Cours n°20 : Moment cinétique d`un point matériel

Cours n°20 : Moment cinétique d’un point matériel
Pour étudier des systèmes physiques pouvant se réduire à un point matériel dans un champ de force central
(force dirigée vers un point fixe) comme une planète qui tourne autour du soleil retenue par la force
gravitationnelle, la RFD pourrait suffire, mais la notion de moment cinétique s’avère très pertinente car il est
alors une quantité conservée. Il faudra alors comprendre en parallèle la notion de moment cinétique et la
notion de moment de force, ces deux quantités sont reliées par un théorème, le théorème du moment
cinétique, comme le sont quantité de mouvement et force par la RFD.
On commencera par reprendre l’étude du pendule qui est soumis à une force centrale la tension du fil et à
une force qui dérive d’une énergie potentielle le poids, pour montrer qu’on peut dans ce cas aussi tirer profit
du TMC. On fera ensuite l’étude des problèmes de mécanique céleste, on pourra ainsi comprendre comment
on change d’orbite ; les voyages spatiaux mettant en jeu des problèmes à N corps (N astres) ne peuvent
recevoir qu’une solution numérique, mais les trajectoires du début et de la fin de ces voyages lorsque l’on
est dans la sphère d’influence d’un seul astre obéissent aux calculs que nous mèneront dans cette leçon.
I)
Moment cinétique
1) Moment cinétique d’un point matériel M par rapport à un point fixe O
 O ( M )  LO ( M )  OM  mv  OM  m
dOM
Il s’agit d’un produit vectoriel le résultat est un vecteur.
dt
2) Moment d’une force
MO (F )  OM  F , la force étant appliquée en M.
Prendre le moment d’une quantité, c’est opérer OM  sur cette quantité, la quantité de mouvement est une
quantité cinétique on parle de moment cinétique, la force donnant lieu au moment de force.
 O ( M )   L.MLT 1  ML ²T 1


c'est la meme dimension que celle de h la constante de Planck E=h  h  =
 E    W   T  W  T F.dOM  T F L  T ma L  TMLT 2 L  ML²T 1
  
  
 
  T 1
 M O   OM  F   OM  ma   L.MLT 2  ML ²T 2  [W ] la dimension d'un moment de force est celle d'une énergie (ou d'un travail qui est unevariation d'energie)

 
 

Un moment se réfère à un point de calcul lequel est rappelé en indice, dans ce cours ce point est toujours
fixe
M A (F )  AM  F  AO  F +OM  F  AO  F +MO (F ) la force étant toujours appliquée en M
3) Théorème du moment cinétique en un point fixe O.
d
 O ( M )   M O ( Fi )
dt
i
d 
  OM  d mv    d OM  mv   OM  d mv  v  mv  OM  ma  0   M O ( Fi )
OM

mv

 
dt 
dt
dt
  dt
i
d ' après la RFD
preuve :
Remarque : En mécanique du point il y a équivalence entre RFD et TMC, en mécanique du solide on montre que les deux
théorèmes sont nécessaires et complémentaires.
4) Moment cinétique d’un point matériel M par rapport à un axe orienté et moment
d’une force par rapport à ce même axe, TMC scalaire.


d

 dt  O ( M )  .u z    M O ( Fi )  .u z
 i


d
 
 dt  O ( M ).u z     M O ( Fi ).u z  car u zest un vecteur constant qui peut rentrer sous le signe de dérivation
 i

on définit les quantités scalaires  O , z   O ( M ).u z et M i, O,z  M O ( Fi ).u z on a le théorème scalaire du moment cinétique
d
 O , z   Mi,O,z avec toujours O point fix ,
dt
i
z est choisi comme étant l'axe de rotation
5) Exemple du pendule simple
d
d
 O ( M )   M O ( Fi )  OM  mv( M )   OM  P  OM  T
dt
dt
i
d 

rur  m rur  r ur   OM  P  OM  T

dt 
d 
  mr ² u z   rur  mg cos  u x  sin  u y  rur  T ur
dt






 ml ² u z  lur  mg cos  ur  sin  u  0  mgl sin  u z compte tenu de ce que r = l =cste
z
O
- l cos 
y
r=l
T
u
g
ml ²  mgl sin   0    sin   0
l
ur
x
P 
L’action de contact T disparait dans l’utilisation du TMC
6) Genèse du TMC, intérêt l’action de contact disparait tout comme avec la conservation
de l’énergie
Le TMC a donc permis d’obtenir l’équation du mouvement d’une façon équivalente et alternative à la RFD
ou à la conservation de l’énergie ;
- son intérêt par rapport à la conservation de l’énergie est de faire apparaitre directement l’équation du
mouvement du second ordre sans avoir à dériver comme dans la conservation de l’énergie.
- son intérêt par rapport à la RFD est que l’action de contact T disparait naturellement.
7) Moment d’une force explication physique
Expérience Mathilde met David à la porte !
Une force suffit à décrire le mouvement d’un point matériel par contre pour décrire le mouvement d’un solide elle est
insuffisante, il faut prendre en compte le moment de la force.
Considérons par exemple une porte qui tourne autour de l’axe de ses gonds :
L’expérience montre que deux quantités sont pertinentes dans la mise en rotation de la porte, la distance HM et l’intensité de
la composante de la force perpendiculaire à la porte.
O est un point sur l’axe des gonds. H est le projeté orthogonal du point d’application de la force M sur l’axe de rotation.
moment vectoriel M O ( F )  OM  F



 

momet scalaire M  ( F )  M O ( F ).k  OM  F .k  OH  HM  F//  F .k
k
 OH  F//  HM  F//  OH  F  HM  F  .k   HM  F  .k
F
M  ( F )  HM . F
F//
Ces deux quantités apparaissent dans le moment scalaire
H
O
F
M
On peut alors penser la genèse du TMC comme suit : pour décrire les mouvements de rotation le moment de force est pertinent,
définissons aussi le moment cinétique (tant qu’on y est). Tiens ! Il devait y avoir une relation entre le moment cinétique et le
moment des forces, comme il existe une relation entre la quantité de mouvement et les forces, c’est la RFD ; cette relation à la
même structure, on dérive la quantité cinétique (qui décrit le mouvement) pour trouver la quantité dynamique qui cause le
mouvement.
8) Remarque
Levier, conservation de l’énergie travail à gauche = travail à droite
Fd  fD le moment à gauche est identique au moment à droite
en valeur absole
d
si on multiplie par d on trouve Fdd  fDd
O
dd est le déplacement à gauche
Dd est le déplacement à droite
f
alors  Wg   Wd
qui traduit la conservation de l'énergie
Le phénomène semble alors moins paradoxal
D
F
9) Pendule paramétrique, de l’utilité du TMC ou apprenons à faire de la balançoire
Considérons un pendule simple de longueur variable l(t) réalisé à l’aide d’un fil inextensible MOA coulissant à
travers un anneau placé en O et dont l’extrémité A est animée d’un mouvement sinusoïdal de faible amplitude
l(t) = l0 [1+  cos  t] avec <<1
1) Calculer le moment cinétique du pendule en O LO
2) Calculer le moment en O des forces appliquées MO
3) Appliquer en O le théorème du moment cinétique
4) En se limitant aux oscillations de faible amplitude (on pourra assimiler angle et sinus de l’angle) et en se limitant
au premier ordre en  montrer que l’équation en  est de la forme :
(d²/dt²) +  0²  =  [0² (t).cos( t) + 2 (d /dt) sin ( t)] avec  0 = √ (g/l0)
5) Multiplier cette équation par d/dt et présenter son membre de gauche sous la forme :
d/dt [ ½ (d/dt)² + ½  0² ²]
6) On recherche une solution de la forme  (t) = A(t) cos (  0 t +  )
On supposera que la variation de A(t) est lente ; c’est à dire que l’on on pourra négliger les termes en dA/dt devant
les autres En déduire que :
(d/dt) ² +  0² ² =  0² A(t)²
7) En reportant dans l’équation obtenue à la question 5 en déduire une équation sur A². Dans le membre de droite on
pourra encore négliger les termes en dA/dt devant les autres.
8) L’énergie moyenne E de l’oscillateur sur une période (si l’on suppose comme c’est le cas les variations
d’amplitude maximales lentes) est proportionnelle à A². Calculer la variation relative
1/E (dE/dt)
9) Montrer que pour que la moyenne de1/E (dE/dt) sur plusieurs périodes soit non nulle, on doit avoir  = 2  0.
O
Moines
l(t)

A
M
Nous avons étudié ici le principe d’oscillation de l’encensoir de Saint-Jacques de Compostelle. Les moines se lèvent et
s’accroupissent deux fois par oscillation. La balançoire est un oscillateur paramétrique qui fonctionne sur le même principe : on
déplace son centre de gravité en se levant en haut de la trajectoire et en s’asseyant en bas de la trajectoire. On fait donc varier la
distance au centre de rotation tout comme si on faisait varier la longueur du pendule.
LO  OM  mv  lur  m(
dl
d
d
ur  l
u )  ml ²
uz
dt
dt
dt
M O ( P)  OM  mg  lur  m( g cos  ur  g sin  u )  lmg sin  u z  lmg u z pour les petites oscillations
d
LO  M O ( P)
dt
d
d
d
d
dl d
d ²
(ml ²
u z ))  lmg u z 
(l ² )  lg
 2l
 l²
 lg
dt
dt
dt
dt
dt dt
dt ²
dl d
d ²
d
d ²
2
l
  g   2l0  sin  t
 l0 (1   cos  t )
  g
dt dt
dt ²
dt
dt ²
d
d ²
g
d ²
d ²
d
 2 sin  t
 (1   cos  t )
    0 ²  0 ² 
  cos  t
 2 sin  t
0
dt
dt ²
l0
dt ²
dt ²
dt
Théorème du moment cinétique
d ²
d ²
d
d ²
d ²
d
  ( cos  t
 2 sin  t
)  0 ² 
  ( cos  t
 2 sin  t )(*)
dt ²
dt ²
dt
dt ²
dt ²
dt
d ²
d ²
cette équation montre que 0 ² 
  ( ) soit que
 0 ²   ( )
dt ²
dt ²
d ²
d
si on reporte dans la meme équation (*) 0 ² 
  ( cos  t[0 ²   ( )]  2 sin  t
)
dt ²
dt
d ²
d
on obtient : 0 ² 
  (0 ²  cos  t  2 sin  t )   ( ²)
dt ²
dt
 0 ² 
10) Pendule sphérique dans le champ de pesanteur uniforme
Les festons, cas particulier : mouvement circulaire,
Quand les problèmes sont complexes, il est agréable de bénéficier de quantités conservées ; on pourra avoir
par exemple l’énergie si toutes les forces sont conservatives .
Dans le problème du pendule sphérique suivant on a aussi conservation de la composante du moment
cinétique selon la verticale.
Avec la conservation de l’énergie, on a alors un système complet d’équation différentielles.
1) Retrouver l’expression du déplacement élémentaire en coordonnées sphériques
2) En déduire l’expression de la vitesse dans la base sphérique.
Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m attaché à un fil souple inextensible de
longueur l, fixé en un point O, origine d’un repère (O,x,y,z) du référentiel terrestre supposé galiléen. L’axe
Oz est choisi vertical ascendant et on utilise les coordonnées sphériques (r,  , ) de centre O et d’axe Oz.
Les conditions initiales étant quelconques, mais supposées connues, on cherche à étudier le mouvement du
pendule dans le cas où le fil reste toujours tendu.
On choisira la constante de l’énergie potentielle de pesanteur de telle sorte que Ep (z =0)=0
3) Traduire la conservation de la projection du moment cinétique sur l’axe Oz et expliquer pourquoi il en est
ainsi. On notera celle-ci L0z
4) Traduire la conservation de l’énergie mécanique que l’on notera E 0
5) Donner l’équation différentielle à laquelle obéit 
6) Projeter la Relation Fondamentale de la Dynamique sur le vecteur radial. On admettra que la composante
radiale de l’accélération en coordonnées sphériques s’exprime comme:
d2r/dt2 - r . [ ( d/dt)2 + (sin2 ) . (d/dt)2]
En déduire que si  est supérieur à /2 alors le fil est tendu
7) Poser u = cos  ainsi que A = -2m2g l3/ L0z2 et B = 2m l2 E0 / L0z2 dans l’équation différentielle obtenue au
(5) et montrer que le mouvement n’est possible que si A.u + B > 1 / (1-u2)
8) On se restreindra au cas où  reste supérieur à /2. Une résolution graphique où l’on portera u de -1 à +1
sur l’axe des abscisses permettra alors de montrer que le point matériel peut avoir deux types de
mouvements.
- Soit il décrit sur la sphère des festons compris entre deux cercles parallèles d’angle limites 1 et 2
dépendant des conditions initiales. On montrera graphiquement comment on peut obtenir 1 et 2.
- Soit il décrit un cercle. On montera graphiquement comment on obtient la valeur de  associée.
z

O
Sur les sites suivants, on verra différents exemples de mouvement selon les conditions initiales :
http://www.mathcurve.com/courbes3d/pendulespheric/pendulespheric.shtml
https://www.youtube.com/watch?v=Ksi5hR5w9_I&list=PL0F8E8849BC6FDEAF
II) Mouvement dans un champ de force centrale
1) Force centrale définition
Il s’agit d’une force dirigée toujours vers un même point fixe, on choisit alors ce point comme origine.
2) Conservation du moment cinétique, r ²  C


d
 O ( M )   M O ( Fi )  M O ( F )  OM  F  rur  Fur  0   O (M )  m rur  rur  r u   cst


dt
i
mr ² uz  cst
mr ²  mC avec C constante aréolaire
La RFD en rendait déjà compte par l’accélération orthoradiale qui est nulle mais le TMC le donne directement
Preuve de la remarque : La RFD projettée sur la direction radiale donne bien puisque la force est uniquement radiale
1 d r ²
u  0
r dt
 
3) En présence d’une unique force centrale le mouvement est plan
l'écriture OM(t+dt)=OM+v(t)dt permet seulement de dire que M(t+dt) est dans le plan tangent affine défini par O OM
celà ne suffit pas à dire que le mouvement est plan. En effet localement toute courbe admet un cercle oscilateur qui se
 O ( M )  OM  mv  cst apporte par contre une information supplémentaire
 O ( M )  OM (t )  mv(t )  OM (t  dt )  mv(t  dt )  cst
elle montre que v(t+dt) est dans le plan défini par O OM(t) et v(t)
4) Exemples point matériel en rotation sur un plan horizontal retenu par un fil
M
r
O
T
Réaction et Poids qui se compensent et ne sont pas représentés
Le TMC donne
donc
r ²  C
C
comme r = l est constante on a  
l²
5) Exemple point matériel en rotation sur un plan horizontal retenu par un ressort
M
r
O
k,l0 T
on a toujours r²  C mais r n'est plus cst il faut faire intervenir la RFD
d


ma = -k(r-l0 )ur  m  r -r ² ur 
r ² u  = -k(r-l0 )ur  r ²  C et m r -r ² = -k(r-l0 )
dt


deux équations qui donnent un système complet
on remarquera que le résultat du TMC est aussi le résultat de la RFD orthoradiale


 


 C² 
Remarque : on peut éliminer   m  r - 3  = -k(r-l0 ) et trouver la position d'équilibre qui correspond aussi une trajectoire circulaire de rayon rC
 r 
 C² 
 m  - 3  = -k(rC -l0 )
 rC 
6) Loi des aires, constante aréolaire
M(t+dt)
dOM = v dt
M(t)
O
L’aire balayée par le rayon vecteur pendant dt est
dA 
OM  dOM
2

OM  vdt
2

C
dA C
dt 
  cst
2
dt
2
Elle est constante, c’est la loi des aires.
Si le mobile s’éloigne sa vitesse angulaire est donc
nécessairement plus faible. Pour avoir les mêmes aires il faut que la vitesse en P soit plus grande qu’en A.
A
P
7) Cas particulier de la force gravitationnelle les 3 lois de Kepler
Tycho Brahe né Tyge Ottesen Brahe (il latinise jeune homme son prénom en Tycho), (14 décembre 1546 — 24 octobre 1601), est un astronome danois, issu
d'une grande famille associée de longue date aux affaires du royaume.
Johannes KeplerNote 1 (ou Keppler), né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt et mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne dans l'électorat de Bavière, est un
astronome célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic, affirmant que la Terre tourne autour du Soleil et surtout pour avoir découvert
que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires parfaites mais des trajectoires elliptiques.
Nicolas Copernic (polonais : Mikołaj Kopernik, allemand : Nikolaus Kopernikus, latin : Nicolaus Copernicus Torinensis/Thorunensis/Torunensis), né le 19
février 1473 à Toruń, Prusse royale (Royaume de Pologne) et mort le 24 mai 1543 à Frombork, Prusse royale (Royaume de Pologne), est un chanoine, médecin et
astronome polonais. Il est célèbre pour avoir développé et défendu la théorie de l'héliocentrisme selon laquelle le Soleil se trouve au centre de l'Univers et la Terre
tourne autour de lui contre la croyance répandue que cette dernière était centrale et immobile. C'est ainsi qu'il écrit, dès les années 1511-1513, De Hypothesibus
Motuum Coelestium a se Contitutis Commentariolus (connu sous le titre de Commentariolus18), un court traité qui expose le système héliocentrique19 et qu'il fait
circuler, sous forme manuscrite, auprès de ses amis. C'est à la même période que Copernic, dont les compétences astronomiques sont visiblement reconnues, est
sollicité dans le cadre du Ve concile du Latran sur la réforme du calendrier.
Copernic a retardé de plusieurs années la parution de l'œuvre de sa vie. Ses croyances et la peur de la réaction de l'Église et de Wittenberg en sont les principales
raisons. Ce texte ne sera publié que le jour de sa mort.
Cependant, seuls une dizaine de chercheurs de son époque lui accordent un appui. Mais ces chercheurs travaillent souvent à l'extérieur des universités
(subventionnées), dans des cours royales ou impériales, ou encore même tout près de l'Église. Les plus célèbres sont Galilée (1564-1642) (qui n'était pas
contemporain de Nicolas Copernic, mort en 1543), Léonard de Vinci (ses correspondances privées en font état au travers de messages codés)[réf. nécessaire] et
l'astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630). En 1582, lors de la grande réforme du calendrier par le pape Grégoire XIII les travaux de Copernic sur
l'héliocentrisme furent utilisés. Ce n'est qu'après, qu'une féroce bataille d'universitaires va déclencher la polémique qui aboutira à la condamnation des travaux de
Copernic, malgré des efforts pour tenter de trouver un compromis.
L'influence de Copernic se fit sentir jusque dans le domaine philosophique : Descartes, qui avait rédigé un Traité du monde et de la lumière, fut étonné de la
décision de l'Inquisition lorsqu'il apprit la condamnation de Galilée (procopernicien) en 1633. C'est la raison pour laquelle Descartes s'orienta vers la philosophie et
rédigea le fameux Discours de la méthode et quelques autres ouvrages philosophiques qui constituaient un projet de recherche d'une science universelle.
Les conséquences de cette théorie dans le changement profond des points de vue scientifique, philosophique et religieux qu'elle impose sont baptisées révolution
copernicienne.
Giordano Bruno, né en janvier 1548 à Nola (Italie) et mort (brûlé vif) le 17 février 1600 à Rome, est un ancien frère dominicain et philosophe. Sur la base des
travaux de Nicolas Copernic et Nicolas de Cues, il développe la théorie de l'héliocentrisme et montre, de manière philosophique, la pertinence d'un univers infini,
qui n'a pas de centre, peuplé d'une quantité innombrable d'astres et de mondes identiques au nôtre. Accusé formellement d'athéisme et d'hérésie par l'Inquisition, en
particulier pour ses écrits jugés blasphématoires (notamment sa proclamation que Jésus-Christ n'est pas Dieu mais un simple « mage habile », que le Saint-Esprit
est l'âme de ce monde, que Satan sera finalement sauvé (apocatastase5,6), et son intérêt pour la magie il est condamné à être brûlé vif au terme de huit années de
procès ponctuées de nombreuses propositions de rétractation qu'il paraissait d'abord accepter puis qu'il rejetait. Une statue de bronze à son effigie trône depuis le
XIXe siècle siècle sur les lieux de son supplice, au Campo de' Fiori à Rome. Il donne son nom à une rue du XIVe arrondissement de Paris.
1616 en France.
19 février : Galilée, qui ne soutient pas ouvertement les principes de Copernic, est cité devant le Saint-Office, qui déclare dans sa censure du 24 février que
soutenir la proposition que le soleil est immobile au centre du système est « insensé et absurde en philosophie et formellement hérétique car elle s’oppose
aux Saintes Écritures et à l’interprétation commune des Saints Pères… ». (controverse de Galilée rien à voir avec lacontroverse de valladolid)

5 mars : l'Église catholique romaine déclare hérétiques les idées de Copernic14. L'Inquisition enjoint Galilée de cesser d'enseigner les thèses
héliocentristes de Nicolas Copernic.
À partir de 1741 et sous l'influence de Roger Boscovich le pape Benoît XIV abandonne progressivement le système géocentrique. En 1757 le jésuite obtient que
les livres de Copernic et Galilée soient retirés de l'Index. Galilée est réhabilité en 1784, mais ce n'est que dans les années 1820-1830 que l'Église accepte
définitivement et complètement l'idée que la Terre tourne autour du Soleil.
En analysant les observations de Tycho Brahé, Kepler énonce ces trois lois :
- le mouvement des planètes se développe dans un même plan qui contient le soleil.(Vrai pour force
centrale)
- les trajectoires sont des ellipses. (On admettra vrai pour interaction Newtonienne)
T²
 cst (On admettra
- la période de révolution et le demi-grand axe sont reliés par la relation suivante :
a3
vrai pour interaction Newtonienne)
y
2a
B
M
2b
A
rA
C
F
rP
P
x
Calcul du petit axe et démonstration de la troisième loi de Kepler
r
p
1  e cos 
cette formule n'est pas au programme
p
p
2p
p


a
1  e 1  e 1  e²
1  e²
p sin 
y  r sin  
1  e cos 
2a  rP  rA 
dy
p 1  e²
 0 on trouve cos   e et y ( B ) 
d
1  e²
 2b  2 y ( B )  2
p
1  e²
M’
1
d FM
FM 
dt
2
dt
M
dA
rappel :

dt
dt
1
1
1
 rur  rur  r u  r ²  C  cste
2
2
2
 ab 1
doncl'aire de l'ellipse étant  ab :
 C
T
2
 ² a ²b ² C ²
 ² a ²b ² C ²


T²
4
T²
4
p
p²
p
pb ² b ²
on a vu b 
b² 

a


1  e²
1  e²
p²
p
1  e²
m1 m2
C ²
en admettant l'expression de p =

 m2 formules qui ne sont pas au programme
k
m1  m2

 ² a ²b ²
T²


 ² pa 3
T²

²
C ²
k
T²
a3

d
F
mm G mG
C²
a3
k
 troisième loi de Kepler

 1 2  1
4
T ² 4 ²  4 ²m 2 4 ²
rappel des deux premières : les planètes décrivent des ellipses dont le foyer est le soleil, ces orbites sont coplanaires

Excentricités des planètes du système solaire :
0,205 630 69
Mercure
Même ordre de grandeur que la planète naine Pluton
0,006 773 23
Vénus
0,016 710 22
Terre
0,093 412 33
Mars
0,048 392 66
Jupiter
0,054 150 60
Saturne
0,047 167 71
Uranus
0,008 585 87
Neptune
Les excentricités des planètes du système solaire sont faibles, ce sont les effets de marée qui circularisent les
orbites, c’est aussi à cause d’un effet de marée que la lune présente toujours la même face à la terre.
Exception mercure : http://astronomia.fr/2eme_partie/planetes/Mercure.php
III) Mouvements célestes
m2 est la masse du satellite particule soumise dont on considèrera la masse négligeable devant la masse de l’astre attracteur m1 ,
lequel est tellement lourd qu’on le considère très peu perturbé par l’interaction gravitationnelle et donc immobile. Un traitement
plus avancé du problème nécessiterait l’intervention du concept de masse réduite

m1 m2
 m2
m1  m2
si m1  m2 , ce
traitement n’est pas au programme.
1) Energie potentielle gravitationnelle
F 
Gm1 m2 ur
dE
Gm1m2
  P  Ep  
r²
dr
r
G = 6.67 10-11SI
On pourra rencontrer l'opérateur gradient F   gradE p
il est défini par l'égalité suivante gradEP . dOM  dEP 
EP
E
E
dx  P dy  P dz
dx
dy
dz
si on note gradEP  Gx u x  G y u y  Gz u z comme d OM  dxu x  dyu y  dzu z
gradEP . dOM  Gx dx  G y dy  dzu z
E
E
E
E
E
E
et gradEP . dOM  dEP  P dx  P dy  P dz  Gx dx  G y dy  Gz u z  P dx  P dy  P dz
dx
dy
dz
dx
dy
dz
EP
EP
EP
EP
le choix dy=dz=0 donne alors Gx 
et par permutation circulaire gradE p 
ux 
uy 
uz
dx
dx
dy
dz
E
E
E
F   P ux  P u y  P uz
dx
dy
dz
en cylindriques comme dOM  drur  rd u  dzu z
EP
E
E
E
E
E
dr  P rd  P dz  Gr dr  G d  Gz dz  P dr  P rd  P dz
dr
d
dz
dr
d
dz
EP
EP
1 EP
F
ur 
u 
uz
dr
r d
dz
E
dans le cas qui nous interesse des forces newtoniennes gravitationnelles E p (r) et F   P ur
dr
gradEP . dOM  dEP 
Lien entre m2gz énergie potentielle au voisinage de la surface de la terre (z mesuré à partir de la surface
<<R) et –m2m1G/r énergie potentielle en tout point. On écrit r = R+z ou R est le rayon de la terre et on opère
un développement limité
EP  
m1 m2 G
mm G
mm G
mm G
mm G mm G z
z
  1 2   1 2   1 2 (1  )   1 2  1 2
z
r
Rz
R
R
R
R R
R(1  )
R
l'identification de la force gravitationnelle à la surface de la terre avec le poids à la surface de la terre F  
m1G
g
( R  z )²
m1 m2 G
 m2 g donne
( R  z )²
m1G
g
R²
mm G
On en déduit : EP   1 2  m2 gz
R
le premier terme est une constante que l'on peut éliminer puisqu'elle est éliminée quand on passe de l'Ep à la force
2) Conservation de l’énergie, énergie potentielle effective, Interprétation graphique
états liés états ellipses ou cercle, états de diffusion parabole, branche d’hyperbole
proche du foyer
1
k 1 
C²  k 1
1
C² k
m2 r ²  r ² ²   m2  r ²  r ² 4    m2 r ²  m2 2 
2
r 2 
2
r
r
r  r 2
1
C ² m1 m2 G
m2 2 
est l'énergie potentielle effective qui est la somme d'un terme positif et d'un terme négatif
2
r
r
le terme positif gagne quand r  0 , il perd quand r   d'ou la forme en puits de potentiel
E


Tout se passe comme si on avait un problème
décrit par une seule variable r
1
comme m2 r ² >0 on a E>Epeff
2
ceci définit l’espace accessible
Les traits noirs verticaux représentent
1
m2 r ²
2
dr/dt s’annule au périgée et à l’apogée
de l’ellipse
partout sur le cercle
au point d’approche minimale
périgée
Point d’approche
minimal
apogée
E
Branche d’hyperbole près du
Parabole
r
Ellipse
cercle
Rayon du
cercle
Les états liés cercle et ellipses ne permettent pas l’excursion à l’infini,
l’espace accessible est borné
Les états de diffusion parabole et branche d’hyperbole proche du foyer permettent cette excursion
La parabole est le premier état de diffusion, l’infini est atteint sans vitesse.
périhélie et apohélie si l’attracteur est le soleil,
apogée et périgée si l’attracteur est la terre,
calcul de rcirculaire cela correspond au minimum de l’énergie potentielle
d 1
C² m m G 
1
C² m G
C²
m2 2  1 2   0
(2) 3  12  0 r  rC 

dr  2
r 
2
m1G
r
r
r
3) Formule de l’énergie d’un état lié
 
2
Gm1 m2 1
1
C ² Gm1 m2
m2 (r ²  r ) 
 m2 (r ²  ) 
2
r
2
r²
r
1
C ² Gm1 m2 1
C ² Gm1m2
au périhélie et à l'apohélie r=0  E  m2

 m2

2
r²
r
2
r²
r
E  Ec  E p 
r
Gm1 m2 
 Gm1m2 
 2m2 C ² E
2
r
E
Gm1m2
 Gm1m2 
  E 
2
1
Er ²  rGm1m2  m2 C ²  0
2
 2m2 C ² E
pour les états lies E<0
rP 
Gm1 m2 
rP  rA 
 Gm1m2 
  E 
Gm1 m2
 E 
2
 2m2 C ² E
2a 
Gm1 m2
 E 
rA 
E 
Gm1m2 
Gm1 m2
2a
 Gm1m2 
  E 
2
 2m2 C ² E
a est le 1/2 grand axe de l'ellipse
4) Formule de l’énergie d’un état de diffusion, la notion d’excentricité n’est pas au programme
m1 m2 G k

avec k  m1 m2 G
2a
2a
p
p
p
p
2p
pour une ellipse rP 
et
rA 
2a 


1 e
1 e
1  e 1  e 1  e²
m1 m2 G 1  e² 
m1 m2 G 1  e² 
m1 m2 G 1  e² 
m m G 1  e² 
donc E=

 1 2
C ²
C ²
2C ²
2p
2
2
k
m1 m2 G
 m1  m2  G
E
E= 
 m1  m2  m1m2 G ² 1  e² 
2C ²

m1 ² m2 G ² 1  e² 
2C ²
verification aux dimensions[ E ] 
F ² L4 M 1
 M ² L ²T 4T 2 M 1  ML2T 2
L4T 2
si e <1 on a un état lié qui est une ellipse
si e=1 on a une parabole le premier état de diffusion
si e>1 on a la branche d’hyperbole proche du foyer car l’interaction est attractive
r
p
1  e cos 
e 1
      
α
Périgée
F
cos  
1
e
rmin 
1
1 e
5) Apesanteur
Dans un avion en vol parabolique on a un sentiment d’apesanteur, dans la station spatiale aussi.
On ne peut que s’émerveiller de la permanence du mouvement circulaire des satellites, tout autant que du
mouvement rectiligne uniforme d’une particule libre; Newton nous explique d’ailleurs, qu’en fait quand on
est en orbite on tombe ! En effet le satellite selon le principe d’inertie si il était libre devrait continuer en
ligne droite (selon le pointillé), mais en fait il tombe attiré dans la direction du centre de la terre par la force
de gravitation.
Le même schéma permet de reproduire un autre célèbre raisonnement de Newton qui l’a conduit à proposer
vI
une dépendance en 1/r² pour la force gravitationnelle :
vF
ωdt
dv
d v vF  vI sin( dt )vI
v²
(ur )   v (ur )  (ur ) avec v I = v F = v et dt petit
dt
r
mMG(ur )
dv
or l'hypothèse : F=
avec F=m
donne alors
r²
dt
mMG(ur )
MG
MG
v²
m (ur ) 
soit
v² 
soit  ² r ² 
r
r²
r
r
dt


dt
MG
 2 
soit 
 r² 
r
 T 
2
soit la loi de Kepler
ωdt
T²
 cst validant ainsi l'hypothèse de la force en 1/r²
r3
L’an prochain une interprétation de l’apesanteur faisant appel aux forces d’inerties vous sera proposée.
6) Cas des orbites circulaires, période de rotation,
Orbite géostationnaire
Satellites héliosynchrones
a) Généralités
mv² mMG
m ² r ² mMG
4 ² 3



  ² r 3  MG ne dépend pas de m normal,
r  MG on retrouve la loi de Kepler
r
r²
r
r²
T²
mv ² mMG
MG

 v² 
montre que plus l'orbite est lointaine plus la vitesse linéaire est faible
r
r²
r
MG
MG
 ²r ² 
  ²  3 montre que plus l'orbite est lointaine plus la vitesse angulaire est faible ,
r
r
la décroissance est encore plus grande que pour la vitesse linéaire
On peut obtenir le même résultat par conservation de l’énergie
 MmG 1
mMG
 mv ² 
2r
2
r
b) Satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est fixe par rapport à la terre, c'est à dire que la ligne qui joint le centre de la terre au satellite intersecte la surface de la terre en un lieu fixe de lattitude et de longitude invariable
ce satellite orbite nécessairement sur une trajectoire circulaire dans le plan équatorial de la terre.
Il possède une période de révolution très exactement égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel de Copernic (23 heures 56 minutes et 4,1 secondes),
T  24heures=24*3600s car le jour solaire ( temps moyen entre deux levers de soleil consécutifs) et le jour sidéral ( temps de rotation de la terre sur elle meme) sont différents
En effet si la terre ne tournait pas sur elle meme, du fait de sa translation circulaire autour du soleil il y aurait quand meme un jour solaire par an.
la durée du jour sidéral est donc plus courte que celle du jour solaire ou bien Nombre de jours sidéraux dans l'année=Nombre de jours solaires dans l'année +1
 1 an =365.25 *24h ( années bisextiles)= Nombre de jours solaires . Tsolaire avec Nombre de jours solaires=365.25
comme 
 1 an = Nombre de jours sidéraux . Tsidéral =(Nombre de jours solaires +1) . Tsidéral
Nombre de jours solaires
365.25
en consequence Tsidéral=
. Tsolaire =
.24h
Nombre de jours solaires+1
366.25
si on note l'altitude comme h tel que r = R T +h
Tsolaire =24h 


avec R T = 6378014km
1/ 3
 MGT² 
on aura h = 

 4 ² 
 RT on trouve 35 786 km
c) Satellite héliosynchrone
Satellite d’observation basse altitude période de révolution de l’ordre de l’heure 200 à 300kms. En dessous
l’atmosphère résiduelle est trop dense et le satellite serait trop freiné.
On montre que pour être héliosynchrones (ils survolent la même région toujours dans les mêmes conditions
de luminosité) les satellites doivent être presque circum-polaires
MG
MG
gR²
gR²
gR²
compte tenu de
 g donne v =


 gR  10 * 6400103  64.106  8000m / s  8km / s
r
R²
r
R+z
R
2 R
2 R 2 3.14 6400 103 6.3 64 105 6.3 8 10 2
v  R 
T



 50000  1h30
T
v
8000
8 103
v² 
7) Mise en orbite
Il ne suffit pas de tirer verticalement une fusée V2 pourrait déjà faire monter un satellite à des orbites de
quelques centaines de kms, mais il faut aussi injecter, c'est-à-dire donner au satellite une vitesse tangentielle
à la terre qui le maintienne sur son orbite.
Vitesse pour atteindre l’altitude de 200kms et vitesse pour y rester ?
E
MmG
MmG 1

 mv ²
Rh
R
2
v²  2
MG
h
MG h

(1  1  )  2
R
R
R R

à comparer avec v orbite =
vmontée

vorbite
2h

R

MG MG
1

  v²
Rh
R
2
MG
 gR
R
400
1

6400 4
vmontée 
v ²  2( 
2 MGh
 2 gh
R²
MG MG
MG

) 2
(
Rh
R
R
1
h
1
R
 1)  2
MG
(1 
R
1
h
1
R
) 2
MG
h

(1  1  )
R
 R
8) Vitesse des comètes
Grace à la loi des aires on voit que au périgée la vitesse de la comète en orbite elliptique est plus grande
que celle à l’apogée; vP rP = vA rA
La comète de Halley (désignation officielle 1P/Halley) est la plus connue de toutes les comètes. Son demi grand axe est de 17,9
ua (soit environ 2,7 milliards de kilomètres), son excentricité est de 0,97 et sa période est de 76 ans. Sa distance au périhélie est de
0,59 ua et sa distance à l'aphélie est de 35,3 ua.
On peut démontrer les caractéristiques orbitales suivantes : vitesse au périhélie : 54,5 km.s-1, vitesse à l'aphélie : 810 m.s-1.
L'unité astronomique de longueur ou de façon plus usuelle unité astronomique (ua, UA, au ou AU) "ua" était la notation recommandée par l’Union
astronomique internationale avant 2012 et "au" depuis 2012 (en anglais : astronomical unit of length3), est l'unité de longueur du système astronomique d'unités.
Elle est principalement utilisée pour exprimer les distances entre les objets célestes du Système solaire ainsi que entre ceux situés dans d'autres systèmes
planétaires. Elle est historiquement basée sur la distance entre la Terre et le Soleil et a été créée en 1958.
9) Orbite de transfert de Hohmann
Orbite de transfert On se propose d’étudier le transfert d’un engin spatial depuis une orbite
circulaire de rayon r1 effectuée à la vitesse v1 autour du soleil jusqu’à une orbite plus externe r 2
effectuée à la vitesse v2. La trajectoire de transfert est une ellipse tangente aux orbites circulaires en P
et en A. Soient vp et vA les vitesses de l’engin sur l’orbite de transfert au périgée et à l’apogée
respectivement, déterminer le signe de vp - v1 et de v2 - vA . On raisonnera en termes d’énergies.
Montrer que VA<V2<V1<VP
C’est à dire que l’on accélère sur l’orbite interne ce qui nous met sur le périgée d’une ellipse de
transfert.
A
Quand on atteint l’apogée de l’ellipse de transfert la vitesse a naturellement diminué loi des aires puis
on accélère encore ce qui nous met sur l’orbite externe circulaire
Cette orbite correspond à une vitesse linéaire et angulaire plus faible que l’orbite interne.
Entre le périgée et l’apogée de l’orbite de transfert on aura éteint les moteurs la vitesse aura
naturellement diminué puisque c’est au périgée qu’elle est la plus grande et à l’apogée qu’elle est la
plus faible
mMG
mMG  
MG
1

 2 mv1 ²  r   2r   v1 ²  r

1
1
1

 

1
mMG
mMG  
2 MG MG 
 2 mvP ²  r   2a   vP ²  r  a 
P
P


 comme 2 a = r  r
P
A
1
mMG
mMG  
2 MG MG 


 mv A ² 
  vA ² 

rA
2a  
rA
a 
2
1

mMG
mMG  
MG

 mv2 ² 
  v2 ² 

r2
2r2  
r2
2

v1 ²
1
1
 v1 ²



 MG  r

 (a ) MG  r

1
1




 vP ²



rA
vP ²
r2
2
2
 
2
2


 (b)

MG rP rP  rA
rP  rP  rA  
MG
r1  r1  r2  




v ²



rP
r1
2
2
v ²
A
 
2


 (c ) A  2

rP  rP  rA  
r1  r1  r2  
 MG rA rP  rA
 MG
 v ²



v ²
1
1
 2 

 (d ) 2 

MG r2
 MG r2



2r2  r1  r2 (a ) et (b)  vP ²  v1 ²  vP  v1
2r1  r1  r2 (c) et (d )  v A ²  v2 ²  v A  v2
On a d'autre part (b) et (c) et r1 <r2  v A  vP
et encore (a) et (d) et r1 <r2  v1  v2
tout ceci donne bien
vP  v1  v2  v A
C
P
Remarques :
Nous avons étudié ici un problème à deux corps, ceci nous permettrait de changer un satellite d’altitude autour de son astre
attracteur.
Mais un voyage spatial implique un problème à 4 corps ; la fusée du voyageur, la planète de départ la terre, la planète d’arrivée
Mars, le soleil au minimum. Or Poincaré a montré que même le problème a trois corps restreint satellite de masse négligeable
dans le champ de deux astres n’a pas de solution analytique.
On peut chercher des zones où le problème à deux corps s’applique c'est-à-dire des zones où on peut considérer que le satellite est
sous l’influence prépondérante d’un seul astre.
Une fois que l’on s’est éloigné de la zone d’influence de la terre, on sera sans doute sous l’influence du soleil, puis au voisinage de
Mars sous l’influence de cette dernière, mais il existe des zones de transition où deux astres contrôlent la fusée, ce que nous ne
saurions décrire analytiquement.
Si on envisage un voyage Terre lune, la Lune étant clairement dans la zone d’influence de la terre puisque son satellite, on peut se
demander si il existe quand même un espace correspondant à l’influence de la lune dominante. La réponse est oui mais pour
décrire ces différents domaines les notions de forces d’inertie et de forces de marées qui en découlent sont nécessaires.
Concernant le premier voyage envisagé Terre Mars, il ne faut pas oublier que la Terre et Mars sont des satellites du soleil et
qu’une question similaire se pose aussi.
On peut encore savoir que les planètes ont des orbites quasi circulaires excentricités très faibles car les effets de marées
circularisent les orbites
Le fait que les planètes tournent dans le même plan dans le même sens est nécessaire pour qu’elles ne rentrent pas en collision et
si ce n’était pas le cas au départ c’est le cas aujourd’hui
Des études théoriques et numériques montrent que à longue échelle le système solaire est un système chaotique.
Pour mener des voyages spatiaux des calculs numériques sont donc nécessaires. Toutefois attention si vous vous placez dans un
référentiel ou une planète et le soleil sont fixes, le référentiel ne sera pas galiléen et des forces d’inertie devront intervenir.
Assistance gravitationnelle ou fronde gravitationnelle
Les sondes qui ont été envoyées dans le système solaire pour explorer ses planètes les unes après les autres
ont tiré profit du phénomène de fronde gravitationnelle pour changer de direction ou même acquérir un
module de vitesse plus important.
Soit vs la vitesse initiale dans le référentiel de Copernic d’une sonde son mouvement est elliptique avec
comme foyer le soleil, au passage par la sphère d’influence d’une planète la sonde est diffusée selon une
trajectoire hyperbolique par rapport à la planète. La vitesse de la sonde dans le référentiel de copernic après
diffusion vs’ , Soit vP la vitesse de la planète dans le référentiel de Copernic au moment de la diffusion , la
vitesse de la sonde dans ce référentiel avant et après diffusion est :
││ vs’-vP││=││ vs-vP ││, mais sa direction à changé.
la figure suivante montre que par contre││ vs’ ││≠││ vs││. Si la vitesse a augmenté on parle de fronde
gravitationnelle , la sonde a changé de direction derrière la planète, si elle a diminué, la sonde a alors changé
de direction devant la planète, on parle d’assistance gravitationnelle
vs’-vp
vs’
vP
vs-vp
vs
10) Désorbitation
Sans atmosphère (cas de la lune), il faudra décélérer donc dépenser de l’énergie. Avec atmosphère, on peut dépenser moins
d’énergie.
Un satellite S de masse m décrit autour de la terre assimile à un astre à symétrie sphérique une orbite circulaire de rayon r
1) Exprimer en fonction de r,m,G constante universelle de la gravitation et de la masse M de la terre
a) L’énergie potentielle de gravitation U de S
b) Son énergie cinétique K dans le repère géocentrique
c) Son énergie mécanique E= K+U
2) Les hautes couches de l’atmosphère freinent légèrement S. Décrire l’évolution de la trajectoire de S sans nouveau calcul. On
partira du fait que l’énergie diminue.
3) Calculer la période T0 de révolution en fonction de r,G et M.
4) On admet que la force de frottement subie par le satellite est de la forme -m v. Quelle est la signification physique de la
grandeur  = 1/ ?
5) En supposant le frottement très faible (préciser), exprimer la variation relative par révolution r /r du rayon de l’orbite en
fonction de  et de la période T0 du mouvement non perturbé par le freinage.
On écrira la RFD en polaire projetée sur la direction orthoradiale et on en déduira la variation de r²d/dt. Puis on supposera que
la relation entre r et d/dt reste au premier ordre identique à celle qui existe sans frottement pour en déduire r/r
r ²  cst
Ec 
et  mr ²  
1
1 k
mr ² ² 
2
2 r
k
r²
car r 3 ² 
r 3 ² 
k
m
k
m
U  Ep  
k
r

1 d (r ² ) 
m  r  r ² ur 
u    m v   m rur  r u
r dt


dimension de  ?  mv  ma  v  a     T 1



projection orthoradiale
d
( r ² )   r 2
dt
E  Ec  U  
k
2r

r ²  r (t  0)² (t  0)e  t , on n'utilisera pas la projection radiale
calcul de  (t )
en première approximation r 3 ² 
k
r ²  r (t  0)² (t  0)e  t   
m
3
k
    r (t  0)² (t  0)
m


1/ 3
k
r  
m
k
m
2/3
 t
k
2 / 3
 4 / 3  r (t  0)² (t  0)e  t  1/ 3   
m
 e 
3
 2 / 3
3
3
k
   r (t  0)² (t  0)
m

r (t  0)² (t  0)e  t
 e 
3
3 t
3
 3t
k
 e
 mr (t  0)² (t  0) 
 (t )  
calcul de r(t)
r ²  r (t  0)² (t  0)e  t or en première approximation r 3 ² 
r ²  r (t  0)² (t  0)e  t  r ²
k
 
m
k 3 / 2
r
 r (t  0)² (t  0)e  t 
m
m
r (t  0) 4  (t  0) 2 e 2 t
k
m
dr  2 r (t  0) 4  (t  0) 2 e 2 t dt  2 r (t )dt
k
k 3 / 2
r
m
k 1/ 2
r  r (t  0)² (t  0)e  t 
m
 r (t ) 
le temps de chute est solution de l'équation :
RT 
r  2 rdt
m
( RT  h) 4  (t  0) 2 e 2  temps _ chute
k
calcul de v(t)
r ²  r (t  0)² (t  0)e  t
rv  r (t  0)v(t  0)e  t
k
k
k
or r 3 ² 
v²r 

 r (t  0)v(t  0)e  t
m
m
mv
m
dv(t )  
et dt v   vT
kr (t  0)v(t  0)
v(t ) 
m
e t
kr (t  0)v(t  0)
remarque :
k
 2 Lnr  Ln  cst   t et 3Lnr  2 Ln  cst
m
dr d
dr
d
dr
d
2 
  dt et 3  2
 0 3  2
r
r
r



  2  d d
   1  d


  dt    
  dt 
 2 
r

  3  
   3  
 
 2T
r

 

dr 3 dr
1 dr
  dt   et
  dt 
 et 2 

r 2 r
 
2 r

r ²  r0 ² 0 e  t et r 3 ² 
IV) Voir Analyse documentaire : Mouvement d’une particule dans un champ de force
newtonien électrostatique répulsif, Paramètre d’impact, Distance d’approche minimale.
V) Force électrostatique attractive. Modèle des hydrogénoïdes de Bohr Rappel
On rappelle qu’un atome hydrogénoïde est un atome à un seul électron
On rappelle l’expression de la force électrostatique d’interaction entre deux particules de charges q 1 et q2 
q q u12 q1 q2 u r
M1M 2
F 12   F 21  1 2

u r  u12 
4 0 r ²
4 0 r ²
M1M 2
ou u12 est un vecteur unitaire dans la direction de 1 vers 2 et r la distance mutuelle des deux particules
0 est la permittivité du vide.
qq 1
d
L’énergie potentielle associée est E p  1 2
F   E p ur
4 0 r
dr
Soit un noyau de charge + Z.e et de masse M et un seul électron de charge -e et de masse m ( avec e > 0)
constituant un système isolé. On suppose que l’électron décrit un cercle de rayon r autour du noyau qui
reste immobile en O (M>>m )
 est la vitesse angulaire de rotation de l’électron qui est constante. On note aussi M la position de
l’électron sans la confondre avec la masse du noyau.
1) Déterminer le module du moment cinétique LO  OM  v de l’électron en O en fonction de , m et r
On devra regarder sur le net à quoi correspond le produit vectoriel.
2) Le module du moment cinétique est quantifié (hypothèse de Bohr) il a pour valeur n *h / (2 *) où n est
h
un entier strictement positif et h est la constante de Planck.  = n
2
Exprimer r en fonction de e, 0, n, h, m, Z. on utilisera la RFD.
3) Sachant que l’énergie du système se compose d’un terme d’énergie cinétique et d’un terme d’énergie
potentielle d’origine coulombienne, montrer que
E* = -R∞ hc Z² /n2 où R∞ est une constante que l’on calculera.
vr
ur
O
d
u
dt u
e- de masse m en M : OM  rur
r
uz
Noyau de masse M>>m en O
Ze² u r
 d 
 ma  m(r 
 ) ur
4 0 r ²
 dt 
Ze² 1
 d 
 mr 
 (rel 1)
4 0 r ²
 dt 
d
h
d
nh
  mr ²
n
condition de quantification de Bohr

( rel 2)
dt
2
dt 2 mr ²
2
PFD F noyau e  
 nh  4 0
r  m

 2 m  Ze²
2
2
2
Ze² 1
 nh 
 m
 r
4 0 r ²
 2 mr ² 
r
n² h²  0
 m Ze²
Ze² 1 1
Ze² 1 1
Ze² 1 1 Ze² 1
1 Ze² 1
 d 
E
 mv ²  
 mr ² 


 
4 0 r 2
4 0 r 2
4 0 r 2 4 0 r
2 4 0 r ²
 dt 
E Z²
Ze²  m Ze²
Z ²e 4 m 1
E

 0
8 0 n² h²  0
8 0 ² h² n²
n²
2
1
4 0
 9 10
1
9
0
2
 4 9 10
1
9 2
    4 9 10 
 0 
9
4
1.6 1019  9.1 1031

1.6  1076 9.1 1031
e4 m 1
9 2
E0 

4 9 10  
16 ² 81 1018
2 
2

68

34
8 h ²  0 ²
8   6.62  10
8   6.62 10 
4

1.6 
8
4
9.1 16  ² 81
 6.62 
2
18 31 76  68
10

1.6 
4
9.1 2  ² 81
 6.62 
2
10183176 68 
9.53 104
1021
43.8
2.18 1018
eV  13.6 eV
1.6 1019
on verra plus loin dans le cours que pour avoir l'énergie de l'atome on devrait remplacer
Mm
m par la masse réduite  =
ou M est la masse du noyau hydrogénoide
M+m
( du proton si l'atome est un atome d'hydrogène)
 2.18 103 1021 J 
Mais celà change peu le résultat car meme dans le cas le plus défavorable de l'atome d'hydrogène
le proton est de l'ordre de 2000 fois plus lourd que l'électron