TD moment cinétique d`un point matériel

TD moment cinétique d’un point matériel
Force centrale
M
v
m
O
M
Les conditions initiales sont les suivantes masse m immobile masse m animée d’une vitesse orthoradiale v 0
et distante de O de r0
 r0 v0  r ²
  r0 v0  r ²


 

 r  r ²  T    r  r ²  T 

m  
m 
 Mr  T  Mg   Mr  T  Mg 

 

on prend les memes masses pour simplifier


 r0 v0  r ²



2

 r0 v0 
 r0 ²v0 ² 
 r  r ²   T    r0 v0  r ²

2
r

r

 r ²    g  2r   r 3    g

m   r  r ²  r  g 






T
 r   g

m


 r ²v ² 
sur cette équation on peut rechercher la possibilité d'un mouvement circulaire r=cst r  0  0 30   g soit v 0 ²  gr0
 r 
 0 
r ²v ²
r ²v ²
r ²v ²
v ²
 r ²v ² 
2rr   r 0 3 0   gr  0  r ²  0 20  gr  cst  r ²  0 20  gr  0 20  gr0  0  gr0
2
r
2
r
2
r
2
r


0
Mouvement d’une sphère au bout d’un fil
Une sphère de petite taille et de masse m=0.1kg est attachée à l’extrémité d’un fil de longueur l 0 en O. Elle
se déplace sur un cercle horizontal de rayon l 0 . sa vitesse est v0=1.0m.s-1
1) Déterminer son moment cinétique par rapport à O puis par rapport à Oz
2) On réduit brutalement la longueur du fil àl1=0.5m . Que devient la vitesse de la sphère ?
3) Comparer les énergies cinétiques avant et après
4) Quelle force provoque l’augmentation de l’energie cinétique . Commenter.
Orbite de transfert de Hohmann
Orbite de transfert On se propose d’étudier le transfert d’un engin spatial depuis une orbite
circulaire de rayon r1 effectuée à la vitesse v1 autour du soleil jusqu’à une orbite plus externe r 2
effectuée à la vitesse v2. La trajectoire de transfert est une ellipse tangente aux orbites circulaires en P
et en A. Soient vp et vA les vitesses de l’engin sur l’orbite de transfert au périgée et à l’apogée
respectivement, déterminer le signe de vp - v1 et de v2 - vA . On raisonnera en termes d’énergies.
Montrer que VA<V2<V1<VP
C’est à dire que l’on accélère sur l’orbite interne ce qui nous met sur le périgée d’une ellipse de
transfert.
A
Quand on atteint l’apogée de l’ellipse de transfert la vitesse a naturellement diminué loi des aires puis
on accélère encore ce qui nous met sur l’orbite externe circulaire
Cette orbite correspond à une vitesse linéaire et angulaire plus faible que l’orbite interne.
Entre le périgée et l’apogée de l’orbite de transfert on aura éteint les moteurs la vitesse aura
naturellement diminué puisque c’est au périgée qu’elle est la plus grande et à l’apogée qu’elle est la
plus faible
C
P
mMG
mMG  
MG
1

 2 mv1 ²  r   2r   v1 ²  r

1
1
1

 

1
mMG
mMG  
2 MG MG 
 2 mvP ²  r   2a   vP ²  r  a 
P
P


 comme 2 a = r  r
P
A
1
mMG
mMG  
2 MG MG 
mv
²



v
²


A

  A

rA
2a  
rA
a 
2
1

mMG
mMG  
MG
 2 mv2 ²  r   2r   v2 ²  r


2
2
 
2

v1 ²
1
1
 v1 ²



 MG  r

 (a ) MG  r

1
1




 vP ²



rA
vP ²
r2
2
2
 
2
2


 (b)

MG rP rP  rA
rP  rP  rA  
MG
r1  r1  r2  




v ²



rP
r1
2
2
v ²
A
 
2


 (c ) A  2

rP  rP  rA  
r1  r1  r2  
 MG rA rP  rA
 MG
 v ²



v ²
1
1
 2 

 (d ) 2 

MG r2
 MG r2



2r2  r1  r2 (a ) et (b)  vP ²  v1 ²  vP  v1
2r1  r1  r2 (c) et (d )  v A ²  v2 ²  v A  v2
On a d'autre part (b) et (c) et r1 <r2  v A  vP
et encore (a) et (d) et r1 <r2  v1  v2
tout ceci donne bien
vP  v1  v2  v A
Désorbitation
Sans atmosphère (cas de la lune), il faudra décélérer donc dépenser de l’énergie. Avec atmosphère, on peut dépenser moins
d’énergie.
Un satellite S de masse m décrit autour de la terre assimile à un astre à symétrie sphérique une orbite circulaire de rayon r
1) Exprimer en fonction de r,m,G constante universelle de la gravitation et de la masse M de la terre
a) L’énergie potentielle de gravitation U de S
b) Son énergie cinétique K dans le repère géocentrique
c) Son énergie mécanique E= K+U
2) Les hautes couches de l’atmosphère freinent légèrement S. Décrire l’évolution de la trajectoire de S sans nouveau calcul. On
partira du fait que l’énergie diminue.
3) Calculer la période T0 de révolution en fonction de r,G et M.
4) On admet que la force de frottement subie par le satellite est de la forme -m v. Quelle est la signification physique de la
grandeur  = 1/ ?
5) En supposant le frottement très faible (préciser), exprimer la variation relative par révolution r /r du rayon de l’orbite en
fonction de  et de la période T0 du mouvement non perturbé par le freinage.
On écrira la RFD en polaire projetée sur la direction orthoradiale et on en déduira la variation de r²d/dt. Puis on supposera que
la relation entre r et d/dt reste au premier ordre identique à celle qui existe sans frottement pour en déduire r/r
Vitesses cosmiques
1) On appelle première vitesse cosmique la vitesse que devrait avoir un satellite qui aurait une orbite
rasante de rayon R autour d’un astre de masse M. Calculer vC1
2) On appelle seconde vitesse cosmique la vitesse minimum que l’on doit communiquer à un projectile
pour qu’il puisse s’éloigner indéfiniment de l’astre. Calculer VC2, la direction du tir a-t-elle une
importance ?
De quel type de trajectoire s’agit-il ?
L’énergie cinétique de translation des molécules à pour expression 3/2k BT ou kB=R/Na , quelle devrait être
la température de la terre pour que son atmosphère s’échappe , commenter . R = 8.314 J.K-1mol-1
3) Les satellites sont préférentiellement lancés depuis l’équateur pourquoi ?
4) On définit la troisième vitesse cosmique comme celle que l’on doit communiquer depuis la terre à un
projectile, vitesse mesurée dans le référentiel géocentrique, pour qu’il quitte le système solaire.
Montrer qu’elle obéit à :


MS
MT 
GM T
1

mv ²  Gm

0
v3  v 
 35km / s
 MS
2
MT 
TS


v1 
MG
 gR
R
1
mMG
2MG
mv2 ² 
v2 
orbite parabolique 1er état de diffusion
2
R
R
32 103 2 10 6400 103 2 320 6400 2 3.2 * 6.4
3
1
1
1
1
1
k B T  mv1 ²  T 
mv1 ²  T 
mN A v1 ² 
M O 2 v1 ² 
M O 2 2 gRT 


*105
2
2
3k B
3k B N A
3RJ
3RJ
3 8.314
24
24
E0
T  1.5 105 
On semble être à l’abri mais il faudrait faire un calcul en terme de distribution de Boltzmann, les molécules
de l’atmosphère n’ont pas toutes la même vitesse et si une molécule qui avait bénéficié d’une succession de
chocs qui l’aurait accélérée et se retrouvait à haute altitude, il faudrait voir si statistiquement la vitesse serait
suffisante pour qu’une déperdition notable ait lieu.
 M
M T 
1
S
mv ²  Gm 

 0 premier état de diffusion dans le potentiel de la terre et du soleil vitesse exprimée dans le référentiel de Copernic
 MS
2
MT 


dans le référentiel de la terre il faut enlever la vitesse de la terre , on suppose les deux vitesses colinéaires.
v3  v 
GM T
TS
 35km / s
Astéroïde, état de diffusion
On étudie le mouvement d’un astéroïde M se rapprochant de la terre de centre O en provenant de l’infini. On
note r la distance OM. L’étude est effectuée dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen
1) Quelle est la nature du mouvement de M après avoir dépassé la terre quand r tend vers l’infini
2) On note v0 la vitesse à l’infini et b le paramètre d’impact, exprimer le moment cinétique et montrer
qu’il est conservé. Calculer grâce à la conservation de l’énergie la distance minimale d’approche.
3) Si on note RT le rayon de la terre quelle est la vitesse minimale pour éviter la collision.
Le mouvement est une branche d’hyperbole loin du foyer
LO,z=bv0 =rAvA
2
1
1
mMG 1  bv0  mMG
0  E  mv0 ²  mv A ² 
 m
 
2
2
rA
2  rA 
rA
2
 bv  2MG
v0 ²   0  
rA
 rA 
rA ²v0 ²  b²v0 ²  2MGrA
rA ²v0 ²  2MGrA  b ²v0 ²  0
2MG  4M ²G ²  4v0 b²
4
rA 
2v0 ²
2MG  4 M ²G ²  4v0 b²
4
pour éviter la collision v0 doit etre inférieur à la valeur déterminée par cette équation : RT 
2v0 ²