MAT 1111 - 2`eme quadrimestre Cherpion, Debi`eve, Habets, Van

UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUE
FACULTE DES SCIENCES
FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES
FACULTE D’INGENIERIE BIOLOGIQUE, AGRONOMIQUE ET
ENVOIRONNEMENTALE
MAT 1111 - 2`eme quadrimestre
Syst`emes lin´eaires
Nombres complexes
Equations diff´erentielles
A. A. 2007-2008
Cherpion, Debi`eve, Habets, Van Schaftingen, Vitale

2

Contents
1 Syst`emes lin´eaires 5
1.1 Objectif ................................ 5
1.2 Exemples ............................... 6
1.3 Combinaisons lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Solutions d’un syst`eme homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Bases et dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . 11
1.6 Rang et m´ethode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Le cas d’un syst`eme quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Le d´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Solutions approch´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Nombres complexes 37
2.1 Origine des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 D´efinition de (C,+,·) ........................ 37
2.3 Propri´et´es de l’addition et de la multiplication . . . . . . . . . . 38
2.4 Conjugu´es et modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Division euclidienne des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Equations diff´erentielles 49
3.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Equations `a variables s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Equations lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Equations lin´eaires du deuxi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Equations lin´eaires d’ordre n.................... 60
4 Exercices 63
4.1 S´eance 1 - Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 S´eance 2 - Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3

4CONTENTS
4.3 S´eance 3 - Syst`emes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 S´eance 4 - D´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . 73
4.5 S´eance 5 - Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 S´eance 6 - Solutions approch´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 S´eance 7 - Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 S´eance 8 - Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9 S´eance 9 - Equations diff´erentielles, I . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10 S´eance 10 - Equations diff´erentielles, II . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.11 S´eance 11 - Equations diff´erentielles, III . . . . . . . . . . . . . . 90
4.12 Exercices de r´evision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.13 Exercices d’examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Chapter 1
Syst`emes lin´eaires
1.1 Objectif
Il y a des probl`emes, tant en math´ematiques que dans les sciences exp´erimentales,
qui demandent la solution de plusieurs ´equations lin´eaires `a la fois, c.-`a-d. d’un
syst`eme d’´equations lin´eaires. En voici quelques exemples :
1. Un syst`eme de trois ´equations qui contiennent les trois variables x1, x2et
x3
3x1+x2−x3= 0,
4x2+ 7x3= 1,
−x1−x2+x3=−2;
2. Un syst`eme de deux ´equations `a quatre variables
6x1+x2−x3−5x4= 2,
x1+x2+x3−x4= 0;
3. Un syst`eme donn´e par une seule ´equation `a deux variables
2x1+ 10x2= 5.
En g´en´eral, on aura affaire avec des syst`emes de m´equations lin´eaires `a n
variables
S:
a11x1+a12x2+. . . +a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+. . . +a2nxn=b2,
. . .
am1x1+am2x2+. . . +amnxn=bm.
o`u les x1, x2, . . . , xnsont les variables, les nombres r´eels a11, a12, . . . , amn sont
dits coefficients du syst`eme et les nombres b1, b2, . . . , bmsont dits termes ind´epen-
dants. Un n-uple de nombres r´eels est solution d’un syst`eme si elle est solution
de chaque ´equation du syst`eme. Par exemple, (0,0,0,0) n’est pas solution du
5