tauberien

Telechargé par Shiki X
Théorème Taubérien fort
Léo Gayral
2017-2018
ref : Gourdon – Analyse, 2e édition – p.289
Lemme 1. Soit PR[X]. On a (1 x)P
nN
xnP(xn)
x1
1
R
0
P(t)dt.
Démonstration.
Il suffit de le montrer sur Xk, puis de conclure par linéarité du passage à la
limite et de l’intégrale. Dans ce cas, on a bien :
(1 x)X
nN
xn(k+1) =1x
1xk+1 =1
1 + x+· · · +xk1
k+ 1 =
1
Z
0
tkdt .
Théorème 1. Soit (an)RNun O1
n, de sorte que la série entière F(x) =
P
nN
anxna un rayon de convergence supérieur ou égal à 1. Si F(x)
x1
0,
alors n
P
k=0
ak
n→∞ 0.
Démonstration.
Soit ϕ: [0,1] R. Pour x[0,1[, lorsque n
P
k=0
akϕxkconverge pour
n→ ∞, on note Sϕ(x)sa limite. On s’intéresse par la suite à Φl’ensemble
des fonctions pour lesquelles Sϕ(x)
x1
0. On veut montrer que g:= 1[1
2,1]
Φ. Dans ce cas, pour xn=1
n
2
n→∞ 1on a la convergence de n
P
k=0
ak=
Sg(xn)
n→∞ 0.
Si x[0,1[, alors xn
n→∞ 0donc (ang(xn)) est nulle à partir d’un rang.
En d’autres termes, SgR[0,1[ est bien définie, il faut juste étudier son
comportement en 1. On va pour ce faire encadrer gpar des polynômes.
1
Pour k > 0,Xk:x7→ xket x[0,1[, on a anXk(xn)sommable, de
limite Fxk. En particulier, Fxk
x1
0, donc XkΦ. Il en découle
X·R[X]Φ.
Posons h(x) := g(x)x
x(1x)=(1
xsi x1
2
1
x1si x < 1
2
. On peut encadrer hpar s1
hs2continues, de sorte que 1
R
0
s2s1. Par le théorème de Weierstrass, on
peut uniformément approcher s1(resp. s2+) par un polynôme Q1R[X]
(resp. Q2) à près sur [0,1]. Il en découle Q1hQ2et 1
R
0
Q5avec
Q=Q2Q10. Soient donc Pi=X+X(1 X)QiX·R[X]Φ:
on a alors l’encadrement P1X+X(1 X)h=gP2, et la majoration
1
R
0
P2P1=1
R
0
x(1 x)Q(x)dx 5. Comme an=O1
n, on a M > 0telle
que :
|Sg(x)SP1(x)| ≤ P
nN
|an|(g(xn)P1(xn))
P
nN
|an|(P2(xn)P1(xn))
MP
nN
P2(xn)P1(xn)
n
MP
nN
1xn
nxnQ(xn)
MP
nN
(1 x)xnQ(xn)
car (1 xn) = (1x) (1 + x+· · · +xn1)n(1x). Par le premier lemme,
on en déduit que le terme de droite converge vers M
1
R
0
Q5M:
|Sg(x)| ≤ |SP1(x)|+ 5M+o
x1
(1) .
d’où lim
x1
|Sg(x)| ≤ 5Mpour  > 0arbitrairement petit, Sg(x)
x1
0.
Autrement dit, gΦ, ce qui conclut la preuve.
Remarque 1. Quitte à remplacer Fpar FF(1)dans la preuve précé-
dente, le résultat est plus généralement vrai dès que Fconverge pour x1.
Avec des arguments de convergence monotone pour les (an)positifs, on peut
plus généralement supposer (nan)minorée, plutôt que bornée comme ici.
C’est ce résultat plus général qui est connu sous le nom de théorème
Taubérien fort de Hardy-Littlewood.
Application 1. Soit F(x) = ln(1 + x) =
P
n=1
(x)n
n. On a F(1) = ln(2),
donc la somme alternée
P
n=1
(1)n
nconverge vers ln(2).
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