Les nombres complexes

Isabelle van den Boom 1
Les nombres complexes
1-Introduction
Ils ont été introduits au 16ème siècle par des mathématiciens italiens de la Renaissance pour
donner du sens à certaines équations algébriques.
Par exemple :
Bombelli en 1572 est amené, lors de la résolution d’une équation du troisième degré par la
méthode de Cardan, à déterminer les solutions de l’équation 01254
2=+− xx .
Il calcule 4121
×
−=∆ et déduit que s’ il y a des solutions, elles devront s’écrire sous la
forme : 1112 −+=x et 1112 −−='x .
Il vérifie ensuite que de tels « nombres » sont effectivement solutions de l’équation :
0125144812114441254
2=+−−−−−+=+− xx !!
Pourtant , même si le calcul formel fournissait des solutions, les mathématiciens de
l’époque restèrent assez obscurs sur la notation 1−et sur ce que cela représentait car de
tels nombres n’existaient pas :
Si 1− avait été un nombre on aurait eu, avec les règles de calcul sur les nombres
connus :
()
()
1111111 2
2==−=−−=−=− ce qui était absurde.
Euler, dans son « Algebra », en 1770 va les nommer nombres
imaginaires. C’est lui qui introduisit la notation i.
Il dit : « parce que tous les nombres possibles qu’on peut s’imaginer sont
soit plus grands, soit plus petits ou égal à 0, il est évident que les racines
des nombres négatifs ne comptent pas parmi ceux là. Ce sont donc des
nombres impossibles et on les appelle imaginaires car ils n’existent que
dans l’imagination… »
C’est Gauss, en 1831, grâce à la représentation géométrique des
complexes qui lèvera le doute quant à l’existence des nombres
complexes.
On lui doit l’écriture d’un complexe sous la forme iba
+

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2-Définitions et propriétés
On désire construire un corps que l’on nommera C qui contient IR et dans lequel
l’équation 01
2=+x possède des solutions .
On souhaite également que les opérations définies sur ce corps prolongent l’addition et la
multiplication définies sur IR.
Puisque dans notre nouvel ensemble 01
2=+xpossède des solutions, on va décider de
noter i une de ces solutions.
De façon évidente, IRi ∉ sinon 012≥=− i comme tout nombre réel .
Que doit-on mettre dans C? On veut déjà que IR ⊂C et que
∈
iC. Comme + et ×
doivent être des lois internes, on devra avoir également Ciba
∈
+
, IRb,IRa ∈∀∈
∀
.
Considérons l’ensemble
{}
IRb,IRa,ibaA
∈
∈
+= .
Sur cet ensemble, on définit deux opérations internes notées + et
×
qui vérifient :
()()
(
)( )
'bbi'aa'ib'aiba +++
=
+++
()()
(
)( )
b'a'abi'bb'aa'ib'aiba
+
+−=+×+
De manière évidente, A contient tous les éléments du type 0ia
+
,IRa ∈
∀
donc IR ⊂C et
on notera aia =+ 0
Par ailleurs,
()()()
(
)
(
)
'aai'aai'aia
+
=
+
+
+
=+++ 0000 . Cette opération prolonge donc
bien l’addition de
I
R.
De même,
()()()
(
)
'aai'aai'aia
=
+
+
−
=+
×
+00000 ; la multiplication prolonge bien celle
de
I
R.
Remarques :
i) comme ii 10 += , on retrouve par la définition de
×
que 1
2−=i
ii) 000 =
=
⇔=+ betaiba .
En effet, 000
=
=
⇐
=+ betaiba est évident.
Supposons que 00
≠
=
+
betiba . Comme b est un réel non nul, b
1existe dans IR et
on a b
a
i−= ce qui implique que 1
2
2−=
b
a donc négatif ce qui est impossible car
IRbetIRa ∈∈ . Donc 0=b et 00
=
⇒
=
+
aibaCQFD
iii) 'bbet'aa'ib'aiba ==
⇔
+=+ (évident par ii))
Propriétés des opérations dans A
• + et × sont associatives et commutatives (en exo)
• ×est distributive par rapport à + (en exo)
• 0 est élément neutre pour + et 1 est élément neutre pour
×
(en exo)
• Tout élément Aiba ∈+ a un opposé pour la loi + dans A qui est
()
bia −+− (en
exo)
• Tout élément iba + de A , non nul, admet un inverse unique dans A.
En effet, montrons l’unicité d’un tel inverse sous réserve d’existence.

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Supposons que iba +possède deux inverses dans A que nous appelons 'ib'a + et
"ib"a +.
On a
()()
(
(
)
(
))
"ib"aiba'ib'a'ib'a'ib'a
+
×
+
×
+
=×+=+ 1
=
(
(
)( ))
(
)
"ib"a"ib"aiba'ib'a
+
=
+
×
+×+ d’où l’unicité.
D’autre part, on vérifie que ( 2222 ba
b
i
ba
a
+
−
+
+
)
(
)
1
=
+
×
iba
donc iba + admet 2222 ba
b
i
ba
a
+
−
+
+ comme inverse.
Pour résumer toutes ces propriétés, on dit que
(
)
×
+
,,A est un corps commutatif que nous
appellerons (C,+,
×
) le corps des complexes
On notera ibaz += les éléments de ce corps
Notations :
• Si IRa,az ∈= , on dit que z est réel
• Si IRb,ibz ∈+= 0 , on dit que z est un imaginaire pur.
• On note
z
−l’opposé de z c'est-à-dire ibaz
−
−
=
−
si ibaz
+
=
.
• On adopte également la notation z...zzzn×××= si Cz
∈
et INn ∈
n fois
et si 0≠z,
()
n
nzz 1−− = et 1
0
=
z .
Définitions : Si z est un complexe qui s’écrit ibaz
+
=
avec IRa
∈
et IRb ∈,
on dit que a est la partie réelle de z que l’on note
(
)
zRe et
on dit que b est la partie imaginaire de z que l’on note
(
)
zIm
L’écriture ibaz += avec IRa ∈ et IRb
∈
, s’appelle l’écriture algébrique du nombre
complexe z.
3-Conjugaison
définition : Si z est un nombre complexe qui s’écrit ibaz
+
=
avec IRa ∈ et IRb ∈, on
appelle conjugué de z, que l’on note
z
, le complexe ibaz −= .
Propriétés de la conjugaison : pour tout Cz
∈
, pour tout C'z
∈
on a
•
'
zz
'
zz +=+
•
'
zz
'
zz ×=
•
'z
z
'z
z=
 si 0≠'z
•
()
(
)
zzzRe += 2
1 et
()
(
)
zz
i
zIm −= 2
1
• zzIRz =⇔∈
en effet
()
(
)
zzzzzzRezIRa,iazIRz =⇔+=⇔=⇔∈+=⇔∈ 2
1
0
•
I
R
z
z
∈+ et + ∈×
I
Rzz .
En effet si ibaz += , on a IRazz ∈=+ 2

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et
()()
+
∈+=−×+=× IRbaibaibazz 22
• si 0≠z, on a zz
z
z=
−1
laissé en exercice
4- Module d’un nombre complexe
définition : On appelle module d’un nombre complexe z le réel positif ou nul noté z
défini par 22 bazzz +== si ibaz
+
=
.
Propriétés
• 00 =⇔= zz
preuve :
(
)
(
)
00000 22 =⇔=⇔=+⇔= z,b,abaz si ibaz
+
=
• C'z,Cz ∈∀∈∀ , on a 'zz'zz ×=
preuve : on a
()()
222 'zz'zz'zz'zz'zz'zz ×==×= .
• 0≠∈∀∈∀ 'z,C'z,Cz , on a 'z
z
'z
z= (en exo)
• C'z,Cz ∈∀∈∀ , on a 'zz'zz +≤+
preuve : si ibaz
+
= et si 'ib'a'z
+
=, il suffit de prouver que
()() ()
(
)
(
)
(
)
22222222
22 2'b'aba'b'aba'bb'aa ++++++≤+++
càd après développement et simplification que
(
)
0
2≥− 'ba'ab ce qui est toujours vrai.
Remarque :
le cas d’égalité n’est obtenu que si
(
)
(
)
'b,'ab,a
λ
=
où IR
∈
λ
c'est-à-dire si 'zz λ= .
5-Racines carrées d’un nombre complexe
Proposition :
Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées que l’on peut
calculer explicitement.
En effet :
Considérons le complexe ibaz += dont on veut calculer les « racines carrées ».
On cherche x et y deux réels tels que
(
)
ibaiyx +=+ 2
=
=−
⇔bxy
ayx
2
22
en identifiant parties réelles puis parties imaginaires

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Or 22
2yxiyx +=+ et on a
()
22
2
2baiyxiyx +=+=+ . Le système précédent est donc
a fortiori équivalent à
=
+=+
=−
bxy
bayx
ayx
2
2222
22
Deux cas se présentent :
• 0=b auquel cas aiba =+
soit 0>a et a et - asont deux racines opposées de
z
soit 0<a et ai − et - ai −sont deux racines opposées de
z
• 0≠b.
Le système équivaut à
()
()
()
=
−+=
++=
32
2
2
1
1
2
1
222
222
bxy
abay
abax
Or 0
2>b donc 222 aba >+ aba >+⇒ 22 plus grand que a et que –a.
Les seconds membres des équations 1 et 2 du système sont donc des nombres
positifs et on peut donc trouver deux réels x opposés satisfaisant (1) et deux réels y
opposés satisfaisant (2).
Plus précisément , si
{}
11 −∈ε , , le système admet les solutions 
++ε= abax 22
2
1
et
()
−+ε= ababsgy 22
2
1 où
(
)
bsg est le signe de b.
En choisissant 1=ε , on obtient une première racine
puis 1−=ε , on obtient une deuxième racine qui est l’opposée de la première.
Exemple : Chercher les racines carrées du complexes
(
)
i43
−
On cherche x et y deux réels tels que
(
)
iiyx 43
2−=+
()
()
()
−=
=
=
⇔
342
21
14
2
2
xy
y
x
()
(
)
12
−
=⇔ ,y,x ou bien
(
)
(
)
12,y,x
−
=
.
Les racines cherchées sont donc i
−
2 et i
+
−
2.
6- Argument d’un nombre complexe
Soit ibaz += un nombre complexe non nul. On a alors 0≠z.