Cinématique du solide - TPWorks

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Cinématique du solide
Mécanique
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I Présentation :
La cinématique est l'étude des mouvements de solides, abstraction faite des causes qui les
produisent.
II Mouvement :
La notion de mouvement est relative, il est impératif de préciser le repère ou solide de
référence. On note M
vt1/0
, le mouvement du solide 1 par rapport au solide ou repère 0.
III Trajectoire :
Courbe générée par un point M, lors du mouvement d'un solide.
On note T
M∈1/0
, la trajectoire de M appartenant au solide 1 dans son mouvement par rapport
au solide 0.
IV Vecteur vitesse du point M d'un solide :
On note
1/0M
V
∈
, le vecteur vitesse du point M, appartenant au solide 1 dans son mouvement
par rapport au solide 0.
Caractéristiques du vecteur vitesse
- son origine est au point M
- son support (direction) est tangent à la trajectoire, soit :
• colinéaire à la trajectoire pour un mouvement de translation rectiligne
• tangent au cercle ( perpendiculaire au rayon OM ) pour un mouvement de rotation
- son sens est celui du mouvement
- sa norme est (dans le cas d'un mouvement de rotation de centre O)
1/0
1/0M
. OM V ω =
∈
avec
m/s en V
1/0M∈
ou OM est en m et ou rad/s en
1/0
ω
Rappel :
tr/min en rotation de fréquence : N N
60
2
1/01/01/0
π
ω =
( moyen mnémotechnique : V = R. ω )
V Mouvement de translation rectiligne
Un solide est en translation dans un repère
lorsque deux bipoints distincts BC et AB de ce
solide, gardent des directions constantes au
cours du mouvement.
Pour un mouvement de translation rectiligne, la
trajectoire de chaque point du solide est une
droite.
Propriété :
- Tous les points du solide ont même vitesse au
même instant.
C
B
A
Funiculaire
O x
y
1/0C1/0B T T ∈∈ =
1/0C
V∈
1/0B
V∈
1/0A
V∈
C
0
B
0
A
0
1/0A
T∈

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VI Mouvement de translation circulaire
Le mouvement de translation circulaire est
une translation au cours de laquelle un point
quelconque lié au solide décrit une trajectoire
circulaire.
Les trajectoires de A, B, C ont pour centres
respectifs A
0
, B
0
, C
0
et ont
même rayon A
0
A = B
0
B = C
0
C.
Propriété :
- Tous les points du solide ont même vitesse
au même instant
VII Mouvement de rotation (ou circulaire)
Un solide est en rotation autour d'un axe ∆ lorsque deux points distincts du solide coïncident
en permanence avec deux points de l'axe ∆.
Propriétés :
- Tous les points du solide ont même vitesse angulaire
1/0
ω
.
- Les vecteurs vitesses sont proportionnels à leur distance à l'axe de rotation Oz.
- Les vecteurs vitesses appartenant à une même trajectoire ( ou situés sur la même
circonférence) ont même norme.
VIII Relation de composition des vitesses
OC
V
OB
V
OA
V
1/0C1/0B1/0A
1/0
∈∈∈
=== ω
1/0C
V
∈
1/0A
V
∈1/0B
V
∈
O B
A
C
1/0
ω
Nacelle
B
0
C
0
A
0
y
x
C
B
1/0C
V∈
A
1/0A
V
∈
1/0B
T∈
1/0B
V∈
1/0A
T∈
1/0C
T∈
y
x
A
Vent 1
2/1A
V
∈
1/0A
V
∈
2/0A
V
∈
Ballon 2
Sol 0
1/0A2/1A2/0A
VVV
∈∈∈
+=

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IX Mouvement plan sur plan
Deux solides sont en mouvement plan sur plan lorsqu'un plan réel ou fictif de l'un reste
constamment en contact avec un plan réel ou fictif de l'autre.
X Equiprojectivité des vitesses d'un solide
La projection orthogonale du vecteur
1/0A
V
∈
sur la droite AB est égale à la projection
orthogonale du vecteur
1/0B
V
∈
sur la même droite AB (équiprojectivité)
BK AH AB .V AB .V
cos . V cos . V AB .V AB .V
cos . AB . V cos . AB . V AB .V AB .V
1/0B1/0A
1/0B1/0A1/0B1/0A
1/0B1/0A1/0B1/0A
=⇔=
=⇔=
=⇔=
∈∈
∈∈∈∈
∈∈∈∈
βα
βα
Application
Pour un solide en mouvement plan il suffit de connaître complètement une vitesse et la
direction d'une autre pour déterminer toutes les vitesses de ce solide.
XI Centre Instantané de Rotation C.I.R.
Pour tout solide en mouvement plan, il existe un point I et un seul ayant une vitesse nulle
(
)
0 V
1/0I
=
∈
à l'instant considéré et appelé Centre Instantané de Rotation (C.I.R.)
1/0B
V
∈
1/0A
V
∈
A
B
K
H
β
α
Direction du vecteur
vitesse déterminée lors
d'une étude antérieure
I
1/0I∈
1/0B
V
∈
1/0B'
V
∈
1/0A
V
∈
B
B'
A Direction du vecteur
vitesse déterminée lors
d'une étude antérieure
IB
V
IB'
V
IA
V
1/0B1/0B'1/0A
1/0
∈∈∈
=== ω