TD4 - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

Université Pierre & Marie Curie
UE 3M245 – Probabilités élémentaires
Licence de Mathématiques L3
Année 2016–17
TD4. Indépendance, probabilités conditionnelles.
Variables aléatoires à densité.
1. Que peut-on dire d’un événement qui est indépendant de lui-même ?
2. Faux positifs Une maladie M affecte une personne sur 1000 dans une population donnée. Un test sanguin permet de détecter cette maladie avec une fiabilité de 99% (lorsque
cette maladie est effectivement présente). En revanche, pour un individu sain, la probabilité que le test soit positif est de 0.1% (on dit que 0.1% est le taux de faux positifs). Si
un test est positif, quelle est la probabilité que l’individu soit réellement malade ?
3. Une généralisation de l’exercice précédent Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé.
Soit (Bi )1≤i≤n une partition de Ω en n événements de probabilité non nulle. Montrer que
pour tout A ∈ F de probabilité non nulle, et pour tout i,
P(A|Bi )P(Bi )
.
P(Bi |A) = Pn
i=1 P(A|Bi )P(Bi )
4. Une application de l’exercice précédent : Let’s make a deal Dans un jeu
télévisé, un joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’elles se trouve
une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Le joueur doit choisir
une porte puis le présentateur ouvre une des deux portes restantes : elle cache une chèvre.
Le candidat a alors le droit ou bien d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou bien
d’ouvrir la troisième porte.
Que doit-il faire pour maximiser ses chances de gagner la voiture ? Quelles sont alors ses
chances de gagner la voiture ?
5. On effectue des lancers successifs et indépendants d’une pièce qui tombe sur pile avec
probabilité p et sur face avec probabilité 1 − p.
a) Décrire le modèle probabiliste utilisé pour modéliser cette situation.
b) On appelle T1 le numéro du premier lancer où l’on obtient pile. Déterminer la loi de
T1 .
1
c) Pour tout i ≥ 1, on appelle Ti le numéro du lancer où l’on obtient pile pour la i-ième
fois. Déterminer la loi de Ti pour tout i ≥ 1.
d) Calculer la probabilité que pile ne sorte jamais.
6. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p ∈]0, 1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de
fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0.
7. Soient α, β ∈]0, 1[ deux réels. Pour tout (i, j) ∈ N2 , on pose pi,j = αβ(1 − α)i (1 − β)j .
a) Montrer qu’en posant P({(i, j)}) = pij pour tout (i, j) ∈ N2 , on définit une mesure
de probabilités sur N2 muni de la tribu P(N2 ).
Pour tout (i, j) ∈ N2 , on pose X((i, j)) = i et Y ((i, j)) = j.
b) Déterminer la loi de X et la loi de Y .
c) Calculer P(X < Y ), P(X = Y ) et P(X > Y ).
8. Un exemple d’urne de Polya. Une urne contient au départ 5 boules blanches et 7
noires. Chaque fois que l’on tire une boule, on la réintroduit en rajoutant deux nouvelles
boules de la même couleur que celle tirée. Quelle est la probabilité que les deux premières
boules tirées soient noires ? Que la deuxième boule tirée soit noire ?
9. Loi gaussienne Rappeler la densité de la loi N (µ, σ 2 ). Soit X ∼ N (µ, σ 2 ), quelle est
la loi de X−µ
.
σ
10. Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de − log U .
11. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ. Soit c > 0 un réel.
Déterminer la loi de cX.
12. On rappelle qu’une variable aléatoire X de loi de Cauchy standard admet pour
fonction de répartition FX définie par :
∀ x ∈ R,
FX (x) =
1 arctan x
+
.
2
π
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y =
déterminer sa densité.
2
1
.
X2
Si elle existe,