Polynômes Cyclotomiques : Devoir MPSI

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le mardi 17 janvier 2017
POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout ensemble fini X, on appelle cardinal de X et on note |X|le nombre d’éléments de X.
Définition (Indicatrice d’Euler et polynômes cyclotomiques) Pour tout n∈N∗, on pose :
Pn=¦k∈¹0, n−1º/k∧n=1©,ϕ(n) = |Pn|et Φn=Y
k∈Pn
X−e2ikπ
n.
•La fonction ϕ:N∗−→ Nainsi définie est appelée l’indicatrice d’Euler.
•Pour tout n∈N∗, le polynôme Φnest appelé le nème polynôme cyclotomique. Ce polynôme est unitaire de degré
ϕ(n)et ses coefficients sont a priori complexes.
On rappelle que pour tout n∈N∗:
n−1
Y
k=0X−e2ikπ
n=Xn−1, et qu’après division par X−1 :
n−1
Y
k=1X−e2ikπ
n=
n−1
X
k=0
Xk.
1PREMIERS EXEMPLES
1) Calculer : a) ϕ(n)pour tout n∈¹1, 8º.b) Φnpour tout n∈¹1, 4º.c) Φppour tout p∈P.
2INTÉGRITÉ DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout n∈N∗, on note div(n)l’ensemble des diviseurs positifs de n.
2) Soit n∈N∗. Pour tout d∈div(n), on pose : En,d=nk∈¹0, n−1º/k∧n=n
do.
a) Montrer que l’application r7−→ rn
dest bijective de Pdsur En,d.
b) Montrer grâce à un changement d’indice que pour tout d∈div(n):Y
k∈En,d
X−e2ikπ
n=Φd.
c) Que vaut la réunion : [
d∈div(n)
En,d? En déduire que : Xn−1=Y
d∈div(n)
Φd.
3) On note Z[X]l’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z. Soient A,B∈Z[X]. On suppose
que Best unitaire et qu’il existe un polynôme C∈C[X]pour lequel : A=BC.
a) Justifier l’existence d’un polynôme Rde degré minimal r, éventuellement −∞, dans l’ensemble ¦A−BZ©Z∈Z[X].
b) Montrer que : r< ∂ ◦B.
c) En déduire que : C∈Z[X].
4) Montrer que le polynôme Φnest à coefficients entiers pour tout n∈N∗.
3COEFFICIENT CONSTANT DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
5) Soit n¾2.
a) Montrer que l’application k7−→ n−kest une bijection de Pnsur lui-même.
b) En déduire, grâce à un changement d’indice, l’égalité : X
k∈Pn
k=nϕ(n)
2.
6) En déduire que le coefficient constant de Φnvaut 1 pour tout n¾2. Que vaut celui de Φ1?
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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le mardi 17 janvier 2017
4VALEUR EN 1DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
7) Montrer que pour tout n¾2 : Y
d∈div(n)\{1}
Φd(1) = n.
8) Soit p∈P.
a) Montrer que pour tout k∈N∗:Xpk−1=Xpk−1−1Φpk.
b) En déduire que pour tout k∈N∗:Φpk(1) = p.
9) Déduire des questions 7) et 8) que pour tout n¾2, si nn’est pas une puissance d’un nombre premier : Φn(1) = 1.
10) Montrer que pour tout n¾2 : Y
k∈Pn
sin kπ
n=Φn(1) 2ϕ(n).
5APPLICATION À UN CAS PARTICULIER D’UN THÉORÈME DE DIRICHLET
Le théorème suivant est beau mais difficile, et nous n’en démontrerons qu’un cas particulier.
Théorème (Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet) Soient a,b∈N∗premiers entre eux. Il existe
une infinité de nombres premiers congrus à amodulo b.
Soit k¾2 fixé. Nous allons montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo k.
11) Soient p∈Pet n∈Z. On suppose que pdivise Φk(n)mais qu’il ne divise pas k. On pose : E=¦i∈N∗/ni≡1[p]©.
a) Montrer que : nk≡1[p].
b) Montrer que Epossède un plus petit élément e.
c) Montrer que edivise tout élément de E. On pourra partir de la division euclidienne correspondante et montrer
que son reste est nul.
d) En déduire que edivise à la fois ket p−1.
12) On conserve les notations de la question 5).
a) Montrer que pour un certain diviseur dde e,pdivise Φd(n).
On fait l’hypothèse que : d6=k.
b) Montrer que pour un certain polynôme Qà coefficients entiers : Xk−1=ΦdΦkQ.
c) Montrer, en dérivant l’égalité de la question précédente, que pdivise knk−1.
d) Obtenir une contradiction et montrer enfin que : p≡1[k].
13) On suppose fini l’ensemble des nombres premiers congrus à 1 modulo k, et on note p1,...,prses éléments distincts.
a) Montrer que pour un certain t∈N∗, l’entier Φk(p1...prkt)possède un diviseur premier p.
b) Montrer que : Φk(p1...prkt)≡1p1...prk.
c) En déduire que pn’est aucun des entiers p1,...,pret qu’il ne divise pas k.
d) Dénicher une contradiction.
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