orthonormé Inventaire des forces : Une particule placée dans un champ électrique uniforme est soumise à une force électrique définie par Son poids est considéré comme négligeable devant la valeur f. Accélération: donc donc Vitesse Or donc Position c – Equation de la trajectoire qE 2 z= x + tan a x 2 2m(u0 cosa ) II – Mouvement des satellites 1 – référentiels Pour étudier le mouvement d’une planète autour du Soleil, on se placera le référentiel héliocentrique dont le repère est contré sur le Soleil avec les axes pointant sur 3 étoiles fixes. Exemples : Dans le cas des satellites terrestres, on choisira le référentiel géocentrique. Dans le cas des satellites de Jupiter, le référentiel est dit jovicentrique. Ces référentiel seront considérés comme galiléen pendant la durée de l’étude (quelques années). b – Étude dynamique Système : Satellite S de masse m Référentiel : référentiel géocentrique considéré galiléen. On lui associe le repère de Frenet . Inventaire des forces : On considère que le satellite est uniquement soumis à la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre. Appliquons maintenant la 2nde loi de Newton (PFD) au satellite: Donc l’accélération est égale à : 1 – Nature du mouvement Comme : On en déduit que l’accélération sera uniquement sur un Or dans la base de Frenet, On en déduit que at= 0 du =0 dt On en déduit donc que la norme du vecteur vitesse sera constante. b – Valeur de la vitesse u2 GM T = 2 r r GM T u= r On remarque que la vitesse du satellite est indépendante de la masse du satellite, elle ne dépend que de la masse de la Terre et de la distance r = RT + h. Plus un satellite est proche de la Terre, plus sa vitesse est grande. c – Période de révolution La période révolution T est la durée d’une révolution du satellite autour de la Terre (c’est-à-dire la durée pour effectuer un tour). La longueur d’un tour est : L = 2 r Donc : T= 2p r u 2p r r r3 T= = 2p r = 2p GM T GM T GM T r III – Lois de Kepler Johannes KEPLER (1571-1630) s’est basé sur les mesures de Tycho BRAHÉ (1546 – 1601) pour énoncer ces lois. 1 – Première loi ou loi des orbites Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes (les foyers F1 et F2) est une constante : r1+r2= cste. A l’exception de Mercure, le mouvement des planètes peuvent être considérés comme circulaires. Leurs trajectoires sont quasiment des cercles, c’est-à-dire des ellipses dont les foyers sont confondus. 2 – Deuxième loi ou loi des Aires Le segment qui relie le centre du Soleil à celui de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales Celle loi implique que la valeur de la vitesse d’une planète le long de sa trajectoire elliptique autour du Soleil n’est pas constante. La vitesse est plus grande lorsque la planète est plus proche du Soleil. 3 – Troisième loi ou loi des Périodes Le carré de la période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube de la longueur a du demi-grand axe de son orbite : T = cste 3 a 2 Les lois de Kepler, énoncées pour décrire le mouvement des planètes du système solaire, s’appliquent également à tous les satellites en révolution autour d’une planète. d – Exploitation de la 3ième loi de Kepler. On simplifiera l’étude à une satellite en orbite autour de la terre avec une trajectoire circulaire. D’après la 1ère loi, le centre de cette trajectoire est celui de l’astre. D’après la 2ème loi, le mouvement est uniforme. D’après la 3ème loi, T2 a 3 = cste Le demi-grand axe de l’ellipse est le rayon du cercle donc a=r Or on a démontré que pour un mouvement circulaire uniforme, r3 T = 2p GM T T 4p = 3 r GM T 2 2 =K Remarque: La constante ne dépend pas de la masse du satellite mais uniquement de la masse de la Terre MT. Dans l’approximation des trajectoires circulaires, la 3ème loi de Kepler s’écrit : T2 k= 4p GM a 3 = cste 2 où est une constante dépend uniquement de l’astre autour duquel tourne la planète ou le satellite. 5 – Applications aux corps célestes Révolution de la Terre autour du Soleil Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire de la Terre autour du Soleil est pratiquement un cercle de rayon r = 1,5.1011 km dont elle décrit la circonférence en T = 365,25jours (1an). Les caractéristiques de son mouvement permettent de déterminer la masse MS du Soleil. La troisième loi de Kepler permet d’écrire T 4p = 3 r GM S 2 2 4p r MS = GT 2 2 3 donc Application Numérique: 4p 2 (1, 5´1011 ´103 )3 30 MS = = 2, 0.10 kg -11 2 6, 67 ´10 ´ (365, 25´ 24 ´ 3600)
