Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le mardi 17 janvier 2017
POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout ensemble fini X, on appelle cardinal de X et on note |X|le nombre d’éléments de X.
Définition (Indicatrice d’Euler et polynômes cyclotomiques) Pour tout n∈N∗, on pose :
Pn=¦k∈¹0, n−1º/k∧n=1©,ϕ(n) = |Pn|et Φn=Y
k∈Pn
X−e2ikπ
n.
•La fonction ϕ:N∗−→ Nainsi définie est appelée l’indicatrice d’Euler.
•Pour tout n∈N∗, le polynôme Φnest appelé le nème polynôme cyclotomique. Ce polynôme est unitaire de degré
ϕ(n)et ses coefficients sont a priori complexes.
On rappelle que pour tout n∈N∗:
n−1
Y
k=0X−e2ikπ
n=Xn−1, et qu’après division par X−1 :
n−1
Y
k=1X−e2ikπ
n=
n−1
X
k=0
Xk.
1PREMIERS EXEMPLES
1) Calculer : a) ϕ(n)pour tout n∈¹1, 8º.b) Φnpour tout n∈¹1, 4º.c) Φppour tout p∈P.
2INTÉGRITÉ DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
Pour tout n∈N∗, on note div(n)l’ensemble des diviseurs positifs de n.
2) Soit n∈N∗. Pour tout d∈div(n), on pose : En,d=nk∈¹0, n−1º/k∧n=n
do.
a) Montrer que l’application r7−→ rn
dest bijective de Pdsur En,d.
b) Montrer grâce à un changement d’indice que pour tout d∈div(n):Y
k∈En,d
X−e2ikπ
n=Φd.
c) Que vaut la réunion : [
d∈div(n)
En,d? En déduire que : Xn−1=Y
d∈div(n)
Φd.
3) On note Z[X]l’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z. Soient A,B∈Z[X]. On suppose
que Best unitaire et qu’il existe un polynôme C∈C[X]pour lequel : A=BC.
a) Justifier l’existence d’un polynôme Rde degré minimal r, éventuellement −∞, dans l’ensemble ¦A−BZ©Z∈Z[X].
b) Montrer que : r< ∂ ◦B.
c) En déduire que : C∈Z[X].
4) Montrer que le polynôme Φnest à coefficients entiers pour tout n∈N∗.
3COEFFICIENT CONSTANT DES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES
5) Soit n¾2.
a) Montrer que l’application k7−→ n−kest une bijection de Pnsur lui-même.
b) En déduire, grâce à un changement d’indice, l’égalité : X
k∈Pn
k=nϕ(n)
2.
6) En déduire que le coefficient constant de Φnvaut 1 pour tout n¾2. Que vaut celui de Φ1?
1