Les nombres complexes 1-Introduction Ils ont été introduits au 16ème siècle par des mathématiciens italiens de la Renaissance pour donner du sens à certaines équations algébriques. Par exemple : Bombelli en 1572 est amené, lors de la résolution d’une équation du troisième degré par la méthode de Cardan, à déterminer les solutions de l’équation x 2 − 4 x + 125 = 0 . Il calcule ∆ = −121× 4 et déduit que s’ il y a des solutions, elles devront s’écrire sous la forme : x = 2 + 11 − 1 et x' = 2 − 11 − 1 . Il vérifie ensuite que de tels « nombres » sont effectivement solutions de l’équation : x 2 − 4 x + 125 = 4 + 44 − 1 − 121 − 8 − 44 − 1 + 125 = 0 !! Pourtant , même si le calcul formel fournissait des solutions, les mathématiciens de l’époque restèrent assez obscurs sur la notation − 1 et sur ce que cela représentait car de tels nombres n’existaient pas : Si − 1 avait été un nombre on aurait eu, avec les règles de calcul sur les nombres connus : − 1 = ( − 1)2 = −1 −1 = (− 1)2 = 1 = 1 ce qui était absurde. Euler, dans son « Algebra », en 1770 va les nommer nombres imaginaires. C’est lui qui introduisit la notation i. Il dit : « parce que tous les nombres possibles qu’on peut s’imaginer sont soit plus grands, soit plus petits ou égal à 0, il est évident que les racines des nombres négatifs ne comptent pas parmi ceux là. Ce sont donc des nombres impossibles et on les appelle imaginaires car ils n’existent que dans l’imagination… » C’est Gauss, en 1831, grâce à la représentation géométrique des complexes qui lèvera le doute quant à l’existence des nombres complexes. On lui doit l’écriture d’un complexe sous la forme a + ib Isabelle van den Boom 1 2-Définitions et propriétés On désire construire un corps que l’on nommera C qui contient IR et dans lequel l’équation x 2 + 1 = 0 possède des solutions . On souhaite également que les opérations définies sur ce corps prolongent l’addition et la multiplication définies sur IR. Puisque dans notre nouvel ensemble x 2 + 1 = 0 possède des solutions, on va décider de noter i une de ces solutions. De façon évidente, i ∉ IR sinon − 1 = i 2 ≥ 0 comme tout nombre réel . Que doit-on mettre dans C? On veut déjà que IR ⊂ C et que i ∈ C. Comme + et × doivent être des lois internes, on devra avoir également a + ib ∈ C , ∀a ∈ IR ,∀b ∈ IR . Considérons l’ensemble A = {a + ib , a ∈ IR , b ∈ IR }. Sur cet ensemble, on définit deux opérations internes notées + et × qui vérifient : (a + ib ) + (a' +ib' ) = (a + a' ) + i(b + b' ) (a + ib ) × (a' +ib' ) = (aa' −bb' ) + i(ab' + a' b ) De manière évidente, A contient tous les éléments du type a + i 0 ∀a ∈ IR , donc IR ⊂ C et on notera a + i 0 = a Par ailleurs, (a + i 0 ) + (a' +i 0 ) = (a + a' ) + i (0 + 0 ) = (a + a' ) . Cette opération prolonge donc bien l’addition de IR . De même, (a + i 0 )× (a' +i 0 ) = (aa' −0 ) + i(0 + 0 ) = aa' ; la multiplication prolonge bien celle de IR . Remarques : i) comme i = 0 + 1i , on retrouve par la définition de × que i 2 = −1 ii) a + ib = 0 ⇔ a = 0 et b = 0 . En effet, a + ib = 0 ⇐ a = 0 et b = 0 est évident. Supposons que a + ib = 0 et b ≠ 0 . Comme b est un réel non nul, 1 existe dans IR et b a a2 ce qui implique que 2 = −1 donc négatif ce qui est impossible car b b a ∈ IR et b ∈ IR . Donc b = 0 et a + ib = 0 ⇒ a = 0 CQFD iii) a + ib = a' +ib' ⇔ a = a' et b = b' (évident par ii)) on a i = − Propriétés des opérations dans A • + et × sont associatives et commutatives (en exo) • × est distributive par rapport à + (en exo) • 0 est élément neutre pour + et 1 est élément neutre pour × (en exo) • Tout élément a + ib ∈ A a un opposé pour la loi + dans A qui est − a + i (− b ) (en exo) • Tout élément a + ib de A , non nul, admet un inverse unique dans A. En effet, montrons l’unicité d’un tel inverse sous réserve d’existence. Isabelle van den Boom 2 Supposons que a + ib possède deux inverses dans A que nous appelons a' +ib' et a" +ib" . On a a' +ib' = (a' +ib' ) × 1 = (a' +ib' ) × ( (a + ib ) × (a" +ib" ) ) = ( (a' +ib' )× (a + ib ) )× (a" +ib" ) = a" +ib" d’où l’unicité. −b a D’autre part, on vérifie que ( 2 ) × (a + ib ) = 1 +i 2 2 a +b a + b2 −b a comme inverse. donc a + ib admet 2 +i 2 2 a +b a + b2 Pour résumer toutes ces propriétés, on dit que ( A,+,×) est un corps commutatif que nous appellerons (C,+, × ) le corps des complexes On notera z = a + ib les éléments de ce corps Notations : • Si z = a ,a ∈ IR , on dit que z est réel • Si z = 0 + ib ,b ∈ IR , on dit que z est un imaginaire pur. • On note − z l’opposé de z c'est-à-dire − z = − a − ib si z = a + ib . • On adopte également la notation z n = z × z × ... × z si z ∈ C et n ∈ IN n fois ( ) et si z ≠ 0 , z −n = z −1 n et z 0 = 1 . Définitions : Si z est un complexe qui s’écrit z = a + ib avec a ∈ IR et b ∈ IR , on dit que a est la partie réelle de z que l’on note Re( z ) et on dit que b est la partie imaginaire de z que l’on note Im( z ) L’écriture z = a + ib avec a ∈ IR et b ∈ IR , s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z. 3-Conjugaison définition : Si z est un nombre complexe qui s’écrit z = a + ib avec a ∈ IR et b ∈ IR , on appelle conjugué de z, que l’on note z , le complexe z = a − ib . Propriétés de la conjugaison : pour tout z ∈ C , pour tout z' ∈ C on a • z + z' = z + z' • zz' = z × z' z z • = si z' ≠ 0 z' z' 1 1 • Re( z ) = z + z et Im( z ) = z−z 2 2i • z ∈ IR ⇔ z = z 1 en effet z ∈ IR ⇔ z = a + 0i , a ∈ IR ⇔ z = Re(z ) ⇔ z = z + z ⇔ z = z 2 + • z + z ∈ IR et z × z ∈ IR . En effet si z = a + ib , on a z + z = 2a ∈ IR ( ) ( ) ( Isabelle van den Boom ) 3 et z × z = (a + ib ) × (a − ib ) = a 2 + b 2 ∈ IR + • si z ≠ 0 , on a z −1 = z zz laissé en exercice 4- Module d’un nombre complexe définition : On appelle module d’un nombre complexe z le réel positif ou nul noté z défini par z = z z = a 2 + b 2 si z = a + ib . Propriétés • z =0⇔ z=0 preuve : z = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 0 ⇔ (a ,b ) = (0,0) ⇔ z = 0 si z = a + ib • ∀z ∈ C ,∀z' ∈ C , on a zz' = z × z' preuve : on a zz' = (zz' )× ( zz' ) = zz' z z' = z × z' . 2 2 2 z z (en exo) = z' z' • ∀z ∈ C ,∀z' ∈ C , z' ≠ 0 , on a • ∀z ∈ C ,∀z' ∈ C , on a z + z' ≤ z + z' preuve : si z = a + ib et si z' = a' +ib' , il suffit de prouver que (a + a' )2 + (b + b' )2 ≤ (a 2 + b 2 ) + (a' 2 +b' 2 ) + 2 (a 2 )( + b 2 a' 2 +b' 2 ) càd après développement et simplification que (ab' −ba' )2 ≥ 0 ce qui est toujours vrai. Remarque : le cas d’égalité n’est obtenu que si (a ,b ) = λ(a' ,b' ) où λ ∈ IR c'est-à-dire si z = λz' . 5-Racines carrées d’un nombre complexe Proposition : Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées que l’on peut calculer explicitement. En effet : Considérons le complexe z = a + ib dont on veut calculer les « racines carrées ». On cherche x et y deux réels tels que (x + iy )2 = a + ib x 2 − y 2 = a ⇔ en identifiant parties réelles puis parties imaginaires 2 xy = b Isabelle van den Boom 4 Or x + iy = x 2 + y 2 et on a x + iy = ( x + iy )2 = a 2 + b 2 . Le système précédent est donc 2 2 x2 − y2 = a 2 2 a2 + b2 a fortiori équivalent à x + y = 2 xy = b Deux cas se présentent : • b = 0 auquel cas a + ib = a soit a > 0 et a et - a sont deux racines opposées de z soit a < 0 et i − a et - i − a sont deux racines opposées de z • b ≠ 0. 2 1 2 2 x = 2 a + b + a 1 Le système équivaut à y 2 = a 2 + b 2 − a 2 2 xy b = (1) (2) (3) Or b 2 > 0 donc a 2 + b 2 > a 2 ⇒ a 2 + b 2 > a plus grand que a et que –a. Les seconds membres des équations 1 et 2 du système sont donc des nombres positifs et on peut donc trouver deux réels x opposés satisfaisant (1) et deux réels y opposés satisfaisant (2). 1 Plus précisément , si ε ∈ {1,−1} , le système admet les solutions x = ε a 2 + b 2 + a 2 et y = εsg (b ) 1 2 2 a + b − a où sg (b ) est le signe de b. 2 En choisissant ε = 1 , on obtient une première racine puis ε = −1 , on obtient une deuxième racine qui est l’opposée de la première. Exemple : Chercher les racines carrées du complexes (3 − 4i ) On cherche x et y deux réels tels que (x + iy )2 = 3 − 4i x2 = 4 (1) 2 (2) ⇔ (x , y ) = (2,−1) ou bien (x , y ) = (− 2,1) . ⇔ y =1 2 xy = −4 (3) Les racines cherchées sont donc 2 − i et − 2 + i . 6- Argument d’un nombre complexe Soit z = a + ib un nombre complexe non nul. On a alors z ≠ 0 . Isabelle van den Boom 5 z = z a 2 a +b avec α = 2 b +i a + b2 a 2 a +b que l’on peut noter α + iβ 2 2 et β = b 2 a + b2 . Clairement α 2 + β2 = 1 , α ∈ IR et β ∈ IR . Par conséquent, il existe un unique θ ∈ [0 ,2π[ tel que α = cos θ et β = sin θ . On a donc a = z cos θ et b = z sin θ et finalement z = z (cos θ + i sin θ) Définition : Pour tout complexe z ≠ 0 , l’unique réel θ ∈ [0 ,2π[ tel que z = z (cos θ + i sin θ) s’appelle l’argument de z et se note Arg z . Remarque Si ϕ ∈ IR vérifie également z = z (cos ϕ + i sin ϕ) alors on aura cos ϕ = cos Arg z sin ϕ = sin Arg z (cos ϕ + i sin ϕ) = (cos Arg z + i sin Arg z ) c'est-à-dire Donc ϕ = Arg z + 2kπ , k ∈ Z ce que l’on note plus simplement ϕ ≡ Arg z [2π] et on dit que ϕ est congru à Arg z modulo 2π . Proposition : Pour tous complexes non nuls z et z’ , on a : • Arg (zz' ) ≡ Arg z + Arg z' [2π] 1 • Arg ≡ − Arg z [2π] z preuve : posons θ = Arg z et θ' = Arg z' . • zz' = z z' (cos θ + i sin θ)(cos θ' +i sin θ' ) = z z' ( (cos θ cos θ' − sin θ sin θ' ) + i (sin θ cos θ' + cos θ sin θ' ) = zz' (cos(θ + θ' ) + i sin(θ + θ' )) on déduit le résultat cherché de la remarque précédente. z z 1 1 1 • = 2 = 2 (cos θ − i sin θ) = (cos(− θ) + i sin(− θ)) = (cos(− θ) + i sin(− θ)) z z z z z on déduit le résultat cherché de la remarque précédente. Formule de Moivre : Pour tout nombre réel θ , pour tout entier naturel n , on a : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) Isabelle van den Boom 6 ) preuve : par récurrence initialisation : pour n = 0 évident hérédité : supposons que pour un certain n on ait (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ ) + i sin(nθ) . Montrons que la formule reste vraie à l’ordre n + 1 . (cos θ + i sin θ)n +1 = (cos θ + i sin θ)n (cos θ + i sin θ) = (cos(nθ) + i sin(nθ))(cos θ + i sin θ) = (cos nθ cos θ − sin nθ sin θ) + i (cos nθ sin θ + sin nθ cos θ ) = (cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ) . CQFD On en déduit le corollaire suivant : Corollaire Pour tout complexe z ≠ 0 et pour tout entier naturel n on a Arg z n ≡ n ⋅ Arg z [2π] preuve : z n = ( z (cos Arg z + i sin Arg z )) = z (cos n Arg z + i sin n Arg z ) = z n (cos n Arg z + i sin n Arg z ) n n d’où le résultat. 7- Forme trigonométrique d’un complexe ( ) r r Notons P le plan euclidien muni d’un repère orthonormé O ,OA,OB . L’application P→C r r r où OM = a .OA + b.OB est une bijection. M a z M = a + ib L’image d’un point M que nous appelons z M s’appelle l’affixe de M et nous noterons M z le point d’affixe z. Par exemple, le point A a pour affixe z A = 1 et le point B a pour affixe z B = i . Plus généralement, les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé axe réel et les nombres imaginaires purs sont ceux de l’axe des ordonnées appelé l’axe imaginaire pur. Le plan est alors appelé plan complexe. Isabelle van den Boom 7 Soit M z le point du plan d’affixe z = a + ib . r On a OM = OM = a 2 + b 2 = z . Posons θ = Arg ( z ) . On a a = z cos θ et b = z sin θ . r r D’autre part, a = OM cos OA,OM et r r b = OM sin OA,OM ( ( r r Arg ( z ) = OA,OM ) ) ( ) On en déduit que mod ulo 2π L’écriture z = z ( cos θ + i sin θ ) (cf. paragraphe 6) s’appelle l’écriture trigonométrique du complexe z. Notation exponentielle : On note e iθ le complexe défini par e iθ = cos θ + i sin θ où θ ∈ IR . ( ) On a , pour tout θ ∈ IR , e iθ = 1 et Arg e iθ ≡ θ mod 2π . Avec cette notation, tout complexe z peut s’écrire sous la forme z = z e iArg ( z ) que l’on appelle écriture exponentielle du complexe z. Compte tenu des propriétés déjà démontrées sur les modules et les arguments, il est facile de prouver les propriétés suivantes , qui justifient la notation exponentielle par analogie avec l’exponentielle réelle : • ∀θ ∈ IR ,∀θ' ∈ IR , e iθ × e iθ' = e i (θ+ θ' ) • ∀θ ∈ IR , e iθ est inversible et on a e iθ • ∀θ ∈ IR , ∀n ∈ IN , e iθ ( ) n ( ) −1 = e − iθ = e inθ 8-Racines nièmes d’un nombre complexe On désire résoudre dans C l’équation z n = α où α est un complexe donné et n un entier naturel non nul. Si α = 0 alors l’unique solution de cette équation dans C est z = 0 . Si α ≠ 0 et que n = 1 alors l’unique solution de cette équation est z = α . Dans la suite, on supposera donc que α ≠ 0 et que n ≥ 2 . Isabelle van den Boom 8 α s’écrit sous forme exponentielle α = σeiϕ avec σ = α ∈ IR +* et ϕ ∈ IR . On va chercher les solutions de l’équation sous forme exponentielle. Plus +* précisément, on va chercher ρ ∈ IR et θ ∈ IR tels que z = ρe iθ zn = α On peut se limiter à chercher ρ >0 car si ρ = 0 on aurait z = 0 ce qui est absurde car on a supposé α ≠ 0 . L’équation est donc équivalente à ρ n e inθ = σe iϕ . En identifiant les parties réelles des deux membres , puis les parties imaginaires, il vient : ρ n cos nθ = σ cos ϕ (1) n ρ sin nθ = σ sin ϕ (2) (1)2 + (2)2 implique que (ρ n ) 2 = σ 2 d’où ρ = σ 1 n car ρ >0 . cos nθ = cos ϕ c'est-à-dire Il s’en suit, en reportant ce résultat dans le système, sin nθ = sin ϕ nθ ≡ ϕ mod ulo 2π . ϕ 2kπ Autrement dit, il existe k ∈ Z tel que θ = + . Notons θ k cette valeur de θ . n n 1 1 Finalement z ∈ σ n e iθk , k ∈ Z = σ n e iθk , k ∈ {0 ,1,.., n − 1} compte tenu du fait que e 2iπ = 1 . Réciproquement, il est facile de vérifier que , pour tout k ∈ {0 ,1,.., n − 1} , σ 1 n e iθ k est n solution de z = α . De plus, ces complexes sont tous distincts. Conclusion : n L’équation z = α admet n racines distinctes qui sont z k = σ 1 ne ϕ 2 kπ i( + ) n n ,k ∈ {0 ,1,.., n − 1} . Interprétation géométrique Les racines de z n = α sont les affixes de points situés sur un cercle centré en 0 de rayon σ Ces points sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrits dans ce cercle. 1 n . Exemple : z 3 = 1 On a z k = 2iπk e 3 avec k ∈ {0 ,1,2} Isabelle van den Boom 9 Autrement dit, les racines cubiques de l’unité 1 3 sont donc z 0 = 1 , z1 = − + i et 2 2 1 3 . z2 = − − i 2 2 Elles sont les affixes des sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre 0 et de rayon 1 comme le montre la figure. 1 3 +i est appelé j. 2 2 On remarque que z 2 = j = j 2 . Le complexe − En effet, j 3 = j × j 2 = 1 donc j 2 = 1 j j = = 2 = j. j j. j j ( ) De même 1 − j 3 = 0 = (1 − j ) 1 + j + j 2 . Or j ≠ 1 donc 1 + j + j 2 = 0 . 9- Résolution de l’équation du second degré az 2 + bz + c = 0 , a ∈ C*, b ∈ C , c ∈ C Comme a ≠ 0 , en factorisant par a on obtient aisément 2 b b 2 − 4 ac 2 az + bz + c = a z + − . 2a 4 a 2 2 Notons ∆ = b − 4 ac et considérons δ une racine carrée de ∆ . On a alors 2 δ2 b − b − δ −b +δ 2 az + bz + c = a z + − 2 = a z − z − 2a 4 a 2a 2a −b −δ −b +δ et z2 = . Les solutions de l’équation sont donc z1 = 2a 2a Exemple : Résoudre dans C l’équation z 2 − iz + 3 i =0. 4 π π i i 1 3 = 2i 2 e 3 = i 2e 6 On a ∆ = (− i ) − i 3 = −1 − i 3 = 2i + i 2 2 2 2 i π On peut donc choisir δ = i 2e 6 = − 2 . 2 6 +i comme racine carrée de ∆ . 2 2 Les solutions de l’équation sont donc Isabelle van den Boom 10 z1 = 2 6 2 6 −i i− +i 2 2 = 2 + i 2 − 6 et z = 2 2 = − 2 + i 2 + 6 2 4 4 2 4 2 4 i+ 10- Applications des complexes à la trigonométrie On a, pour tout θ ∈ IR , e iθ = cos θ + i sin θ et e −iθ = cos θ − i sin θ . On en déduit les égalités suivantes encore appelées formule d’Euler ∀θ ∈ IR , cos θ = e iθ + e − iθ 2 sin θ = et e iθ − e − iθ 2i a) transformation en sommes des produits cos x cos y , sin x sin y et sin x cos y [ e ix + e −ix e iy + e −iy 1 i ( x + y ) × = e cos x cos y = + e i ( y − x ) + e i ( x − y ) + e −i ( x + y ) 2 2 4 1 = [cos( x + y ) + cos( x − y )] 2 On trouve de même les autres formules de transformation (exo) ] b) factorisation des sommes cos x ± cos y , sin x ± sin y . On remarque que cos x + cos y est la partie réelle de e ix + e iy . x+ y x− y x+ y x− y D’autre part, x = et y = d’où + − 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y x− y x+ y x+ y x− y x− y − i + i i −i i i x− y ix iy 2 2 2 2 2 2 2 e + e =e e = 2e 2 cos +e =e +e 2 x + y x − y x + y = 2 cos . + i sin cos 2 2 2 On en déduit, en isolant la partie réelle,que cos x + cos y = 2 cos x+ y x− y . cos 2 2 Autres formules en exos c) transformation de cos(nx ) et de sin(nx ) On utilise les formules de Moivre et d’Euler. ( ) On a e ix n = (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx . ( ) ( Donc cos nx = Re (cos x + i sin x )n et sin nx = Im (cos x + i sin x )n Isabelle van den Boom ) 11 Exemple : calcul de cos 3 x (cos x + i sin x )3 = cos 3 x + 3i cos 2 x sin x − 3 cos x sin 2 x − i sin 3 x donc cos 3x = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x . d) linéarisation de cos n x et de sin n x On utilise les formules d’Euler et on développe la puissance nième grâce à la formule du binôme . Enfin, on regroupe les termes d’exposants opposés. Exemple : linéariser cos 3 x . (cos x ) 3 3 [ e ix + e −ix 1 3ix −3ix + 3e 2ix e −ix + 3e ix e −2ix = = e +e 2 8 ] 1 e 3ix + e −3ix 3 e ix + e −ix 1 3 = + = cos 3x + cos x . 4 2 2 4 4 4 Isabelle van den Boom 12