corrigé du contrôle contrôle 4

1S1
CORRIGÉ DU CONTRÔLE 4
EXERCICE 1 (2 points)
Voir cours
EXERCICE 2 (5,5 points)
Prendre le corrigé de l’exercice
exercice 1 du DM3 et l’adapter
l
à la situation.
EXERCICE 3 (3 points)
→
→
Remplir le tableau suivant et placer les points sur le cercle tels que : ( OI ; OMi) = α.
–
Angle en radian
Mesure principale : α
π
Cosinus
–1
Sinus
0
Point
M1
125π
3
3
1
2
3
√3
2
4
2
2
2
–
2
M2
M3
232π
6
2
3
1
2
√3
2
5
6
√3
2
1
2
M4
M5
EXERCICE 4 (3,5 points)
On a tracé le triangle équilatéral direct ABC dans le plan orienté.
Les hauteurs (BB’) et (CC’) issues de B et C se croisent en O.
Trouver une mesure en radian des angles suivants (Justifier).
,
= 3 (2π) : Les angles du triangle équilatéral sont tous égaux à 3.
,
′
,
′ =
′ , ′ ′′ = (2π). Avec le point B’’ tel que : ′ ′′
,
′ + π (2π) = + π (2π)
(2 =
7
6
0
1
0
I
′
(2π)
,
: On utilise les propriétés des angles sur la configuration ci-contre.
Dans le triangle ABC, les droites (CC’)) et (BB’)
(BB sont des bissectrices des angles
Donc on en déduit :
= 180 – 2×30
30 = 120°.
2
D’où, en faisant attention à l’orientation
orientation du plan :
,
= 3 (2π)
,
et
.
′ : La droite (AO) est la troisième bissectrice dans
dans le triangle équilatéral ABC, donc
On en déduit que
D’où :
, ′ =
′ = 60°
, ′ = 3 (2π)
′ = 30°.
EXERCICE 5 (6 points)
1. Simplifier l’expression suivante : A = cos (7π
(7 – x) + sin (3π + x) – cos (5π + x)) + sin (8π
(8 + x)
A = cos (π – x) + sin (π + x) – cos (π + x)) + sin x
(on réduit les angles de multiples de 2π)
2
A = – cos x – sin x + cos x + sin x
(angles associés)
A=0
2. Résoudre les équations proposées sur l’intervalle [0 ; 2π[[ (donner la valeur exacte des solutions) puis
représenter les points associés aux solutions sur un cercle trigonométrique.
a. sin x = –
√
sin x = sin (
)
x=
(2π) ou x = π + (2π)
%
Les solutions dans [0 ; 2π[ sont :
et
b. sin (x – ) = 1
x–
c. 4cos 2 x – 3 = 0
sin (x – ) = sin
.
= (2π)
(2 cos x – √3)(2
)(2 cos x + √3) = 0
D’où, les valeurs possibles pour x (modulo 2π)
2 : ;– ;
Dans l’intervalle [0 ; 2π[ les solutions sont : ;
&
;
3. On considère le réel x ∈[0; ] tel que cos x =
a. sin x :
sin² x = 1 – cos² x
sin x =
b. cos(π + x) = – cos x =
√
ou sin x = –
√
c. sin (
%
x=
cos x =
%
et
dans l’intervalle [0 ; 2π[.
2π
√
ou cos x =
√
%
et
. Calculer :
. On élimine la solution négative car x ∈[0;
∈
], donc : sin x =
') = cos x = –
d. cos ( ( ') = – sin x = –
√
√