Annexe – Classes cyclotomiques :

SCHNEIDER
Jérôme
Annexe – Classes cyclotomiques :
On se place dans un corps fini q possédant q éléments. On suppose que q et n sont
premiers entre eux. Il s’agit de trouver les diviseurs de Xn – 1 dans l’anneau q[X].
On considère le corps K = Rn( q) obtenu en adjoignant à q l’ensemble des racines
n-ièmes de l’unité (qui sont toutes des racines simples du polynôme Xn – 1, cf. Annexe –
Polynômes cyclotomiques).
Il existe, par construction, des racines primitives n-ièmes de l’unité dans K. Supposons
donnée α, l’une d’entre elles. On peut écrire dans K[X] :
Xn – 1 =
n-1
∏(X −α
i=0
i
) =
∏(X −α
i∈
i
)
(car α est une racine primitive)
/n
Tout diviseur de Xn – 1 dans K[X] s’écrira donc sous la forme :
gΣ(X) = ∏ ( X − α i ) , où Σ est une partie convenable de
i∈ Σ
Proposition : pour que gΣ soit à coefficients dans
par multiplication par q.
q,
/n .
il faut et il suffit que Σ soit stable
Démonstration : Ecrivons g à la place de gΣ, pour simplifier. Si g est à coefficients dans
,
q alors chaque coefficient de g est stable par élévation à la puissance q-ième. Puisque
cette opération respecte aussi l’addition, on voit que g(Xq) = (g(X))q ; par conséquent,
l’ensemble des racines de g est stable par passage à la puissance q-ième, ce qui signifie que
Σ est stable par multiplication par q.
Réciproquement, si Σ est stable par multiplication par q, on vérifie aussitôt que
g(Xq) = (g(X))q, et cela implique que les coefficients de g appartiennent à q.
Ainsi, la détermination des codes cycliques de longueur n sur q, que nous avons
ramenée dans un premier temps à celle des facteur de Xn – 1 dans q[X], revient en
définitive à celle des parties stables par multiplication par q de l’ensemble fini /n . Si
on a choisi une telle partie Σ, le code correspondant est le sous-espace vectoriel de l’espace
des polynômes de q[X] de degré strictement inférieur à n, formé des polynômes R
multiples de gΣ, c’est-à-dire tels que R(α i ) = 0 pour tout i ∈Σ.
Précisons encore un peu, pour être tout à fait clairs. Pour chaque élément j [mod n] de
/n , notons Σj la plus petite partie stable le contenant. Elle s’obtient de cette manière :
on considère le plus petit entier s > 0 tel que qsj ≡ j [n], et on prend Σj = {j, qj, …, qs-1j}. On
a card Σj = s.
Le polynôme g j correspondant à la partie Σj est le polynôme minimal de la puissance α j
de α. Pour un polynôme R ∈ q[X], il est équivalent de dire qu’il est multiple de g j , ou
que R(α j ) = 0, ou que R(α i ) = 0 pour tout i ∈Σj. Les différents g j sont donc les facteurs
irréductibles de Xn – 1 dans q[X].
Les parties stables minimales Σj sont souvent appelées les classes cyclotomiques. En
fait, la relation « il existe i avec qij ≡ j’ » est une relation d’équivalence dans /n , dont
les classes d’équivalence sont les classes cyclotomiques. Comme on dit en théorie des
groupes, les classes cyclotomiques sont les orbites de la multiplication par q dans /n .
Les parties stables par multiplication par q de l’ensemble fini /n sont donc
exactement les classes cyclotomiques, d’où la recherche des classes cyclotomiques pour
déterminer les facteurs irréductibles de Xn – 1, et de là trouver le polynôme générateur
g(X) du code.
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