polynômes cyclotomiques

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Devoir à la maison à rendre le mardi 17 janvier 2017
POLYNÔMES
CYCLOTOMIQUES
Pour tout ensemble fini X , on appelle cardinal de X et on note |X | le nombre d’éléments de X .
Définition (Indicatrice d’Euler et polynômes cyclotomiques) Pour tout n ∈ N∗ , on pose :
¦
Pn = k ∈ ¹0, n − 1º/
©
k∧n=1 ,
ϕ(n) = |Pn |
Φn =
et
Y€
X −e
k∈Pn
2ikπ Š
n
.
• La fonction ϕ : N∗ −→ N ainsi définie est appelée l’indicatrice d’Euler.
• Pour tout n ∈ N∗ , le polynôme Φn est appelé le nème polynôme cyclotomique. Ce polynôme est unitaire de degré
ϕ(n) et ses coefficients sont a priori complexes.
n−1 €
Y
On rappelle que pour tout n ∈ N∗ :
k=0
1
2ikπ Š
n
= X n − 1,
et qu’après division par X − 1 :
n−1 €
Y
X −e
k=1
2ikπ Š
n
=
n−1
X
X k.
k=0
PREMIERS EXEMPLES
1) Calculer :
2
X −e
a)
ϕ(n) pour tout n ∈ ¹1, 8º.
b)
Φn pour tout n ∈ ¹1, 4º.
c)
Φ p pour tout p ∈ P.
INTÉGRITÉ DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout n ∈ N∗ , on note div(n) l’ensemble des diviseurs positifs de n.
n
2) Soit n ∈ N∗ . Pour tout d ∈ div(n), on pose : En,d = k ∈ ¹0, n − 1º/
a) Montrer que l’application r 7−→
k∧n=
rn
est bijective de Pd sur En,d .
d
b) Montrer grâce à un changement d’indice que pour tout d ∈ div(n) :
c) Que vaut la réunion :
[
no
.
d
Y €
X −e
k∈En,d
En,d ? En déduire que :
Xn −1 =
d∈div(n)
Y
2ikπ Š
n
= Φd .
Φd .
d∈div(n)
3) On note Z[X ] l’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z. Soient A, B ∈ Z[X ]. On suppose
que B est unitaire et qu’il existe un polynôme C ∈ C[X ] pour lequel : A = BC.
¦
©
a) Justifier l’existence d’un polynôme R de degré minimal r, éventuellement −∞, dans l’ensemble A − BZ
.
Z∈Z[X ]
b) Montrer que :
c) En déduire que :
r < ∂ ◦ B.
C ∈ Z[X ].
4) Montrer que le polynôme Φn est à coefficients entiers pour tout n ∈ N∗ .
3
COEFFICIENT CONSTANT DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
5) Soit n ¾ 2.
a) Montrer que l’application k 7−→ n − k est une bijection de Pn sur lui-même.
X
nϕ(n)
.
k=
b) En déduire, grâce à un changement d’indice, l’égalité :
2
k∈P
n
6) En déduire que le coefficient constant de Φn vaut 1 pour tout n ¾ 2. Que vaut celui de Φ1 ?
1
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VALEUR EN 1 DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Y
7) Montrer que pour tout n ¾ 2 :
Φd (1) = n.
d∈div(n)\{1}
8) Soit p ∈ P.
a) Montrer que pour tout k ∈ N∗ :
k
Xp −1 = Xp
b) En déduire que pour tout k ∈ N∗ :
k−1
− 1 Φ pk .
Φ pk (1) = p.
9) Déduire des questions 7) et 8) que pour tout n ¾ 2, si n n’est pas une puissance d’un nombre premier :
10) Montrer que pour tout n ¾ 2 :
Y
k∈Pn
5
sin
Φn (1) = 1.
Φn (1)
kπ
= ϕ(n) .
n
2
APPLICATION À UN CAS PARTICULIER D’UN THÉORÈME DE DIRICHLET
Le théorème suivant est beau mais difficile, et nous n’en démontrerons qu’un cas particulier.
Théorème (Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet) Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Il existe
une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b.
Soit k ¾ 2 fixé. Nous allons montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo k.
¦
11) Soient p ∈ P et n ∈ Z. On suppose que p divise Φk (n) mais qu’il ne divise pas k. On pose : E = i ∈ N∗ /
a) Montrer que :
©
ni ≡ 1 [p] .
nk ≡ 1 [p].
b) Montrer que E possède un plus petit élément e.
c) Montrer que e divise tout élément de E. On pourra partir de la division euclidienne correspondante et montrer
que son reste est nul.
d) En déduire que e divise à la fois k et p − 1.
12) On conserve les notations de la question 5).
a) Montrer que pour un certain diviseur d de e, p divise Φd (n).
On fait l’hypothèse que :
d 6= k.
b) Montrer que pour un certain polynôme Q à coefficients entiers :
X k − 1 = Φd Φk Q.
c) Montrer, en dérivant l’égalité de la question précédente, que p divise knk−1 .
d) Obtenir une contradiction et montrer enfin que :
p ≡ 1 [k].
13) On suppose fini l’ensemble des nombres premiers congrus à 1 modulo k, et on note p1 , . . . , p r ses éléments distincts.
a) Montrer que pour un certain t ∈ N∗ , l’entier Φk (p1 . . . p r kt) possède un diviseur premier p.
b) Montrer que : Φk (p1 . . . p r kt) ≡ 1 p1 . . . p r k .
c) En déduire que p n’est aucun des entiers p1 , . . . , p r et qu’il ne divise pas k.
d) Dénicher une contradiction.
2