Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le mardi 17 janvier 2017
POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout ensemble fini X, on appelle cardinal de X et on note |X|le nombre d’éléments de X.
Définition (Indicatrice d’Euler et polynômes cyclotomiques) Pour tout nN, on pose :
Pn=¦k¹0, n1º/kn=1©,ϕ(n) = |Pn|et Φn=Y
kPn
Xe2ikπ
n.
La fonction ϕ:NNainsi définie est appelée l’indicatrice d’Euler.
Pour tout nN, le polynôme Φnest appelé le nème polynôme cyclotomique. Ce polynôme est unitaire de degré
ϕ(n)et ses coefficients sont a priori complexes.
On rappelle que pour tout nN:
n1
Y
k=0Xe2ikπ
n=Xn1, et qu’après division par X1 :
n1
Y
k=1Xe2ikπ
n=
n1
X
k=0
Xk.
1PREMIERS EXEMPLES
1) Calculer : a) ϕ(n)pour tout n¹1, 8º.b) Φnpour tout n¹1, 4º.c) Φppour tout pP.
2INTÉGRITÉ DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout nN, on note div(n)l’ensemble des diviseurs positifs de n.
2) Soit nN. Pour tout ddiv(n), on pose : En,d=nk¹0, n1º/kn=n
do.
a) Montrer que l’application r7−rn
dest bijective de Pdsur En,d.
b) Montrer grâce à un changement d’indice que pour tout ddiv(n):Y
kEn,d
Xe2ikπ
n=Φd.
c) Que vaut la réunion : [
ddiv(n)
En,d? En déduire que : Xn1=Y
ddiv(n)
Φd.
3) On note Z[X]l’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z. Soient A,BZ[X]. On suppose
que Best unitaire et qu’il existe un polynôme CC[X]pour lequel : A=BC.
a) Justifier l’existence d’un polynôme Rde degré minimal r, éventuellement −∞, dans l’ensemble ¦ABZ©ZZ[X].
b) Montrer que : r< ∂ B.
c) En déduire que : CZ[X].
4) Montrer que le polynôme Φnest à coefficients entiers pour tout nN.
3COEFFICIENT CONSTANT DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
5) Soit n¾2.
a) Montrer que l’application k7−nkest une bijection de Pnsur lui-même.
b) En déduire, grâce à un changement d’indice, l’égalité : X
kPn
k=nϕ(n)
2.
6) En déduire que le coefficient constant de Φnvaut 1 pour tout n¾2. Que vaut celui de Φ1?
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4VALEUR EN 1DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
7) Montrer que pour tout n¾2 : Y
ddiv(n)\{1}
Φd(1) = n.
8) Soit pP.
a) Montrer que pour tout kN:Xpk1=Xpk11Φpk.
b) En déduire que pour tout kN:Φpk(1) = p.
9) Déduire des questions 7) et 8) que pour tout n¾2, si nn’est pas une puissance d’un nombre premier : Φn(1) = 1.
10) Montrer que pour tout n¾2 : Y
kPn
sin kπ
n=Φn(1)
2ϕ(n).
5APPLICATION À UN CAS PARTICULIER DUN THÉORÈME DE DIRICHLET
Le théorème suivant est beau mais difficile, et nous n’en démontrerons qu’un cas particulier.
Théorème (Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet) Soient a,bNpremiers entre eux. Il existe
une infinité de nombres premiers congrus à amodulo b.
Soit k¾2 fixé. Nous allons montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo k.
11) Soient pPet nZ. On suppose que pdivise Φk(n)mais qu’il ne divise pas k. On pose : E=¦iN/ni1[p]©.
a) Montrer que : nk1[p].
b) Montrer que Epossède un plus petit élément e.
c) Montrer que edivise tout élément de E. On pourra partir de la division euclidienne correspondante et montrer
que son reste est nul.
d) En déduire que edivise à la fois ket p1.
12) On conserve les notations de la question 5).
a) Montrer que pour un certain diviseur dde e,pdivise Φd(n).
On fait l’hypothèse que : d6=k.
b) Montrer que pour un certain polynôme Qà coefficients entiers : Xk1=ΦdΦkQ.
c) Montrer, en dérivant l’égalité de la question précédente, que pdivise knk1.
d) Obtenir une contradiction et montrer enfin que : p1[k].
13) On suppose fini l’ensemble des nombres premiers congrus à 1 modulo k, et on note p1,...,prses éléments distincts.
a) Montrer que pour un certain tN, l’entier Φk(p1...prkt)possède un diviseur premier p.
b) Montrer que : Φk(p1...prkt)1p1...prk.
c) En déduire que pn’est aucun des entiers p1,...,pret qu’il ne divise pas k.
d) Dénicher une contradiction.
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