03 - Comparaison des nombres décimaux

Cours 6ème – Chapitre III
2014
Comparaison des nombres décimaux
I. Repérage sur une demi-droite graduée
1°) Demi-droite graduée
Définition 1 : On appelle demi-droite graduée, une demi-droite sur laquelle sont fixées :
- un point appelé origine de la demi-droite graduée ;
- une unité de longueur que l’on reporte à partir de l’origine ;
- un sens.
Exemple :
ORIGINE
SENS
A
B
0
1
2
3
5
4
6
Unité de longueur
[AB) est une demi-droite graduée d’origine A, d’unité de longueur AB (2 carreaux) et
de sens de A vers B.
2°) Abscisse d’un point
Définition 2 : Sur une demi-droite graduée :
- chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse.
- à chaque nombre correspond un point.
Exemple :
A a pour abscisse 2 ;
L’abscisse du point B est 3,5 ;
5,7 est l’abscisse du point C ;
Placer les points E et F d’abscisses 2,5 et 4.
O
0
A
1
E
B
F
2 2,5 3 3,5 4
C
5 5,5 6
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Remarque : L’origine d’une demi-droite graduée a pour abscisse 0.
Notation:
B (3,5)
A (2)
C (5,5)
E (2,5)
F (4)
O (0)
3°) Portion de demi-droite graduée
Définition 3 : Une portion de demi-droite graduée est un agrandissement d’une partie de la
demi-droite graduée (c’est-à-dire qu’on ne voit pas l’origine).
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
Intérêt : Permettre d’avoir un agrandissement afin d’éviter un groupement de points. Par
exemple il est plus pratique de placer 13 points sur 10 cm que sur 1 cm.
II. Ordre et comparaison de nombres décimaux
Notation :
Le signe « < » signifie « est inférieur à ».
Le signe « > » signifie « est supérieur à ».
Le signe « = » signifie « est égal à ».
Remarque : La pointe du chevron indiquera toujours le plus petit nombre.
Définition 4 : Comparer deux nombres décimaux, c’est dire s’ils sont égaux ou si l’un est plus
petit ou plus grand que l’autre.
Ex :
2,3 = 2,30
4,6 < 4,7
8,4 > 7,9
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Règle n°1 : Quand deux nombres ont des parties entières différentes, le plus petit est celui qui
a la plus petite partie entière.
Ex :
5,32 < 6,54 car 5 < 6
Règle n°2 : Quand deux nombres ont des parties entières égales, on compare leur partie
décimale.
Ex :
Comparer 3,452 et 3,46 :
3,452 < 3,460
Comparer 5,09 et 5,1 :
5,09 < 5,10
Remarque : On complétera les parties décimales avec des zéros inutiles pour nous aider.
Définition 5 :
Ranger des nombres par ordre croissant c’est les ranger du plus petit au plus grand.
Ex : 4,2 < 4,25 < 4,35 < 4,6
Ranger des nombres par ordre décroissant c’est les ranger du plus grand au plus petit.
Ex : 4,6 > 4,35 > 4,25 > 4,2
III. Encadrement de nombres décimaux
Définition 6 : Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand.
Exemple :
1 < 3,14 < 10
Remarque : L’encadrement de l’exemple précédent n’est pas très précis, il faut trouver des
méthodes pour que l’encadrement soit le plus précis possible.
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Valeur
approchée par
défaut
Encadrement
Valeur approchée
par excès
A l’unité
3
3 < 3,141 < 4
4
Au dixième
3,1
3,1 < 3,141 < 3,2
3,2
Au centième
3,14
3,14 < 3,141 < 3,15
3,15
Ex :
Donner un encadrement à l’unité près de 10,04
→
10 < 10,04 < 11
Quelle est la valeur approchée par défaut à l’unité près de 10,04 ?
La valeur approchée à l’unité près par défaut de 10,04 est 10.
Remarque : Les valeurs approchées par défaut sont également appelées de troncatures.
Ex : La troncature au dixième de 14,92 est 14,9.
14,9 | 2
On place un trait après le chiffre des dixièmes et on oublie ce qu’il y a après.
Remarque : « TRONCATURE = TRONCONNEUSE », donc COUPER.
Définition 7 : Un arrondi est la valeur approchée par défaut ou par excès la plus proche de la
valeur exacte.
Ex : Un arrondi à l’unité de 7,8 est 8. En effet, la valeur approchée par défaut de 7,8 est 7, et sa
valeur par excès est 8.
7
7,8
0,8
8
0,2
Avec la demi-droite
graduée, on voit que 7,8
est plus proche de 8.
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Règle :
Pour faire un arrondi à l’unité, on regarde le chiffre des dixièmes.
Si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l’arrondi est la valeur approchée par défaut
Sinon, si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors l’arrondi est la valeur approchée par excès.
Remarque :
pour un arrondi au dixième, on regarde le chiffre des centièmes.
pour un arrondi au centième, on regarde le chiffre des millièmes.
etc.…
Exemple :
L’arrondi au dixième de 13,456 est 13,5 car son chiffre des centièmes est 5 (V.A. par
excès)
L’arrondi à l’unité de 937,15 est 937 car son chiffre des dixièmes est 1 (V.A. par défaut)
Notation:
13,456 ≈ 13,5
937,15 ≈ 937
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