TD4 - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE 3M245 – Probabilités élémentaires Année 2016–17
TD4. Indépendance, probabilités conditionnelles.
Variables aléatoires à densité.
1. Que peut-on dire d’un événement qui est indépendant de lui-même ?
2. Faux positifs Une maladie Maffecte une personne sur 1000 dans une population don-
née. Un test sanguin permet de détecter cette maladie avec une fiabilité de 99% (lorsque
cette maladie est effectivement présente). En revanche, pour un individu sain, la proba-
bilité que le test soit positif est de 0.1% (on dit que 0.1% est le taux de faux positifs). Si
un test est positif, quelle est la probabilité que l’individu soit réellement malade ?
3. Une généralisation de l’exercice précédent Soit (Ω,F,P)un espace probabilisé.
Soit (Bi)1≤i≤nune partition de Ωen névénements de probabilité non nulle. Montrer que
pour tout A∈ F de probabilité non nulle, et pour tout i,
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)
Pn
i=1 P(A|Bi)P(Bi).
4. Une application de l’exercice précédent : Let’s make a deal Dans un jeu
télévisé, un joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’elles se trouve
une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Le joueur doit choisir
une porte puis le présentateur ouvre une des deux portes restantes : elle cache une chèvre.
Le candidat a alors le droit ou bien d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou bien
d’ouvrir la troisième porte.
Que doit-il faire pour maximiser ses chances de gagner la voiture ? Quelles sont alors ses
chances de gagner la voiture ?
5. On effectue des lancers successifs et indépendants d’une pièce qui tombe sur pile avec
probabilité pet sur face avec probabilité 1−p.
a) Décrire le modèle probabiliste utilisé pour modéliser cette situation.
b) On appelle T1le numéro du premier lancer où l’on obtient pile. Déterminer la loi de
T1.
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c) Pour tout i≥1, on appelle Tile numéro du lancer où l’on obtient pile pour la i-ième
fois. Déterminer la loi de Tipour tout i≥1.
d) Calculer la probabilité que pile ne sorte jamais.
6. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p∈]0,1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1prend une infinité de
fois la valeur 1et une infinité de fois la valeur 0.
7. Soient α, β ∈]0,1[ deux réels. Pour tout (i, j)∈N2, on pose pi,j =αβ(1 −α)i(1 −β)j.
a) Montrer qu’en posant P({(i, j)}) = pij pour tout (i, j)∈N2, on définit une mesure
de probabilités sur N2muni de la tribu P(N2).
Pour tout (i, j)∈N2, on pose X((i, j)) = iet Y((i, j)) = j.
b) Déterminer la loi de Xet la loi de Y.
c) Calculer P(X < Y ),P(X=Y)et P(X > Y ).
8. Un exemple d’urne de Polya. Une urne contient au départ 5 boules blanches et 7
noires. Chaque fois que l’on tire une boule, on la réintroduit en rajoutant deux nouvelles
boules de la même couleur que celle tirée. Quelle est la probabilité que les deux premières
boules tirées soient noires ? Que la deuxième boule tirée soit noire ?
9. Loi gaussienne Rappeler la densité de la loi N(µ, σ2). Soit X∼ N (µ, σ2), quelle est
la loi de X−µ
σ.
10. Soit Uune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Déterminer la loi de −log U.
11. Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ. Soit c > 0un réel.
Déterminer la loi de cX.
12. On rappelle qu’une variable aléatoire Xde loi de Cauchy standard admet pour
fonction de répartition FXdéfinie par :
∀x∈R, FX(x) = 1
2+arctan x π.
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y=1
X2. Si elle existe,
déterminer sa densité.
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