Algèbre bilinéaire (1)

MP*1 2016/2017
Algèbre bilinéaire (1)
Produits scalaires, projections orthogonales
Exercice 1. Soit Eun espace vectoriel euclidien, et F1, . . . , Fpdes sous-espaces vectoriels de Edont
l’intersection est réduite à {0}. Montrer qu’il existe des réels aet bvérifiant 0< a < b et
akxk ≤
p
X
i=1
d(x, Fi)≤bkxkpour x∈E.
Exercice 2. Soit Eun espace préhilbertien réel, Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
1. Établir que F⊥∩G⊥= (F+G)⊥.
2. Montrer que F⊥+G⊥⊂(F∩G)⊥, et que si Eest euclidien, cette inclusion est une égalité.
3. Dans cette question, on suppose que E=C([0,1],R)muni du produit scalaire défini par hf, gi=
R1
0f(t)g(t)dt. On note F(resp. G) le sous-espace vectoriel de Eformé des éléments de E
identiquement nuls sur 0,1
2(resp. 1 2,1).
(a) Déterminer F⊥et G⊥.
(b) A-t-on F⊥+G⊥= (F∩G)⊥?
Exercice 3. Soit Eun espace préhilbertien réel, xet ydeux vecteurs distincts de E, de norme ≤1.
Établir que
ktx + (1 −t)yk<1pour tout t∈]0,1[.
Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 4. Soit A∈Mn(R). Déterminer
inf 
X
1≤i,j≤n
(aij −mij)2, M ∈Mn(R)symétrique réelle .
Exercice 5. L’espace Rnest muni de son produit scalaire canonique. On note (ei)1≤i≤nsa base
canonique. Soit Vun sous-espace vectoriel de Rnde dimension k. On pose
a(V) = max
1≤i≤nd(ei, V ).
1. Montrer que n
X
i=1
d(ei, V )2=n−k.
2. Montrer que a(V) = rn−k
nsi et seulement si tous les eisont équidistants de V.
3. On suppose Vstable par l’endomorphisme πde Rndéfini par
π(x1, x2, . . . , xn) = (x2, x3, . . . , xn, x1).
Montrer que a(V) = rn−k
n.
4. Montrer que pour tout k∈[[0, n]], il existe un sous-espace vectoriel Vde Rnde dimension k
vérifiant les conditions de la question 3.
1

Exercice 6. Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n≥1, et (u1, . . . , up)une famille
obtusangle d’éléments de E, c’est-à-dire vérifiant la condition
hui, uji<0si 1≤i6=j≤p.
1. On pose H=u⊥
1, et on note v2, . . . , vples projections orthogonales de u2, . . . , upsur H. Montrer
que la famille (v2, . . . , vp)est obtusangle.
2. Quel est le cardinal maximal d’une famille obtusangle de vecteurs de E?
Exercice 7. Soit Eun espace vectoriel euclidien, et Aune partie de la sphère unité de Etelle qu’il
existe un réel λ < 1tel que
hx, yi ≤ λpour x, y ∈Adistincts.
Montrer que Aest finie.
Exercice 8. Soit Eun espace préhilbertien réel, u1, . . . , undes éléments de Eet C∈R∗
+. On suppose
que 
n
X
i=1
εiui
≤Cpour tout (ε1, . . . , εn)∈ {−1,1}n.
Montrer que Pn
i=1 kuik2≤C2.
Exercice 9. Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n≥2. On note Ssa sphère unité.
Déterminer l’image de l’application
f:S3→R,(u, v, w)7→ hu, vi+hv, wi+hw, ui.
Exercice 10. L’espace Rnest muni d’une norme k·k. On considère l’application
p:Rn→Rn, x 7→ (xsi kxk ≤ 1
x
kxksinon.
1. Montrer que l’application pest lipschitzienne.
2. Dans le cas où k·kest euclidienne, montrer que pest 1-lipschitzienne.
Exercice 11. Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n≥2,et f:E→Econtinue telle
que, pour tout (x, y)∈E2,
hx, yi= 0 ⇒f(x+y) = f(x) + f(y).
1. On suppose fpaire.
(a) Montrer que kxk=kyk ⇒ f(x) = f(y).
(b) Montrer qu’il existe e∈Etel que
f(x) = kxk2epour x∈E.
2. On suppose fimpaire. Montrer que fest linéaire.
3. Étudier le cas général.
Exercice 12. Soit Eun espace vectoriel euclidien.
1. Soit pun projecteur de E. Montrer que pest orthogonal si et seulement si kpk ≤ 1.
2. Montrer que l’ensemble des projecteurs orthogonaux de Eest une partie compacte de L(E).
Qu’en est-il de l’ensemble des projecteurs de E?
Exercice 13. L’espace Rdest muni de sa structure euclidienne canonique. Soit V1et V2deux sous-
espaces vectoriels de Rd,p1la projection orthogonale sur V1et p2la projection orthogonale sur V2. On
fixe a∈Rd, et on considère la suite (un)n≥0définie par
u0=a,u2n+1 =p1(u2n)et u2n+2 =p2(u2n+1)pour n≥0.
Étudier la convergence de la suite (un)n≥0.
2

Exercice 14. Soit E=C1([0,1],R). Pour (f, g)∈E2, on pose
hf, gi=Z1
0
fg +f0g0.
1. Montrer que h·,·i est un produit scalaire sur E.
2. On pose V={f∈E/f(0) = f(1) = 0}et W={f∈E/f 00 =f}. Montrer que Vet Wsont
supplémentaires dans Eet orthogonaux. Expliciter la projection orthogonale sur W.
3. Pour (α, β)∈R2, on pose Eα,β ={f∈E/f(0) = αet f(1) = β}. Déterminer
inf
f∈Eα,β Z1
0
(f(x)2+f0(x)2)dx.
Exercice 15. Soit A∈Mn,p(R),B∈Mn,1(R)et a∈L(Rp,Rn)canoniquement associé à A.
1. Montrer qu’il existe X0∈Mp,1(R)tel que kAX0−Bk= inf {kAX −Bk, X ∈Mp,1(R)}. Un tel
X0est appelé une pseudo-solution du système linéaire
AX =B. (S)
2. Montrer que si aest injectif, X0est unique.
3. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) X∈Mp,1(R)est une pseudo-solution de (S),
(b) Pour tout Y∈Mp,1(R),hAY, AX −Bi= 0,
(c) t AAX =t AB.
Exercice 16. Soit Eun espace préhilbertien réel et T:E→Eune application linéaire continue. On
suppose qu’il existe ε > 0tel que, pour toute application linéaire continue et de rang fini S:E→E,
il existe x∈E\{0}tel que kT x −Sxk ≥ εkxk. Montrer qu’il existe une suite orthonormée (en)n≥0de
vecteurs de Etelle que kT enk ≥ εpour n≥0.
Exercice 17.
1. On considère la suite de matrices (W2k)k≥0définie par
W1= [1] ∈M1(R)et W2k+1 =1
√2W2kW2k
W2k−W2k,
et on pose I={2k, k ∈N∗}. Vérifier que, si n∈I, alors la matrice Wnest une matrice de
symétrie orthogonale, de trace nulle, et à coefficients tous égaux en module à n−1/2.
2. On fixe n∈I, et on note `n
1l’espace vectoriel Rnmuni de la norme k·k1. On pose Pn=In+Wn
2
(c’est une projection orthogonale) et En=Im Pn.
(a) Calculer la dimension de En.
(b) Montrer que toute projection Psur En(parallèlement à un supplémentaire) vérifie
kPksub ≥√n
2.
On pourra commencer par calculer tr (WnP).
3. On note à présent Xl’espace vectoriel des suites x= (xn)n≥1, où xn∈`n
1pour n≥1, vérifiant
kxk:=
∞
X
n=1 kxnk1<+∞.
On note également Ele sous-espace vectoriel des suites x∈Xtelles que xn∈Enpour n≥1.
(a) Montrer que Eest un sous-espace fermé de X.
3

(b) Montrer qu’il n’existe aucune projection continue P:X→Xd’image E.On peut en déduire
que Ene possède aucun supplémentaire fermé dans X.
Exercice 18.
1. Pour (P, Q)∈R[X]2, on pose
hP, Qi=Z1
0
P(t)Q(t)dt.
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
2. Pour n∈N∗, on pose
dn= inf 
Z1
0 1−
n
X
i=1
xiti!2 dt, (x1, . . . , xn)∈Rn .
Montrer que dnest un minimum, atteint en un unique n-uplet noté (a1, . . . , an)dans la suite.
On pose
Fn=1
X+ 1 −
n
X
i=1
ai
X+i+ 1.
3. Montrer que Fn(j)=0pour 1≤j≤n, puis expliciter Fn.
4. En déduire la valeur de dn.
Exercice 19. Soit Panznune série entière de rayon de convergence 1et de somme f. On suppose la
fonction fbornée dans le disque unité ouvert de C. Montrer que la série P|an|2est convergente.
Exercice 20. On munit l’espace vectoriel E=C([0,1],R)de sa norme euclidienne usuelle k·k2, et
on considère l’opérateur
T:E→E, f 7→ T f, où T f (x) = Zx
0
f(t)dt pour f∈Eet x∈[0,1].
1. Montrer que Test continu.
2. Soit (fn)n≥0une suite orthonormale de E.
(a) Établir, pour N≥0et x∈[0,1], la majoration
N
X
n=0 Zx
0
fn(t)dt2 ≤x.
(b) En déduire que kT fnk2→0quand n→+∞.
Exercice 21. On munit l’espace vectoriel E=C([0,1],R)de son produit scalaire usuel, défini par
hf, gi=Z1
0
f(t)g(t)dt
et de la norme k·k2associée.
1. Pour t∈[0,1], on pose c0(t) = 1, et cn(t) = √2 cos(2πnt)et sn(t) = √2 sin(2πnt)pour n≥1.
Montrer que les cnet snforment une suite orthonormale et totale de E. On pourra expliquer
pourquoi il suffit d’approcher les éléments fde Etels que f(0) = f(1), et prolonger une telle
fonction fen une telle fonction 1-périodique.
2. Pour t∈[0,1], on pose c0(t)=1et cn(t) = √2 cos(πnt)pour n≥1. Montrer que (cn)n≥0est
une suite orthonormale et totale de E. On pourra prolonger un élément arbitraire de Een une
fonction paire et 2-périodique.
3. On pose enfin φn(t) = cos (2n+ 1)π
2tpour n∈Net t∈[0,1]. Montrer que (φn)n≥0est une
suite totale et orthonormale de E. On pourra utiliser des prolongements encore plus habiles.
4

Exercice 22 (Polynômes de Laguerre).On pose w(x) = e−xpour x∈R+, et on note L2
wl’ensemble
des fonctions continues f:R+→Rtelles que la fonction wf2soit intégrable.
1. Vérifier que L2
west un espace vectoriel, et que l’on définit un produit scalaire sur L2 wen posant
hf, gi=Z+∞
0
w(x)f(x)g(x)dx pour f, g ∈L2
w.
On note k·kwla norme euclidienne associée.
2. Pour n≥0, on définit la fonction
Ln:R+→R, x 7→ ex
n!·dn dxn(e−xxn).
Vérifier que Lnest un polynôme de degré n, puis que (Ln)n≥0est une famille orthonormale de
L2
w.
3. Pour tout a∈R, on définit la fonction
fa:R+→R, x 7→ e−ax.
À quelle condition la fonction faest-elle élément de L2
w? Dans ce cas, est-elle élément de
l’adhérence de R[X]dans (L2
w,k·kw)?
4. On considère l’espace vectoriel F=C0(R+,R)des fonctions continues de R+dans Rtendant
vers 0en +∞. Montrer que la famille (fn)n≥1est totale dans (F, k · k∞). On pourra faire un
changement de variable.
5. Montrer que la suite (fn)n≥1est totale dans (L2
w,k·kw). En déduire qu’il en est de même de
(Ln)n≥0.
Exercice 23 (Opérateur de Volterra).On note El’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1]
vers R, muni du produit scalaire
hf, gi=Z1
0
f(t)g(t)dt
et de la norme k·k2associée. On considère l’opérateur de Volterra
T:E→E, f 7→ T f, où T f (x) = Zx
0
f(t)dt.
1. Montrer que Test un endomorphisme continu de E.
2. Trouver un endomorphisme T∗de Evérifiant
hT f, gi=hf, T ∗gipour f, g ∈E.
3. Déterminer les éléments propres de T∗T, et expliciter une suite orthonormale totale de Eformée
de vecteurs propres de T∗T. On pourra se référer à l’exercice 21.
4. En déduire la norme subordonnée de T.
Exercice 24. Soit nun entier naturel fixé. On note Hnl’ensemble des fonctions de [0,1[ vers R
constantes sur chaque intervalle dyadique de la forme k
2n,k+1 2npour k∈[[0,2n−1]]. On note également
El’ensemble des fonctions de [0,1[ vers Rqui sont continues par morceaux, de carré intégrable, et
continues à droite.
1. Représenter les intervalles dyadiques pour n= 2 et n= 3 sur une même droite.
2. Montrer que Eest un espace vectoriel et que Hnen est un sous-espace vectoriel.
3. Montrer qu’on définit un produit scalaire sur Een posant
hf, gi=Z1
0
f(t)g(t)dt.
On munit désormais Ede la structure préhilbertienne associée à ce produit scalaire.
4. Montrer que Sn∈NHnest dense dans E.
5. Donner une base orthonormée de Hn.
6. On note Pnla projection orthogonale sur Hn. Montrer que, si f∈E, alors Pn(f)→fquand
n→+∞.
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