Démonstration homologique des théorèmes de

Séminaire Henri Cartan
H ENRI C ARTAN
Démonstration homologique des théorèmes de périodicité de Bott, III
Séminaire Henri Cartan, tome 12, no 2 (1959-1960), exp. no 18, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1959-1960__12_2_A8_0>
© Séminaire Henri Cartan
(Secrétariat mathématique, Paris), 1959-1960, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire H. CARTAN - J. C. MOORE
12e
année, l 95 9/~ 0 9
18-01
n° 18
DÉMONSTRATION
9 mai 196 0
HOMOLOGIQUE DES
THÉORÈMES
DE
PÉRIODICITÉ
DE
BOTT,
III.
par Henri CARTAN
Dans cet
exposé, il nous reste à démontrer que les applications ~. ~ a ~ i ~6 )
définies dans l’exposé 16 induisent des isomorphismes pour l’homologie à coefficients
entiers.
torsion
Lorsqu’il s’agit d’espaces
(donc libre),
il revient
dont
l’homologie
même
de prouver que
à coefficients dans
induit
Z
est
sans
isomorphisme
pour les cohomologies à coefficients dans Z . Au lieu d’étudier l’application induite par
03A6i sur les homologies à coefficients dans Z 9 on pourra aussi considérer : 1° les homologies à coefficients dans
2° les homologies à coefficients
dans
au
il suffira de montrer que, dans chacun des deux cas,
des
la remarque de la fin du numéro 3 de
~~ ~
phisme
homologies ~ cf ,
pour montrer que
revient
au
induit
un
isomorphisme
même de montrer que ~.
induit
un
on
un
obtient
un
isomor-
l’exposé 16). Enfin,
des
homologies à coefficients
isomorphisme des cohomologies
~~
il
à coef-
ficients
.
Pour
~C ~ la démonstration d’isomorphisme a déjà
(théorème 5, page 10). On n’y revient pas.
été donnée dans
l’exposé
11
Démonstration pour $. ;
Considérons le diagramme
mutatif. En
cohomologie à
l’exposé 16 (no 4) ; on a vu qu’il
coefficients entiers, on obtient un diagramme
(03941)
(f~)~
(~) (g.)
de
est
com-
commutatif
est surjective, d’après (23) de l’exposé 17. Puisque
L’application
est bijective,
)
est surjective, donc
est surjective. Or les
deux algèbres graduées
et
sont libres
et ont même rang en chaque degré, d’après (SO) et
l’exposé 17 ; il s’ensuis
que l’application surjective (03A66)* est bijective.
(~)~
(~)~
C. Q e F. D.
Q( 50(Y)/V( Y) ) o
Démonstration pour 03A63 : U(Y)/Sp(X) ~
l’application (03A63)* des algèbres d’ homologie à coefficients dans Z est surjective ; en effet, les algèbres H (U(Y)/Sp(Y) ; Z) et
H*(03A9)(SO Y)/U(Y) ; Z) sont ,Z-libres et ont même rang en chaque degré, d’après
(17) et (&6) de l’exposé 17.
Il suffira de montrer que
V(Y ) l’application naturelle;
Soit p3 : 03A9(SO(Y)/U(Y) ~
défini ssons
h3
par
la commutativité du diagramme
Si
on se
ve une
réfère à la définition explicite de
explicitation
T] ~
[jn ~
teur
de
Y . Autrement
qui, à T ,
LEMME 1. -
la
multiplication
H
L’application
est.
composée
des
entiers),
~2k+l ~
e
on
sait
= -
1
U(Y)) . Si
que 03C3* :
opposé - ~k+1
~~
)~
diaprés
l’espace
dans
U(Y )
h’ :
on
H
’
multiplie
h’
applications
désigne l’application diagonale, P la loi de composition du
l’application T ~ T-1 , et a l’application T ~ - jd Tjd (qui
du groupe
trou-
le commuta-
induite par
A
phisme
(où
U(Y )
par j
l’application
(U(Y) ; Z) ~ H *(U(Y) ; Z)
a.,~ eH (U(Y) ~ Z) ~
DÉMONSTRATION. - L’application h’
0
~
on
T] .
par -" 2 chaque générateur
où
T
2),
numéro
à droite
est induit par
dit,
lu :
associe
[jd ,
(exposé 16,
associe à la classe de
h.. : h..
désigne
03A63
U(Y) ,
groupe
est endomor-
applique le fondeur d’homologie (à coefficients
transforme chaque générateur
(U(Y)) ~ H
(U(Y))
~~~ ~
~~ ~
la fin du numéro 2 de
~
a.~
l’exposé 17 ~
en
e ~ a~~.
il reste à déterminer
regarder quel est l’effet de 03B1* sur le générateur
a1 ; or l’élément T qui consiste à multiplier les coordonnées, dans l’espace Y ,
se transforme en la multiplication
donc
par
a. est
1 . Finalement, A transforme
changé, en - a1 , et par suite e
a4k+1 en
~k+1 ~ ~ ~ ~ ~ ~k+1 ~ si on applique ~ ~ ~~ ~ on obtient - a~~ ~ 1 - 1 ~ a~~
et
P transforme ceci en - 2a... ~ ce qui démontre le lemme 1~
e
Pour
cela,
il suffit de
ei03B8 ,
== -
part, on a vu en (87)(exp.l7) que
applique, en degré 4k + 1 , les "indécomposables"
(p3)* : H*(03A9(SO(X)/U(X)) ; Z) ~ H*(U(X)le: Z)
D’autre
double des
indécomposables
de la seconde. Par
de la
comparaison
première algèbre
avec
le lemme
1~
sur
on
voit
~
que
sur
(p )
induit
bijection des indécomposables de
l’image de (h )~ (modulo les décomposables). Il s’ensuit
(~ est
c’est
homomorphisme d’algèbres,
et
modulo
que
les
jective
est
une
décomposables,
un
comme
sur-
(~)~
surjective.
C.Q. F.D.
eY’)) .
pour ~ ~ B(Sp(Y)) -, Q(SU(Y@Y’)/Sp(Y
est homotopiquement
Considérons le diagramme (~) de l’exposé 16 (n° 4). Il
Démonstration
o
commutatif. En cohomologie à coefficients entiers,
on
obtient
un
diagramme
commu-
tatif
(03A60)*
l’exposé 17. Puisque
est surjective. Or
est bijective. il s’ensuit que
et
ont même rang en chaque degré, d’après (83)
ot H*(B(Sp(Y)) sont Z-libres et
est bijective.
surjective
(10) de l’exposé 17 0 Il s’ensuit que l’application
(f2)*
L’application
est
surjective, d’après (15)
de
(~)~
(~)
C.Q.F.D.
Démonstration
On
à
va
V)) .
pour 03A62 : BO(V) ~ 03A9(SU(VC ~ VC)/SO(V ~
montrer successivement que
coefficients
Q2 ,
et
03A62
un isomorphisme
des
isomorphisme des cohomologies
homologies à coefficients Z2 .
un
de l’exle diagramme
cohomologie à coefficients ~ , on considère
On obtient un diagramme
16 (numéro % ), qui est homotopiquement commutatif.
(A~)
Pour le
posé
induit
commutatif j
..
-
-
L’application
e st bijective,
-
17 . Pui sque
surjective, d’après ( 56 ) de l’exposé
e st surjective; or
s ’ ensuit que
(f3)*
il
-
e st
(V~ ) *
-
+o ).*
ont
même
££-rang
Il s’ensuit que
Pour
en
chaque degré, d’après
est bijective.
l’homologie
on se.
réfère
l’exposé
17.
(03A62)*
soit
à coefficients
l’application naturelle ; définissons
Si
et le numéro 9 de
(89)
à la
h~
définition explicite
par la commutativité du
de
~ (exposé 16 ,
diagramme :
numéro
2),
on
trouve
? V)
0~ S
0(V ? V)/0(V) xO(V) -~ 50 (V e V) provient de
la transqui associe à T e 0(V ? V) le commutateur [a, T] , où ce désigne
formation (x., y) - (- x , y) de V @ V . Il résulte de l’exposé 5 (théorème 1,
que
page
20)
que
(h~:
envoie les
V) ~ Z?) .
Puisque
espaces
sur
les
générateurs c~
de
Considérons le diagramme commutatif
(h~) (pr)) (~ )
est
o
=
d’indécomposables
H (SO(V ~ V) ; Z2)
H~(BO(V) ~~)
de
générateurs z~
ont
bijective
sur
les
indécomposables,
et que les
,
e
de
même rang
en
V))
;)
chaque degré (cf. (30)
et
et de
(89’)
dû
l’exposé
bijection des indécomposables. Comme c’est
est surjective. Or
applique une alun homomorphisme d ’ al gèbre s ,
gèbre graduée sur une algèbre graduée qui a même rang en chaque degré, d’après (47)
est bijective.
et (89~) de l’ exposé 17. Il s’ensuit que
17),
il s’ ensuit que
(~)
induit
une
(~)~
(~)
(~).
C. Q. F. D.
Démonstration pour 03A64 : U(VC)/O(V) ~ 03A9(Sp(VH)/U(VC) .
~~
/~~,
--
~~-
isomorphisme des cohomologies à
isomorphisme des homologies à coefficients
On montrera successivement que
coefficients
et
Q2
un
v4
induit
Un
Z2 .
cohomologie à coefficients Q2 , soit p4 : 03A9(Sp(VH)/U(VC) ~ U(VC)
la commutativité
l’application naturelle; définissons h4 Par
Pour la
Si
on se
réfère à la définition explicite de
par passage
associe le
de
T . On
quotient,
produit
au
a vu
en
(exposé 17,
2
provient,
h~
U(V~) ,
induite
2,
pour la démonstration du lemme
H*(U(VC) ; Z) ~ H*(U(VC) ; Z)
L’application
tiplie par -
trouve que
exemple) que l’application
par T~? envoie
fin du numéro
comme
on
qui, à T 6
notant ? la transformation "imaginaire conjurée"
l’application
de
HEn(U(V-)
? Z) -~H (U(V ) ;~)
raisonnant exactement
LEMME 2. -
~,
h~ :
du diagramme
1,
on
prouve le :
h’4 mul-
induite par
chaque générateur
Considérons alors le diagramme commutatif
D’après
le lemme
Il s’ensuit que
(84)
de
2,
et la
(03A64)*
l’exposé 17) y
Passons à
on
l’homologie
formule
est
à coefficients
est
l’exposé 17,
de
surjective ;
conclut que
l’exposé 16. (numéro 4), qui
commutatif
(74’)
en
(03A64)*
~ *
(h4)*
est
surjective.
(74’)
comptant les Q2-rangs (ci.
est bijective.
Considérons le diagramme
homotopiquement commutatif.
On
a
donc
(A~)
un
et
de
diagramme
D’après (75)
jà
(03A62)*
que
bres
l’exposé 17, l’application
de
est
bijective.
Il s’ensuit
graduées
(f4)* est
que (03A64)*
injective ; et on sait déest injective. Or les algèont
chaque degré,
est bijective.
en
d’après (75)
et
(84’)
Il
de
même rang
s’ensuit que
(03A64)*
C. Q. F. D.
Démonstration pour
$e : SO(X)/U(X)
n(SpinX) .
On montrera successivement que $ e induit un isomorphisme des cohomologies à
et un isomorphisme des homologies à coefficients
coefficients
Z~ .
Q~ ~
Pour la
(03945)
de
commutatif
cohomologie & coefficients ~ , considérons le diagramme
l’exposé l6 (numéro 4). On en déduit un diagramme commutatif
(~)
est
est surjective, d’après (70 ) ; et on sait que
L’application
est surjective. Or les algèbres graduées
bijective. Il s’ensuit que
ont même rang en chaque degré, d’après
et
(~)*
(81)
et
(69)
Passons à
est
un
de
l’homologie
(~)*
17. On conclut que
l’exposé
à
coefficients Z2 .
homomorphisme d’algèbres graduées,
est
bijective.
Puisque
et que
ces
algèbres
ont
même
rang
en
il suffira do montrer que
chaque degré (d’après ~’~l~ et (81’) de l’exposé 17),
est surjective modulo les éléments décomposables.
(~ )
le quotient d’une algèbre graduée A
posables ; on voit qu’il suffit de montrer
LEMME 3. -
est
L’application corapo sé e
surjective.
Notons
comme
d’habitude
décompar le sous-module des éléments
le :
DÉMONSTRATION
définie
comme
du lemme 3. - Pour
suit : identifions
structure
complexe
Soit
SO(2n
T e
a(e)
où
e =0
+
Cn+1 ,
à
ce
q ui définit
2) ;
on
lui
associe,
multiplication
6=2~ ; d’où f.
par
pour
chaque
e"~ .
On
a
03B8 ~
bien
[0 ,
[a(o) ~ T]
SO(2n + 2) ~ S2n+1 l’application qui associe à
T( 1 , 0 , ... , 0) . Plongeons SO(2n + 1) dans SO(2n + 2)
Soit
dans
p :
~~
la
sur
suivante :
est la
et
chaque entier n , considérons l’application
par
y~) ~(0 ~
... ,
=
1
pour
le
T
en
point
envoyant
... ,
y~) .
L’application composée
est la suivant e t à
T’ e
SO(2n + 1 )
associons Sabord
où 03C6 (à une composante) et ] (à 2n composantes) sont les applications définissant T’ ; puis faisons a(e) T a(- e) T .. 1 et prenons sa valeur au point
(1 , 0 , ... , 0) , Un calcul élémentaire montre que les coordonnées
du point obtenu sont données par les formules :
... , x’ , y’ )
(’,
et les formules
un
explicites ci-dessus permettent
homéomorphisme [on vérifie qu’étant donné
distinct de
(l ~ 0 ~
l’a
image ;
qui
comme
..~ ~
on
0) ~,
fait,
il existe
on a :
un
de vérifier facilement que
point
unique système
un
... ,
x’
(Q~~~.~~x ~y)
on
sin 03B8 2 / 0 ,
observe que
et
9
on
calcule ensuite les
Observons maintenant que 3:e commutateur
T
de
dans
et que
f
induite par
à
définir 03A65
(a(A)
.~
x.
i
et
.
1
T] ne dépend
par les relations
que de la classe
l’application
n’est autre que l’application (que nous noterons
qui a servi
(cf. exposé 16, n° 2). En résumée nous obtenons le diagramme commu-
t~ ~
tatif
où x et
jjL sont d e s
homéomorphismes.
application continue Sl * X -~Y ( X et Y
étant des espaces topolo giques ) , l’image de
se compose d’élément s primitif s de 1? homologie . Le diagramme précédent, auquel on applique l’ homologie à coefficients Z~ .~ permet alors de montrer, par récurrence sur n ~ que
Or il est classique que si
on a une
H Sl‘~. ~ -~ H Y
l’ image
se
de
l’application
~
compose de tous les éléments
primitifs
vrai à la limite
quand
n
tend
L’application
(~)~
se
factorise
et
les
puisque
la seconde de
degrés impairs ~3
vers
oo
dans les
degrés impairs 3 . Ceci
reste
a
comme
suit :
applications induit une bijection des primitifs dans
( cf . exposé 17, fin du numéro 7), il s’ensuit que v a
ces
18-09
pour
image l’espace, de tous less éléments primitifss de
Considérons
alors le diagramme commutatif
où
0
comme
désigne
la
bien connu,
homologie (le premier homomorphismo vertical est,
isomorphisme). Le deuxième homoiiorphisme vertical induit une
suspension
un
en
bijection de l’espace des "indécomposables"
sur
l’espace
des
primitifs
de
~) ,
ainsi que cela résulte du théorème V de 1’ exposé 7 (buméro 7). Et puisque
de 03BD se compose de tous les éléments primitifs, le lemme 3 s’ensuit.
l’image