1 S Les variables aléatoires

1ère S
Tableau
Les variables aléatoires
I. Exemple
1°) Expérience aléatoire
On lance un dé non truqué.
On note le numéro de la face supérieure.
xi
12
–6
0
P  X  xi 
1
6
1
6
2
3
Total =1
5°) Interprétation
Ce tableau définit une loi de probabilité P’ sur l’ensemble '  12 ;  6 ; 0 appelée « loi de probabilité » de
X.
2°) Règle du jeu
 Si le numéro obtenu est égal à 1, on gagne 12 €.
 Si le numéro obtenu est égal à 2, on perd 6 €.
 Si le numéro obtenu est égal à 3, 4, 5 ou 6, on ne gagne ni ne perd rien.
P)
3°) Notations
On note X le gain algébrique du joueur en €.
X est un nombre réel qui peut prendre les 3 valeurs :
1
2
3
4 
5
 12
 6
0
(’P’)

6
x1  12
x2  6
II. Définition. Vocabulaire. Conséquence
x3  0
1°) Définition
4°) Calculs de probabilités
P est un espace probabilisé.
Une variable aléatoire réelle est une fonction X définie sur l’univers  qui à chaque résultat possible associe
un réel.
Loi d’équiprobabilité P.
On pose les calculs.
X :
P  X  x1   P  X  12 
 P "obtenir le numéro 1"
2°) Remarque importante
1

6
Attention
Dans ce chapitre, nous ne nous intéresserons qu’aux variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs x1 ,
x2 , … xn .
P  X  x2   P  X  6 
 P "obtenir le numéro 2"

(« variables aléatoires discrètes »).
1
6
3°) Evénements élémentaires associés
P  X  x3   P  X  0 
Pour chaque valeur xi , l’événement Ei : « X prend la valeur xi » est notée  X  xi  (événement élémentaire
 P "obtenir le numéro 3, 4, 5 ou 6"
associé à xi ).
4

6
2

3
4°) Propriété
X  x1
X  x2

X  xn
1
2
 On pose les calculs
Les événements  X  x1  ,  X  x 2  …. constituent un système complet d’événements de .
P  X  x1   ...
P  X  x2   ...
III. Loi de probabilité
Préciser s’il y a équiprobabilité avant.
1°) Définition
En associant à chaque valeur xi , la probabilité p'i  P  X  xi  , on définit une loi de probabilité P’ sur
 On remplit un tableau (avec les valeurs)
l’ensemble '   x1 , x2 , ..., xn  des valeurs prises par X.
Schéma
xi
…
P  X  xi 
…
Total=1
6°) Représentation graphique (parfois utilisée)
 x1
 x2
 xn
X
Diagramme en bâtons : on suppose que les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant.
’

p '2


p '1
2°) Présentation
p '3
Valeurs possibles de X
x1
x2
…
xn
Probabilités
p'i  P  X  xi 
p'1
p'2
…
p'n
Total=1
x1
x3
x2
3°) Justification
Ce diagramme permet de visualiser la loi de probabilité.
 i  1, 2, ..., n 0  p'i  1
IV. Indicateurs d’une variable aléatoire discrète
 Les événements  X  x1  ,  X  x2  ,…,  X  xn  forment un système complet d’événements de  donc la
(Mêmes notations qu’au III)
somme de leurs probabilités est égale à P     1 soit p'1  p' 2  ...  p'n  1 .
1°) Espérance mathématique
4°) Notation
i n

i n
  x  P  X  x 
Cette loi de probabilité est notée P’ ou plutôt PX (loi de probabilité de la variable aléatoire X ou loi image
de P par X).
EX 
5°) Méthode pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X
(On peut repasser en rouge les i en indice et dans la somme).
 On détermine l’ensemble des valeurs prises par X.
Phrase de rédaction-type :
« X prend les valeurs x1  ... , x2  ... , … ».
2°) Variance
xi  P  X  xi  ou E  X  
i 1
i
i
i 1
i n
V X
2
  x  E  X   P  X  x 
i
i
i 1
V X0
3
4
3°) Ecart-type
 Ecart-type
X   V  X 
 X  V  X
 29
4°) Formule de Kœnig-Huygens (démontrée au V)

V X 


i n
 x 
2
i
i 1
6°) Vocabulaire

2
 P  X  x i     E  X  


Pour un jeu, on note souvent X le gain algébrique du joueur.
 Lorsque E  X   0 , on dit que le jeu est honnête ou équitable.
5°) Exemple (reprise de l’exemple du I)
 Lorsque E  X   0 , on dit que le jeu est favorable (ou à l’avantage) du joueur.
xi
12
–6
0
P  X  xi 
1
6
1
6
4
6
 Lorsque E  X   0 , on dit que le jeu est défavorable au joueur.
7°) Remarque
Total =1
Pour calculer la variance, il est préférable d’utiliser la formule de Kœnig-Huygens.
 Espérance mathématique
V. Appendice : démonstration de la formule de Kœnig-Huygens
i 3
EX  
 x P X  x 
i
i
xi
x1
x2
P  X  xi 
p'1
p'2
…
xn
i 1
1
1
4
 12    6    0 
6
6
6
1
p'n
Total=1
i n
EX  
 x  p'
i
(1)
i
i 1
Lorsque l’on répète l’expérience aléatoire un très grand nombre de fois, le gain moyen est égal à 1 €.
i n
 Variance
V X
2
  x  E  X   p '
i
i
(2)
i 1
Avec la définition

Démontrons que : V  X   


i 3
V X
2
  x  E  X   P  X  x 
i
i
i n

2
  x   p '    E  X  .
2
i
i
i 1
i 1
2
1
2
1
2
4
 12  1    6  1    0  1 
6
6
6
 29
(2) donne (identité remarquable) :
i n
V X
Avec la formule de Kœnig-Huygens

V X 


i 3

  x   P  X  x    E  X 
2
i
 x
2
i
2

 2 xi E  X   E  X   p 'i
i 1
On sépare la somme en 3 sommes.
2
i
 i n 2
  in
  in

2
VX
xi  p 'i   
2 xi  p 'i  E  X    
p 'i  E  X  

 
 


i 1
i 1
i 1

 

 


i 1

1
2
1
1
 12    6    02   12
6
6
6
 29
2

S1

S2
S3
On ne touche pas à S1.
En revanche, dans S2, on sort 2 et E(X) qui sont des constantes.
5
6
2
Quant à S3, on sort E  X  qui est une constante.

V X 


i n
x
i
i 1
2
in

 i n


2 
 p 'i   2 E  X   
xi  p 'i   E  X   
p 'i 





i 1
i 1









E X 

V X



V X


i n

i 1
i n

i 1
1

2
2
xi 2  p 'i   2 E  X   E  X 



2
xi 2  p 'i   E  X 


7