MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 7.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 7.
Ex.1 On lance un dé (équilibré), et le résultat de l’expérience est noté X (qui est donc une
variable aléatoire). Calculez E(X).
Ex.2 Supposons que X est une variable aléatoire de loi uniforme sur les entiers {1,2, . . . ,n},
c’est-à-dire,
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k = 1,2, . . . ,n.
P (X = k) = ,
n
Calculez E(X) et E(X 2 ).
Ex.3 Supposons que X ∼ Gp (loi géométrique de paramètre p). Calculez µ := E(X) et
E((X − µ)2 ).
Ex.4 Supposons que X ∼ BNp;r (binomiale négative : compte le nombre d’expériences
nécessaire jusqu’à l’obtention du r-ème succès si chaque expérience a une probabilité de
succès égale à p). Calculez E(X).
Ex.5 On tire n boules (1 ≤ n ≤ N ), sans remplacement, d’une urne contenant N boules,
dont N1 sont noires. Quelle est le nombre moyen de boules noires tirées ?
Ex.6 Soit f (k) = 2−k , k ∈ N. Que vaut E(f (X)) si X est une variable aléatoire de loi de
Poisson de paramètre λ ?
Ex.7 Même question, avec cette fois-ci f (k) = k2−k .
Ex.8 Jean tire à pile ou face. Si c’est pile, il perd 4 euros. Si c’est face, son gain est donné
par le résultat du lancer d’un dé bien équilibré (et appartient à {1,2, . . . , 6}). Définissez le
gain de ce jeu comme étant la variable X et calculez
— sa fonction de répartition (cdf), et dessinez-en le graphe ;
— son espérance.
Ex.9 Dans l’exercice précédent, supposons que pile apparaît avec probabilité p, et face
apparaît avec probabilité 1−p. Si le second dé, lancé après un face, possède 10 faces portant
les nombres de 1 à 10, que doit valoir p pour que l’espérance de gain du jeu soit nulle ?
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