MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 7.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 7.
Ex.1 On lance un dé (équilibré), et le résultat de l’expérience est noté X(qui est donc une
variable aléatoire). Calculez E(X).
Ex.2 Supposons que Xest une variable aléatoire de loi uniforme sur les entiers {1,2, . . . ,n},
c’est-à-dire,
P(X=k) = 1
n, k = 1,2, . . . ,n.
Calculez E(X)et E(X2).
Ex.3 Supposons que X∼Gp(loi géométrique de paramètre p). Calculez µ:= E(X)et
E((X−µ)2).
Ex.4 Supposons que X∼BNp;r(binomiale négative : compte le nombre d’expériences
nécessaire jusqu’à l’obtention du r-ème succès si chaque expérience a une probabilité de
succès égale à p). Calculez E(X).
Ex.5 On tire nboules (1≤n≤N), sans remplacement, d’une urne contenant Nboules,
dont N1sont noires. Quelle est le nombre moyen de boules noires tirées ?
Ex.6 Soit f(k) = 2−k,k∈N. Que vaut E(f(X)) si Xest une variable aléatoire de loi de
Poisson de paramètre λ?
Ex.7 Même question, avec cette fois-ci f(k) = k2−k.
Ex.8 Jean tire à pile ou face. Si c’est pile, il perd 4 euros. Si c’est face, son gain est donné
par le résultat du lancer d’un dé bien équilibré (et appartient à {1,2,...,6}). Définissez le
gain de ce jeu comme étant la variable Xet calculez
— sa fonction de répartition (cdf), et dessinez-en le graphe ;
— son espérance.
Ex.9 Dans l’exercice précédent, supposons que pile apparaît avec probabilité p, et face
apparaît avec probabilité 1−p. Si le second dé, lancé après un face, possède 10 faces portant
les nombres de 1à10, que doit valoir ppour que l’espérance de gain du jeu soit nulle ?
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