Devoir surveillé 4 - Classe Preparatoire B/L Henri IV Beziers

Lyc´ee Henri IV Devoir surveill´e 4 KHBL
Vendredi 20 janvier 2017
Le sujet comporte trois exercices qui peuvent ˆetre trait´es dans n’importe quel ordre.
La pr´esentation, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appr´eciation des copies.
L’usage de la calculatrice est interdit.
BON COURAGE ! !
2016/2017 1l. garcia

Lyc´ee Henri IV Devoir surveill´e 4 KHBL
Exercice 1 : Ulm BL 2012
Soit k>1 un entier.
On dit qu’une matrice M∈ Mk(R) est stochastique ( selon les lignes ) si :
∀(i, j)∈[[1; k]], Mi,j >0
et
∀i∈[[1; k]],
k
X
j=1
Mi,j = 1
Dans tout l’exercice les vecteurs de Rkseront identifi´es `a leurs matrices de coordonn´ees dans la base canonique
de Rk.
On consid`ere ainsi un vecteur J∈Rkdont toutes les coordonn´ees sont ´egales `a 1 :
J=
1
.
.
.
1
Partie A : matrices stochastiques en dimension deux
Soient pet qdeux r´eels dans ]0 ;1[.
On consid`ere dans cette partie la matrice :
P=p1−p
q1−q
1. Montrer que le spectre de Pest donn´e par :
sp(P) = {p−q, 1}
2. Montrer, par disjonction des cas, que Pest toujours diagonalisable.
3. En d´eduire que toute matrice stochastique d’ordre deux est diagonalisable.
Pour quelles valeurs r´eelles λexiste-t-il une matrice stochastique Md’ordre deux admettant λpour valeur
propre ?
Partie B : Propri´et´es ´el´ementaires des matrices stochastiques
4. Soit M∈ Mk(R).
Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :
(a) Mest stochastique
(b) MJ =Jet tous les coefficients de Msont positifs ou nuls.
5. En d´eduire que si Mest stochastique alors pour tout entier n>1, Mnest stochastique.
6. Montrer que si Mest stochastique et si λest une valeur propre de Malors λ61.
2016/2017 2l. garcia

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Partie C : Matrices ayant un vecteur propre donn´e
Soit X∈Rkun vecteur non nul.
On note :
EX={M∈ Mk(R) : Xest un vecteur propre de M}
7. Montrer que EXest un sous-espace vectoriel de Mk(R).
8. On d´efinit l’application :
ϕX:Mk(R)→Rk
M7→ MX
Montrer que ϕXest une application lin´eaire.
9. D´eterminer le rang de ϕX.
10. Montrer que :
EX= Ker(ϕX)⊕Vect(Ik)
o`u Ikd´esigne la matrice identit´e d’ordre k.
11. Quelle est la dimension de EX?
12. Soit B= (e1, ...ep) une base du noyau de l’application lin´eaire :
FX:
Rk→R
Y7→ t Y X =
k
P
i=1
XiYi
D´eterminer, `a l’aide de B, une base de EX.
Partie D : Description de l’ensemble des matrices stochastiques
13. On prend X=J.
D´eterminer une base de EJlorsque k= 2.
14. D´eterminer une base de Ejpour k>2 quelconque.
Comment peut-on d´ecrire l’ensemble des matrices stochastiques ?
2016/2017 3l. garcia

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Exercice 2 : HEC BL 2011
La premi`ere partie de cet exercice a ´et´e pos´ee au DM 14 l’an pass´e.
Elle est rappel´ee en italique car le r´esultat de la question 2.(b) sert `a poursuivre l’exercice.
Les questions de cette partie 1. ( questions 1. et 2. ) ne sont pas `a refaire ; les traiter ne rapportera
aucun point.
Seules les questions des parties 2. et 3. sont `a faire sur votre copie.
Partie 1
(an)n>1,(Sn)n>1et (Hn)n>1d´efinies par :
∀n>1, an=1
n−Zn+1
n
1
tdt
∀n>1, Sn=
n
X
k=1
aket ∀n>1, Hn=
n
X
k=1
1
k
La suite (Hn)n>1est appel´ee s´erie harmonique
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel knon nul, on a :
06ak61
k−1 k+ 1
(b) En d´eduire que, pour tout entier naturel nnon nul, on a :
06Sn61−1
n+ 1
(c) Montrer que la suite (Sn)n>1est convergente et que sa limite, not´ee γ, appartient `a [0 ;1].
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel nnon nul, on a :
Sn=Hn−ln(n+ 1)
(b) En d´eduire que la suite (Hn)diverge et que :
Hn=
+∞γ+ ln(n) + o(1)
Partie 2
Sous r´eserve de convergence, on pose :
I0=Z1
0
ln(t)dt
et pour tout entier k>1 :
Ik=Z1
0
(1 −t)kln(t)dt
3. (a) Montrer que l’int´egrale d´efinissant I0est convergente et donner sa valeur.
(b) Montrer, par comparaison, que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal `a 1, l’int´egrale d´efinissant Ikest
convergente.
2016/2017 4l. garcia

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4. (a) Etablir pour tout entier ksup´erieur ou ´egal `a 1 la relation :
Ik=Ik−1−Z1
0
t(1 −t)k−1ln(t)dt
(b) A l’aide d’une int´egration par parties dont on justifiera la validit´e montrer que l’on a :
Z1
0
t(1 −t)k−1ln(t)dt =Ik
k+1 k(k+ 1)
(c) D´eduire des deux pr´ec´edentes relations, en les sommant convenablement, que pour tout entier naturel
non a :
(n+ 1)In=−
n+1
X
k=1
1
k
5. (a) Etablir, `a l’aide du changement de variables x=t
ndont on prouvera la validit´e, que pour tout entier
naturel nnon nul on a l’´egalit´e suivante :
1
nZn
0
ln(t)1−t
nn
dt =In+ln(n)
n+ 1
(b) En d´eduire la valeur de :
lim
n→+∞
1
nZn
0
ln(t)1−t
nn
dt
Partie 3 - extrait
Sous r´eserve de convergence on note :
J0=Z1
0
ln2(t)dt
et pour tout entier k>1 :
Jk=Z1
0
(1 −t)kln2(t)dt
6. (a) Montrer que l’int´egrale d´efinissant J0est convergente et donner sa valeur.
(b) Montrer, par comparaison, que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal `a 1, l’int´egrale d´efinissant Jkest
convergente.
7. (a) Etablir pour tout entier ksup´erieur ou ´egal `a 1 la relation suivante :
Jk=Jk−1−Z1
0
t(1 −t)k−1ln2(t)dt
(b) Montrer que pour tout entier naturel knon nul la relation suivante :
(k+ 1)Jk−kJk−1=−2Ik
(c) En d´eduire, pour tout entier n>0, les ´egalit´es suivantes :
Jn=1
n+ 1 2
n+1
X
k=1
k
X
i=1
1
ki!=1 n+ 1 
 n+1
X
k=1
1
k!2
+
n+1
X
k=1
1
k2
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