Corrections - XMaths

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Continuité
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Corrections
Exercice 05
1°) On peut écrire (x - 1)
2
(x - 3) = (x
2
- 2x + 1)(x - 3) = x
3
- 3x
2
- 2x
2
+ 6x + x - 3.
Donc (x - 1)
2
(x - 3) = x
3
- 5x
2
+ 7x - 3 .
2°) On peut écrire :
f(x) = 1 ⇔ x
3
- 5x
2
+ 7x - 2 = 1 ⇔ x
3
- 5x
2
+ 7x - 3 = 0 ⇔ (x - 1)
2
(x - 3) = 0
⇔ x - 1 = 0 ou x - 3 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3
L'équation f(x) = 1 a deux solutions qui sont 1 et 3.
(On dit que 1 est une solution double)
3°) Pour tout x ≠ 0, on peut écrire f(x) = x
3
- 5x
2
+ 7x - 2 = x
3
1 - 5
x + 7
x
2
- 2
x
3
On a
x →
-∞
lim 5
x = 0 ;
x →
-∞
lim 7
x
2
= 0 et
x →
-∞
lim 2
x
3
= 0 donc
x →
-∞
lim 1 - 5
x + 7
x
2
- 2
x
3
= 1
De plus
x →
-∞
lim x
3
= - ∞ donc
x →
-∞
lim x
3
1 - 5
x + 7
x
2
- 2
x
3
= - ∞ c'est-à-dire
x →
-∞
lim f(x) = -
∞ .
De même
x →
+∞
lim 5
x = 0 ;
x →
+∞
lim 7
x
2
= 0 et
x →
+∞
lim 2
x
3
= 0 donc
x →
+∞
lim 1 - 5
x + 7
x
2
- 2
x
3
= 1
De plus
x →
+∞
lim x
3
= + ∞ donc
x →
+∞
lim x
3
1 - 5
x + 7
x
2
- 2
x
3
= + ∞ c'est-à-dire
x →
+∞
lim f(x) = +
∞ .
4°) f est dérivable sur IR et on a : f'(x) = 3x
2
- 10x + 7
Le trinôme 3x
2
- 10x + 7 a pour discriminant Δ = (-10)
2
- 4 x 3 x 7 = 100 - 84 = 16
Δ > 0, donc f'(x) a deux racines qui sont x
1
= 10 - 16
2 x 3 = 10 - 4 6 = 1 et x
2
= 10 + 16
2 x 3 = 14 6 = 7 3 .
La règle du signe du trinôme permet de trouver le signe de f'(x) et donc le sens de variations de f.
On sait que f(1) = 1 (d'après la deuxième question) et on calcule
f
7
3 =
7
3
3
- 5 x
7
3
2
+ 7 x 7
3 - 2 = 343 27 - 245 9 + 49 3 - 2 = - 5 27
On obtient le tableau :
5°) On peut déduire du tableau de variations précédent que:
●
si k > 1 ; l'équation f(x) = k a une solution unique.
●
si k = 1 ; l'équation f(x) = k a deux solutions. (voir deuxième question)
●
si - 5
27 < k < 1 ; l'équation f(x) = k a trois solutions.
●
si k = - 5
27 ; l'équation f(x) = k a deux solutions.
●
si k < - 5
27 ; l'équation f(x) = k a une solution unique.
x -∞
1
7
3 +∞
f'(x)
+
0
-
0 +
1 +∞
f
-∞
-5
27