Annexe – Classes cyclotomiques :

SCHNEIDER
Jérôme
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Annexe – Classes cyclotomiques :
On se place dans un corps fini 
q
possédant q éléments. On suppose que q et n sont
premiers entre eux. Il s’agit de trouver les diviseurs de X
n
– 1 dans l’anneau 
q
[X].
On considère le corps K = R
n
(
q
) obtenu en adjoignant à 
q
l’ensemble des racines
n-ièmes de l’unité (qui sont toutes des racines simples du polynôme X
n
– 1, cf. Annexe –
Polynômes cyclotomiques).
Il existe, par construction, des racines primitives n-ièmes de l’unité dans K. Supposons
donnée α, l’une d’entre elles. On peut écrire dans K[X] :
X
n
– 1 =
∏
−)(
i
X α =
∏
−)(
i
X α (car α est une racine primitive)
Tout diviseur de X
n
– 1 dans K[X] s’écrira donc sous la forme :
g
Σ
(X) =
∏
−)(
i
X α , où Σ est une partie convenable de  /n.
Proposition : pour que g
Σ
soit à coefficients dans 
q
, il faut et il suffit que Σ soit stable
par multiplication par q.
Démonstration : Ecrivons g à la place de g
Σ
, pour simplifier. Si g est à coefficients dans
q
, alors chaque coefficient de g est stable par élévation à la puissance q-ième. Puisque
cette opération respecte aussi l’addition, on voit que g(X
q
) = (g(X))
q
; par conséquent,
l’ensemble des racines de g est stable par passage à la puissance q-ième, ce qui signifie que
Σ est stable par multiplication par q.
Réciproquement, si Σ est stable par multiplication par q, on vérifie aussitôt que
g(X
q
) = (g(X))
q
, et cela implique que les coefficients de g appartiennent à 
q
.
Ainsi, la détermination des codes cycliques de longueur n sur 
q
, que nous avons
ramenée dans un premier temps à celle des facteur de X
n
– 1 dans 
q
[X], revient en
définitive à celle des parties stables par multiplication par q de l’ensemble fini  /n. Si
on a choisi une telle partie Σ, le code correspondant est le sous-espace vectoriel de l’espace
des polynômes de 
q
[X] de degré strictement inférieur à n, formé des polynômes R
multiples de g
Σ
, c’est-à-dire tels que R(α
i
) = 0 pour tout i
∈
Σ .
Précisons encore un peu, pour être tout à fait clairs. Pour chaque élément j [mod n] de
 /n, notons Σ
j
la plus petite partie stable le contenant. Elle s’obtient de cette manière :
on considère le plus petit entier s > 0 tel que q
s
j
≡
j [n], et on prend Σ
j
= {j, qj, …, q
s-1
j}. On
a card Σ
j
= s.
Le polynôme g
j
correspondant à la partie Σ
j
est le polynôme minimal de la puissance α
j
de α . Pour un polynôme R
∈
q
[X], il est équivalent de dire qu’il est multiple de g
j
, ou
que R( α
j
) = 0, ou que R( α
i
) = 0 pour tout i
∈
Σ
j
. Les différents g
j
sont donc les facteurs
irréductibles de X
n
– 1 dans 
q
[X].
Les parties stables minimales Σ
j
sont souvent appelées les classes cyclotomiques. En
fait, la relation « il existe i avec q
i
j
≡
j’ » est une relation d’équivalence dans  /n, dont
les classes d’équivalence sont les classes cyclotomiques. Comme on dit en théorie des
groupes, les classes cyclotomiques sont les orbites de la multiplication par q dans  /n.
Les parties stables par multiplication par q de l’ensemble fini  /n sont donc
exactement les classes cyclotomiques, d’où la recherche des classes cyclotomiques pour
déterminer les facteurs irréductibles de X
n
– 1, et de là trouver le polynôme générateur
g(X) du code.
n - 1
i = 0
i
∈
Σ
i
∈
/n