Algèbre bilinéaire (1)

MP*1
2016/2017
Algèbre bilinéaire (1)
Produits scalaires, projections orthogonales
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel euclidien, et F1 , . . . , Fp des sous-espaces vectoriels de E dont
l’intersection est réduite à {0}. Montrer qu’il existe des réels a et b vérifiant 0 < a < b et
akxk ≤
p
X
d(x, Fi ) ≤ bkxk pour x ∈ E.
i=1
Exercice 2. Soit E un espace préhilbertien réel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
1. Établir que F ⊥ ∩ G⊥ = (F + G)⊥ .
2. Montrer que F ⊥ + G⊥ ⊂ (F ∩ G)⊥ , et que si E est euclidien, cette inclusion est une égalité.
3. RDans cette question, on suppose que E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire défini par hf, gi =
1
G) le sous-espace
vectoriel de E formé des éléments de E
0 f (t)g(t)dt. On note F (resp.
1
1
identiquement nuls sur 0, 2 (resp. 2 , 1 ).
(a) Déterminer F ⊥ et G⊥ .
(b) A-t-on F ⊥ + G⊥ = (F ∩ G)⊥ ?
Exercice 3. Soit E un espace préhilbertien réel, x et y deux vecteurs distincts de E, de norme ≤ 1.
Établir que
ktx + (1 − t)yk < 1 pour tout t ∈]0, 1[.
Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 4. Soit A ∈ Mn (R). Déterminer


 X

2
inf
(aij − mij ) , M ∈ Mn (R) symétrique réelle .


1≤i,j≤n
Exercice 5. L’espace Rn est muni de son produit scalaire canonique. On note (ei )1≤i≤n sa base
canonique. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn de dimension k. On pose
a(V ) = max d(ei , V ).
1≤i≤n
1. Montrer que
n
X
d(ei , V )2 = n − k.
i=1
r
n−k
si et seulement si tous les ei sont équidistants de V .
n
3. On suppose V stable par l’endomorphisme π de Rn défini par
2. Montrer que a(V ) =
π(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x2 , x3 , . . . , xn , x1 ).
r
n−k
.
n
4. Montrer que pour tout k ∈ [[0, n]], il existe un sous-espace vectoriel V de Rn de dimension k
vérifiant les conditions de la question 3.
Montrer que a(V ) =
1
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 1, et (u1 , . . . , up ) une famille
obtusangle d’éléments de E, c’est-à-dire vérifiant la condition
hui , uj i < 0 si 1 ≤ i 6= j ≤ p.
1. On pose H = u⊥
1 , et on note v2 , . . . , vp les projections orthogonales de u2 , . . . , up sur H. Montrer
que la famille (v2 , . . . , vp ) est obtusangle.
2. Quel est le cardinal maximal d’une famille obtusangle de vecteurs de E ?
Exercice 7. Soit E un espace vectoriel euclidien, et A une partie de la sphère unité de E telle qu’il
existe un réel λ < 1 tel que
hx, yi ≤ λ pour x, y ∈ A distincts.
Montrer que A est finie.
Exercice 8. Soit E un espace préhilbertien réel, u1 , . . . , un des éléments de E et C ∈ R∗+ . On suppose
que
n
X
εi ui ≤ C pour tout (ε1 , . . . , εn ) ∈ {−1, 1}n .
i=1
Pn
Montrer que i=1 kui k2 ≤ C 2 .
Exercice 9. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2. On note S sa sphère unité.
Déterminer l’image de l’application
f : S 3 → R, (u, v, w) 7→ hu, vi + hv, wi + hw, ui.
Exercice 10. L’espace Rn est muni d’une norme k · k. On considère l’application
(
x si kxk ≤ 1
x
p : Rn → Rn , x 7→
sinon.
kxk
1. Montrer que l’application p est lipschitzienne.
2. Dans le cas où k · k est euclidienne, montrer que p est 1-lipschitzienne.
Exercice 11. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2, et f : E → E continue telle
que, pour tout (x, y) ∈ E 2 ,
hx, yi = 0 ⇒ f (x + y) = f (x) + f (y).
1. On suppose f paire.
(a) Montrer que kxk = kyk ⇒ f (x) = f (y).
(b) Montrer qu’il existe e ∈ E tel que
f (x) = kxk2 e pour x ∈ E.
2. On suppose f impaire. Montrer que f est linéaire.
3. Étudier le cas général.
Exercice 12. Soit E un espace vectoriel euclidien.
1. Soit p un projecteur de E. Montrer que p est orthogonal si et seulement si kpk ≤ 1.
2. Montrer que l’ensemble des projecteurs orthogonaux de E est une partie compacte de L(E).
Qu’en est-il de l’ensemble des projecteurs de E ?
Exercice 13. L’espace Rd est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit V1 et V2 deux sousespaces vectoriels de Rd , p1 la projection orthogonale sur V1 et p2 la projection orthogonale sur V2 . On
fixe a ∈ Rd , et on considère la suite (un )n≥0 définie par
u0 = a, u2n+1 = p1 (u2n ) et u2n+2 = p2 (u2n+1 ) pour n ≥ 0.
Étudier la convergence de la suite (un )n≥0 .
2
Exercice 14. Soit E = C 1 ([0, 1], R). Pour (f, g) ∈ E 2 , on pose
1
Z
hf, gi =
f g + f 0g0.
0
1. Montrer que h·, ·i est un produit scalaire sur E.
2. On pose V = {f ∈ E/f (0) = f (1) = 0} et W = {f ∈ E/f 00 = f }. Montrer que V et W sont
supplémentaires dans E et orthogonaux. Expliciter la projection orthogonale sur W .
3. Pour (α, β) ∈ R2 , on pose Eα,β = {f ∈ E/f (0) = α et f (1) = β}. Déterminer
Z
1
inf
f ∈Eα,β
(f (x)2 + f 0 (x)2 )dx.
0
Exercice 15. Soit A ∈ Mn,p (R), B ∈ Mn,1 (R) et a ∈ L(Rp , Rn ) canoniquement associé à A.
1. Montrer qu’il existe X0 ∈ Mp,1 (R) tel que kAX0 − Bk = inf {kAX − Bk, X ∈ Mp,1 (R)}. Un tel
X0 est appelé une pseudo-solution du système linéaire
AX = B.
(S)
2. Montrer que si a est injectif, X0 est unique.
3. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) X ∈ Mp,1 (R) est une pseudo-solution de (S),
(b) Pour tout Y ∈ Mp,1 (R), hAY, AX − Bi = 0,
(c) tAAX = tAB.
Exercice 16. Soit E un espace préhilbertien réel et T : E → E une application linéaire continue. On
suppose qu’il existe ε > 0 tel que, pour toute application linéaire continue et de rang fini S : E → E,
il existe x ∈ E \ {0} tel que kT x − Sxk ≥ εkxk. Montrer qu’il existe une suite orthonormée (en )n≥0 de
vecteurs de E telle que kT en k ≥ ε pour n ≥ 0.
Exercice 17.
1. On considère la suite de matrices (W2k )k≥0 définie par
W1 = [1] ∈ M1 (R) et W2k+1
1
=√
2
W2k
W2k
W2k
−W2k
,
et on pose I = {2k , k ∈ N∗ }. Vérifier que, si n ∈ I, alors la matrice Wn est une matrice de
symétrie orthogonale, de trace nulle, et à coefficients tous égaux en module à n−1/2 .
2. On fixe n ∈ I, et on note `n1 l’espace vectoriel Rn muni de la norme k · k1 . On pose Pn =
(c’est une projection orthogonale) et En = Im Pn .
In +Wn
2
(a) Calculer la dimension de En .
(b) Montrer que toute projection P sur En (parallèlement à un supplémentaire) vérifie
√
n
kP ksub ≥
.
2
On pourra commencer par calculer tr (Wn P ).
3. On note à présent X l’espace vectoriel des suites x = (xn )n≥1 , où xn ∈ `n1 pour n ≥ 1, vérifiant
kxk :=
∞
X
kxn k1 < +∞.
n=1
On note également E le sous-espace vectoriel des suites x ∈ X telles que xn ∈ En pour n ≥ 1.
(a) Montrer que E est un sous-espace fermé de X.
3
(b) Montrer qu’il n’existe aucune projection continue P : X → X d’image E. On peut en déduire
que E ne possède aucun supplémentaire fermé dans X.
Exercice 18.
1. Pour (P, Q) ∈ R[X]2 , on pose
1
Z
hP, Qi =
P (t)Q(t)dt.
0
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
2. Pour n ∈ N∗ , on pose
dn = inf

Z

1
1−
!2
n
X
0
xi ti
dt, (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn


.

i=1
Montrer que dn est un minimum, atteint en un unique n-uplet noté (a1 , . . . , an ) dans la suite.
On pose
n
X
1
ai
Fn =
−
.
X +1
X +i+1
i=1
3. Montrer que Fn (j) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n, puis expliciter Fn .
4. En déduire la valeur de dn .
P
Exercice 19. Soit
an z n une série entière de rayon de convergence 1 etP
de somme f . On suppose la
fonction f bornée dans le disque unité ouvert de C. Montrer que la série
|an |2 est convergente.
Exercice 20. On munit l’espace vectoriel E = C([0, 1], R) de sa norme euclidienne usuelle k · k2 , et
on considère l’opérateur
Z x
T : E → E, f 7→ T f , où T f (x) =
f (t)dt pour f ∈ E et x ∈ [0, 1].
0
1. Montrer que T est continu.
2. Soit (fn )n≥0 une suite orthonormale de E.
(a) Établir, pour N ≥ 0 et x ∈ [0, 1], la majoration
N Z
X
2
x
fn (t)dt
≤ x.
0
n=0
(b) En déduire que kT fn k2 → 0 quand n → +∞.
Exercice 21. On munit l’espace vectoriel E = C([0, 1], R) de son produit scalaire usuel, défini par
1
Z
hf, gi =
f (t)g(t)dt
0
et de la norme k · k2 associée.
√
√
1. Pour t ∈ [0, 1], on pose c0 (t) = 1, et cn (t) = 2 cos(2πnt) et sn (t) = 2 sin(2πnt) pour n ≥ 1.
Montrer que les cn et sn forment une suite orthonormale et totale de E. On pourra expliquer
pourquoi il suffit d’approcher les éléments f de E tels que f (0) = f (1), et prolonger une telle
fonction f en une telle fonction 1-périodique.
√
2. Pour t ∈ [0, 1], on pose c0 (t) = 1 et cn (t) = 2 cos(πnt) pour n ≥ 1. Montrer que (cn )n≥0 est
une suite orthonormale et totale de E. On pourra prolonger un élément arbitraire de E en une
fonction paire et 2-périodique.
3. On pose enfin φn (t) = cos (2n + 1) π2 t pour n ∈ N et t ∈ [0, 1]. Montrer que (φn )n≥0 est une
suite totale et orthonormale de E. On pourra utiliser des prolongements encore plus habiles.
4
Exercice 22 (Polynômes de Laguerre). On pose w(x) = e−x pour x ∈ R+ , et on note L2w l’ensemble
des fonctions continues f : R+ → R telles que la fonction wf 2 soit intégrable.
1. Vérifier que L2w est un espace vectoriel, et que l’on définit un produit scalaire sur L2w en posant
Z +∞
hf, gi =
w(x)f (x)g(x)dx pour f, g ∈ L2w .
0
On note k · kw la norme euclidienne associée.
2. Pour n ≥ 0, on définit la fonction
ex dn −x n
(e x ).
·
n! dxn
Vérifier que Ln est un polynôme de degré n, puis que (Ln )n≥0 est une famille orthonormale de
L2w .
3. Pour tout a ∈ R, on définit la fonction
Ln : R+ → R, x 7→
fa : R+ → R, x 7→ e−ax .
À quelle condition la fonction fa est-elle élément de L2w ? Dans ce cas, est-elle élément de
l’adhérence de R[X] dans (L2w , k · kw ) ?
4. On considère l’espace vectoriel F = C0 (R+ , R) des fonctions continues de R+ dans R tendant
vers 0 en +∞. Montrer que la famille (fn )n≥1 est totale dans (F, k · k∞ ). On pourra faire un
changement de variable.
5. Montrer que la suite (fn )n≥1 est totale dans (L2w , k · kw ). En déduire qu’il en est de même de
(Ln )n≥0 .
Exercice 23 (Opérateur de Volterra). On note E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1]
vers R, muni du produit scalaire
Z 1
hf, gi =
f (t)g(t)dt
0
et de la norme k · k2 associée. On considère l’opérateur de Volterra
Z x
T : E → E, f 7→ T f , où T f (x) =
f (t)dt.
0
1. Montrer que T est un endomorphisme continu de E.
2. Trouver un endomorphisme T ∗ de E vérifiant
hT f, gi = hf, T ∗ gi pour f, g ∈ E.
3. Déterminer les éléments propres de T ∗ T , et expliciter une suite orthonormale totale de E formée
de vecteurs propres de T ∗ T . On pourra se référer à l’exercice 21.
4. En déduire la norme subordonnée de T .
Exercice 24. Soit n un entier naturel fixé. On note
des fonctions de [0, 1[ vers R
n l’ensemble
k Hk+1
constantes sur chaque intervalle dyadique de la forme 2n , 2n pour k ∈ [[0, 2n −1]]. On note également
E l’ensemble des fonctions de [0, 1[ vers R qui sont continues par morceaux, de carré intégrable, et
continues à droite.
1. Représenter les intervalles dyadiques pour n = 2 et n = 3 sur une même droite.
2. Montrer que E est un espace vectoriel et que Hn en est un sous-espace vectoriel.
3. Montrer qu’on définit un produit scalaire sur E en posant
Z 1
hf, gi =
f (t)g(t)dt.
0
On munit désormais E de la structure préhilbertienne associée à ce produit scalaire.
S
4. Montrer que n∈N Hn est dense dans E.
5. Donner une base orthonormée de Hn .
6. On note Pn la projection orthogonale sur Hn . Montrer que, si f ∈ E, alors Pn (f ) → f quand
n → +∞.
5