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Séries numériques : résumé
Les séries alternées
Définition. On appelle série alternée toute série dont le terme général unest de la forme un= (−1)nvnou
un= −(−1)nvnoù la suite (vn)n∈Nest une suite réelle
•décroissante,
•convergente et de limite nulle.
Théorème. (critère spécial aux séries alternées)
Toute série alternée converge.
On obtient avec cette section, les premiers exemples de suites équivalentes telles que les séries correspondantes soient de
natures différentes. Par exemple, (−1)n
√n+ (−1)n−1∼
n→+∞
(−1)n
√nmais X(−1)n √nconverge et X(−1)n √n+ (−1)n−1diverge
car (−1)n
√n+ (−1)n−1n→+∞
(−1)n
√n+1
n+O1
n√n.
Théorème. Soit (un)n∈Nune suite réelle alternée en signe dont la valeur absolue tend vers 0en décroissant.
On pose S=
+∞
X
k=0
uket ∀n∈N,Sn=
n
X
k=0
uket Rn=
+∞
X
k=n+1
uk. Alors,
•sgn (S) = sgn (u0)et ∀n∈N, sgn (Sn) = sgn (u0)et ∀n∈N, sgn (Rn) = sgn (un+1).
•|S|6|u0|et ∀n∈N,|Sn|6|u0|et ∀n∈N,|Rn|6|un+1|.
S,Snet Rnsont du signe de leur premier terme et en valeur absolue majorés par la valeur absolue de leur premier terme.
La règle de d’Alembert
Théorème. (règle de d’Alembert)
Soit (un)n∈Nune suite de nombres complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.
On suppose que 
un+1
un
admet pour limite un certain ℓélément de [0, +∞]quand ntend vers +∞. Alors
•Si 06ℓ < 1, la série de terme général unconverge absolument ;
•Si ℓ > 1, la série de terme général undiverge grossièrement ;
•Si ℓ=1, on ne peut rien en conclure.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
Définition. Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de nombres complexes.
Le produit de Cauchy des séries de termes généraux respectifs unet vnest la série de terme général wnoù
∀n∈N, wn=
n
X
k=0
ukvn−k.
Théorème. (produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes)
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de nombres complexes.
Si les séries de termes généraux respectifs unet vnconvergent absolument, alors le produit de Cauchy de ces deux
séries converge et a pour somme +∞
X
n=0
un!× +∞
X
n=0
vn!. Plus explicitement,
+∞
X
n=0 n
X
k=0
ukvn−k!= +∞
X
n=0
un!× +∞
X
n=0
vn!.
Attention, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série convergente mais le produit de
Cauchy de deux séries convergentes n’est pas nécessairement une série convergente. Par exemple, on peut montrer que
le produit de Cauchy de la série de terme général (−1)n−1
√npar elle-même est une série divergente.
c
Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

Théorèmes de sommation des relations de comparaison
Théorème. Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de réels strictement positifs. On suppose que un=
n→+∞
o(vn)
(resp. un=
n→+∞
O(vn)).
•Si la série de terme général vnconverge alors la série de terme général unconverge et
+∞
X
k=n+1
uk=
n→+∞
o +∞
X
k=n+1
vk!(resp.
+∞
X
k=n+1
uk=
n→+∞
O +∞
X
k=n+1
vk!).
•Si la série de terme général undiverge alors la série de terme général vndiverge et
n
X
k=0
uk=
n→+∞
o n
X
k=0
vk!(resp.
n
X
k=0
uk=
n→+∞
O n
X
k=0
vk!).
Théorème. Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de réels strictement positifs. On suppose que un∼
n→+∞
vn.
•Si la série de terme général unconverge alors la série de terme général vnconverge et
+∞
X
k=n+1
uk∼
n→+∞
+∞
X
k=n+1
vk.
•Si la série de terme général undiverge alors la série de terme général vndiverge et
n
X
k=0
uk∼
n→+∞
n
X
k=0
vk.
Dans la pratique, pour donner des équivalents de restes de séries à termes positifs convergentes ou de sommes partielles
de séries à termes positifs divergentes, on dispose de deux techniques : les théorèmes de sommations des relations de
comparaison ou bien un encadrement par des intégrales. Par exemple, si on veut un équivalent de Rn=
+∞
X
k=n+1
1
k2, on
peut ou bien démarrer avec 1
k2∼1 k(k−1)puis Rn∼
+∞
X
k=n+1
1
k(k−1)=
+∞
X
k=n+11
k−1−1 k=1 n, ou bien démarrer avec
Zk+1
k
dx
x261 k26Zk
k−1
dx
x2puis Z+∞
n+1
dx
x26Rn6Z+∞
n
dx
x2...
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Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr