Corrections - XMaths

Exercice 05
1°) On peut écrire (x - 1)2(x - 3) = (x2 - 2x + 1)(x - 3) = x3 - 3x2 - 2x2 + 6x + x - 3.
Donc (x - 1)2(x - 3) = x3 - 5x2 + 7x - 3 .
2°) On peut écrire :
f(x) = 1 ⇔ x3 - 5x2 + 7x - 2 = 1 ⇔ x3 - 5x2 + 7x - 3 = 0
⇔ x - 1 = 0 ou x - 3 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3
L'équation f(x) = 1 a deux solutions qui sont 1 et 3.
(On dit que 1 est une solution double)
⇔
(x - 1)2(x - 3) = 0
3°) Pour tout x ≠ 0, on peut écrire f(x) = x3 - 5x2 + 7x - 2 = x31 - 5 + 7 - 2 
 x x2 x3 
On a lim 5 = 0 ; lim 7 = 0 et lim 2 = 0 donc lim 1 - 5 + 7 - 2 = 1
x→-∞ x
x→-∞ x2
x→-∞ x3
x→-∞
x x2 x3
lim f(x) = -∞ .
De plus lim x3 = -∞ donc lim x31 - 5 + 7 - 2  = -∞ c'est-à-dire
x→-∞
x→-∞
x→-∞

x x2 x3
lim 5 = 0 ; lim 7 = 0 et lim 2 = 0 donc lim 1 - 5 + 7 - 2 = 1
De même
x→+∞ x
x→+∞ x2
x→+∞ x3
x→+∞
x x2 x3
De plus lim x3 = +∞ donc lim x31 - 5 + 7 - 2  = +∞ c'est-à-dire lim f(x) = +∞ .
x→+∞
x→+∞
x→+∞
 x x2 x3 
4°) f est dérivable sur IR et on a : f'(x) = 3x2 - 10x + 7
Le trinôme 3x2 - 10x + 7 a pour discriminant Δ = (-10)2 - 4 x 3 x 7 = 100 - 84 = 16
Δ > 0, donc f'(x) a deux racines qui sont x1 = 10 - 16 = 10 - 4 = 1 et x2 = 10 + 16 = 14 = 7 .
2x3
6
2x3
6 3
La règle du signe du trinôme permet de trouver le signe de f'(x) et donc le sens de variations de f.
On sait que f(1) = 1 (d'après la deuxième question) et on calcule
3
2
f7 = 7  - 5 x 7  + 7 x 7 - 2 = 343 - 245 + 49 - 2 = - 5
3 3 
3 
3
27
9
3
27
On obtient le tableau :
x
-∞
f'(x)
7
3
0
1
+
0
1
-
-5
27
5°) On peut déduire du tableau de variations précédent que:
● si k > 1 ;
l'équation f(x) = k a une solution unique.
● si k = 1 ;
l'équation f(x) = k a deux solutions. (voir deuxième question)
5 < k < 1 ; l'équation f(x) = k a trois solutions.
● si 27
5 ; l'équation f(x) = k a deux solutions.
● si k = 27
5 ; l'équation f(x) = k a une solution unique.
● si k < 27
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+
+∞
f
-∞
+∞