0.1 Espace de probabilité - Page personnelle d`Alexandre MIZRAHI

0.1. ESPACE DE PROBABILITÉ 1
0.1 Espace de probabilité
Exercice 1 La population d’une ville compte 48% d’hommes et 52% de femmes. Le 1er Janvier 2002 5% des
hommes et 1% des femmes avaient la grippe.
a) Quelle est la proportion de personnes dans la ville atteinte de la grippe le 1/01/02.
b) On modélise cela à l’aide d’un modèle probabiliste, Hreprésente les hommes, Fles femmes et Gles
grippés. Comment écrire les hypothèses à l’aide de probabilités.
c) On tire une personne au hasard dans cette ville on remarque qu’elle a la grippe, quelle est la probabilité que
cette personne soit un homme?
Exercice 2 4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 32 cartes. On distribue au hasard, une main de 5 cartes
à chaque joueur.
a) Quelle est le nombre de mains différentes qu’un joueur peu recevoir?
b) Quelle est la probabilité qu’un joueur donné reçoive un carré?
c) Quelle est la probabilité pour qu’un joueur donné reçoive une "quinte floche" ( 5 cartes de même couleurs
consécutives.).
d) Quelle est la probabilité qu’un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as)
Exercice 3 Un ouvrier effectue un montage dans lequel entrent 3 composants identiques. Le montage est
mauvais s’il comporte au moins un composant défectueux.
a) Soit un ensemble de ncomposants dont un seul est défectueux.
a1) Calculer le nombre ade tirages différents possibles de 3 composants chacun.
a2) Déterminer le nombre bde tirages différents qui contiennent le composant défectueux.
a3) Déterminer n pour que b
a≤5%
b) On suppose maintenant qu’il y a deux composants défectueux dans un lot de n.
b1) Calculer le nombre ade tirages différents possibles de 3 composants chacun.
b2) Déterminer le nombre bde tirages différents qui contiennent au moins un composant défectueux.
Exercice 4 Dans une ville, il y a 3 centres de secours d’urgence. 5 malades appellent le même jour un centre
au téléphone après avoir choisi, au hasard, l’un des centres sur Minitel.
a) Modéliser ce problème.
b) Quelle est la probabilité que les 5 malades appellent le même centre?
c) Quelle est la probabilité que les 3 centres soient appelés?
Exercice 5 On dispose de 10 billes que l’on veut aligner, combien peut-on former de figures différentes, si
les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si:
i) les 10 billes sont de couleurs différentes.
ii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires.
iii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées.
Exercice 6 On choisit deux points xet yau hasard dans l’intervalle [0;1] quelle est la probabilité que la
somme de leur carré soit inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenter xen abscisse et yen ordonnée.
Exercice 7 On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la probabilité qu’ils
soient voisins?
Exercice 8 On jette 3 fois un dé quelle est la probabilité qu’au moins un trois ne sorte? Et si on le jette 6 fois?
12 fois?
Exercice 9 Combien de triangles différents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi 10 points (Ces
points n’étant pas alignés 3 par 3).

0.2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 2
Exercice 10 Si une personne sur 10 000 est centenaire, calculer la probabilité qu’il y ait au moins un cente-
naire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de 10 000 personnes.
Exercice 11 On note pnla probabilité que sur une suite de npiles ou faces, il y ait à un moment 3 piles de
suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l’on a la formule de
récurrence suivante:
pn=1
4+1 2pn−1+1 4pn−2
Donner une valeur approchée de p10
0.2 Variables aléatoires discrètes
Exercice 12 On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes. On
note Dla variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre deux amis dans la queue.
a) Déterminer P(D=k).
b) Pour quelle valeur de k,P(D=k)est-il maximum?
c) Déterminer l’espérance de D. On pourra utiliser les formules classiques suivantes:
n
X
k=1
k=1
2n(n+ 1)
n
X
k=1
k2=1
6n(n+ 1) (2 n+ 1)
Exercice 13 On jette deux dés , on note Xle résultat du 1er et Yle résultat du 2ème. Z= max(X;Y).
Déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance.
Exercice 14 La fabrication d’un objet dans une usine s’effectue avec 4% de défauts . On note Nle nombre
d’objets défectueux dans un lot de 35 objets, déterminer la loi de N. Calculer P(N= 0),P(N= 1), et
P(N= 2).
Exercice 15 On suppose que le nombre d’appels téléphoniques arrivant à un standard pendant un intervalle
d’une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20 (P(N=k) = e−20 20k
k!).
a) Calculer le nombre moyen d’appels reçus en une heure.
b) Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure.
c) Un second standard reçoit en moyenne 50 appels par heure. Comment peut-on modéliser ceci à l’aide d’une
loi de Poisson? Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure.
Exercice 16 On jette un dé, et on note Nle nombre de jets nécessaire pour qu’un 6 apparaisse.
a) Déterminer la loi de N.
b) Calculer E(N)en utilisant la série entière suivante:
∞
X
n=1
nxn−1=1
(1 −x)2∀x∈]−1; 1[
Exercice 17 Une certaine pièce A d’une machine tombe souvent en panne, elle est remplacée alors dans la
journée et on suppose qu’elle ne peut pas retomber en panne. Le coût d’un dépannage s’élève à xeuros et la
perte de production du à une panne coûte yeuros. On note pnla probabilité de bon fonctionnement le nème
jour. Si la machine fonctionne le nème jour la probabilité qu’elle fonctionne le (n+1)ème jour est 0.8, par contre
si la machine tombe en panne le nème jour la probabilité qu’elle fonctionne le (n+1)ème jour est 0.9.
a) Exprimer pn+1 en fonction de pn. En déduire pnen fonction de net p1. Déterminer la limite de pn.
b) On note Xnla variable aléatoire correspondant au coût du à la pièce A le nème jour. Calculer son espérance.
c) Comparer cela à la stratégie consistant à changer un matin sur deux la pièce A.

0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 3
Exercice 18 Soient b,r ∈N∗et c∈N. Une urne contient bboules blanches et rboules rouges. On effectue
des tirages successifs de la manière suivante: une boule étant tirée, on la remet dans l’urne avec en plus c
boules de la même couleur. On note Xnla variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième
tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera
p=r
b+rq=b b+r
1) Déterminer la loi du couple (X1,X2)En déduire la loi de X2la comparer à celle de X1.
2) Trouver les lois conditionnelles de X1sachant X2et de X2sachant X1.
3) Déterminer la loi de la variable S2=X1+X2.
4) Déterminer la loi de X3sachant que S2=kpour k∈N.
5) Déduire du 4) que la loi de X3est la même que celle de X1.
6) Exprimer la loi de Xn+1 à l’aide de E(Sn).
7) Montrer que toutes les variables aléatoires Xnont même loi de probabilité.
Exercice 19 Montrer que la seule loi sur Nayant la propriété suivante:
∀l,p ∈NP(X > l +p|X > l) = P(X > p)
est la loi géométrique (P(X=k) = p(1 −p)k).
Exercice 20 Soient p∈]0; 1[;Xune variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ
P(X=k) = e−λλk
k!
et Ytelle que
P(Y=k|X=n) = Ck
npk(1 −p)n−k
Déterminer la loi de Y.
Exercice 21 Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts: Si le dé rouge
a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est
égal à la somme des verts il lui verse 10 euros, dans les autres cas c’est le premier joueur qui verse 1 euro au
deuxième.
a) Modéliser les gains algébriques du premier joueur.
b) Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne.
c) Quel est le "gain moyen" du premier joueur.
d) Faut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur 2.
0.3 Variables aléatoires à densité
Exercice 22 Soit Xune variable aléatoire de densité fXavec
fX(t) = 1 + tsi t∈[−1; 0], α si t∈[0,2] et 0sinon
a) Représenter la densité de X.
b) Déterminer α.
c) Calculer et représenter la fonction de répartition de X.
d) Calculer P(X > 1
2)puis E(X).
e) Calculer la fonction de répartition FYde la variable aléatoire Y=X2, en déduire sa densité fY.
f) Représenter les deux fonctions fYet FY.
g) Calculer E(Y)d’une part à l’aide de fYd’autre part à l’aide de fX.

0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 4
Exercice 23 1.: La densité de probabilité fXd’une V.A. Xest donnée par
fX(t) = c
1 + t2
a) Représenter fX.
b) Déterminer c.
d) Calculer P(X > √3).
e) Calculer E(X).
f) Déterminer htel que P(X < h) = 0.1.
Exercice 24 Soit Xune variable aléatoire de densité fX:
fX(t) = Kt2si t∈[−α;α],0sinon
a) Représenter la densité de X.
b) Déterminer Ken fonction de α.
c) Déterminer puis représenter la fonction de répartition de X FX.
d) Calculer P(X > α
2)puis E(X).
Exercice 25 On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X1et X2de paramètres a1
et a2fX1(t) = a1e−a1tsi t > 0, 0 sinon. On pose Y= min(X1;X2). Déterminer la fonction de répartition
de Y, en déduire sa densité, puis son espérance.
Exercice 26 Soit Xune V.A. uniforme sur [-1,2] et Y=X2, déterminer la fonction de répartition de Y, en
déduire sa densité puis E(X); E(Y); V ar(Y)
Exercice 27 Soit Xune V.A. Gaussienne de paramètres (2; 4)
a) Calculer P(X > 1);P(|X|<4);P(|X|<4|X > 2);
b) Déterminer αle plus grand possible tel que P(X−2> α)>10−2
c) Quelle est la loi de X−1
2.
Exercice 28 L’éclairage d’une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie moyenne est 1000
heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d’écart type σ= 300 N(1000; 300)
a) Quel est le nombre de lampes hors d’usage au bout de 700 H? de 1500 H? de 3000 H?
b) Au bout de combien d’heure 5% sont hors d’usage?
c) D’autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loi N(1100; 400). Quelles ampoules faut-il choisir si
l’on veut:
i) Que la durée de vie moyenne soit maximale
ii) Que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale.
Exercice 29 Les notes d’un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre(8,5; 4).
a) Quelle est la proportion d’étudiants ayant la moyenne.
b) On veut améliorer les notes à l’aide d’un transformation affine Y=aX +b. Déterminer a,b pour que 50%
des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8.
c) Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15.
Exercice 30 Si Zsuit une loi normale on dit que X=eZsuit une loi log-normale, de mêmes paramètres que
Z
a) Déterminer E(X)et V ar(X)en fonction de E(Z)et varZ.
b) calculer P(2 < X < 4) sachant que E(X) = 2 et V arX = 2
c) On suppose que la distribution des revenus Rd’une population suit une loi log-normale généralisée c’est à
dire R=a+X(X log normale, calculer les paramètres de R: (a;m;σ)sachant que la moitié gagne moins
de 5000 francs , 10% gagnent plus de 9000 francs et 10% gagne moins de 1000 francs.

0.4. COUPLES, SUITES ET CONVERGENCE DE VARIABLES ALÉATOIRES 5
Exercice 31 Un des cadres du service des études économiques d’un constructeur automobile a prévu qu’il y
aura 1550 000 voitures particulières immatriculées en France en 1998. Afin d’évaluer les caractéristique de
l’erreur, il fait l’hypothèse que l’écart entre prévision et réalisation ∆est une V.A. de loi:
g(u) = k(v)
√2πe−u2si u∈[−v;v]et 0sinon
a) Déterminer k(v);F∆;E(∆) et V ar(∆)
b) Pour v= 0,1. Donner un intervalle dans lequel le nombre de voitures immatriculées en 98 a 90% de chance
de se trouver.
Exercice 32 On suppose que le nombre Nde vis se trouvant dans une mesure d’un litre suit une loi normale
N(860,11).
a) Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de 850 vis dans un litre? moins de 800?
b) Calculer P(N > 860),P (N≥861),P (N≥860,5) comment peut-on interpréter ces résultats en termes
de vis? Conclusion.
c) Ce modèle permet-il de dire quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 850 vis dans un litre? Comment
peut on faire?
0.4 Couples, suites et convergence de variables aléatoires
Exercice 33 Une urne contient Njetons numérotés de 1 à N. On tire dans cette urne p jetons au hasard,
successivement et sans remise. On appelle Xila V.A. qui au cours d’une succession de tirages modélise le
numéro du jeton extrait au tirage de rang i.
a) Déterminer la loi de probabilité de Xi.
b) Les variables aléatoires Xiet Xjsont-elles indépendantes?
c) On pose S=X1+X2+... +Xp.
c1) Calculer E(Xi)puis E(S).
c2) Calculer V ar(Xi),Cov(Xi;Xj)puis V ar(S).
Exercice 34 Soit (X;Y)un couple de V.A. de loi
f(x;y) = 1
2πσ1σ2
e−(x−µ1)2
2σ1+(x−µ2)2 2σ2
a) Déterminer les lois marginales de Xet Y.
b) Que peut-on en déduire?
c) Déterminer la loi de X+Y.
Exercice 35 1. On jette 10 pièces , non truquées, soit Xle nombre de pile, déterminer la loi de X.
Tracer la fonction caractéristique de Xpuis comparer là à la fonction caractéristique de l’approximation
centrale.
Exercice 36 Dans une société, les employés d’un bâtiment A ont souvent besoin d’appeler au téléphone un
bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l’on constate que chacun d’entre eux veut téléphoner en
moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments
pour qu’un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes
soit occupées.
Exercice 37 On suppose que la durée de vie d’une ampoule électrique est une V.A. de loi exponentielle de
paramètre λ= 10h−1. Si l’on remplace une ampoule dès qu’elle " claque ". Quel est la probabilité qu’au
bout de 100 000 heures l’ampoule en fonctionnement soit au moins la dixième.