1) Expérience aléatoire

Exposé 4 : Description mathématique d’une expérience aléatoire : Ensemble des événements
élémentaires, événements, probabilité
(On se limitera au cas où l’ensemble des événements élémentaires est fini.)
Pré requis :
-
language ensembliste
récurrence (pour une démonstration)
Cadre : Soit Ω un ensemble fini
1) Expérience aléatoire
a) Définitions
Expérience aléatoire : expérience reproductible dont le résultat est a priori
incertain.
On la modélise par l’ensemble des issues w , appelé univers et noté Ω .
Exemple : pile ou face, jeu de dés, tirage au loto.
Exemple 1 : 3 lancers d’une pièce équilibrée.
Ω = {PPP, PPF , PFP, FPP, PFF , FPF , FFP, FFF }
Ω ' = {0,1, 2,3} (nombre de " pile ")
b) Notion d’évènements
Un événement lié à une expérience aléatoire sera représenté par le sousensemble de Ω constitué des issues qui le réalisent. L’ensemble des
événements est noté℘(Ω) .
Exemple : obtenir un cœur dans un jeu de carte A ∪ B ( B ⊂ Ω)
Terminologie :
notation
terminologie
Ensemble
Ensemble vide
∅
Partie
A (⊂ Ω )
a (∈ Ω) Elément
Singleton
{a }
Complémentaire de A
A
Union
A ∩B
Intersection
A ∩B = ∅ Parties disjointes
Ω
terminologie probabiliste
Univers (et événement certain)
Evénement impossible
Evénement
Eventualité
Evénement élémentaire
Evénement contraire de A
A ou B
A et B
Evénements imcompatibles
2) Notion de probabilité
a) Définition et propriétés
Définition : On appelle probabilité sur Ω (fini) toute application P de ℘(Ω)
dans [ 0,1] vérifiant :
P (Ω) = 1
Si A ∩ B = ∅ alors P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
Propriétés : Soit P une probabilité de Ω .
P (∅ ) = 0
i.
ii.
∀A ∈℘(Ω), P ( A) = 1 − P ( A)
iii.
Si A ⊂ B, P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A) et P ( A) ≤ P ( B )
iv.
∀A et B, P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Preuve :
i.
On a Ω ∩ ∅ = ∅ donc P (Ω ∪ ∅) = P (∅ ) + P (Ω) or Ω ∪ ∅ = Ω
D’où P (Ω) = P (∅) + P (Ω) d’où P (∅) = ∅
ii.
A ∩ A = ∅ donc P ( A ∪ A) = P ( A) + P ( A)
iii.
iv.
D’où P (Ω) = 1 = P ( A) + P ( A) et P ( A) = 1 − P ( A)
Soient A et B tels que A ⊂ B ,on a B = A ∪ ( B \ A)
A ∩ ( B \ A) = ∅ donc P ( B ) = P ( A ∪ ( B \ A)) = P ( A) + P ( B \ A)
D’où P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A)
Une probabilité étant toujours positive, on a P ( B ) ≥ P ( A)
A ∪ B = A ∪ ( B \ ( A ∩ B ))
A ∩ ( B \ ( A ∩ B )) = ∅
Avec ( A ∩ B ) ⊂ B d’où le résultat
Exercice : calculer P ( A ∪ B ∪ C )
b) Détermination d’une probabilité
Proposition : soit Ω = {w1 ,..., wn }
i.
Si P est une probabilité de Ω et qu’on note pi les probabilités P({wi }) , on
a, ∀i ∈ {1,..., n}
n
pi ≥ 0 et ∑ pi = 1
i =1
ii.
Soient p1 ,… , pn tel que ∀i ∈ {1,..., n} pi ≥ 0 et
n
∑p
i
= 1 alors il existe une
i =1
unique probabilité P sur Ω telle que ∀i ∈ {1,..., n} P({wi }) ≥ pi et dans ce cas,
n
pour tout A de ℘(Ω) on a P ( A) = ∑ pi (*)
i =1
Preuve :
que tous les pi soient positifs est immédiat (ce sont des probabilités)
i.
n
Comme Ω = ∪{wi } et que les {wi } sont deux a deux disjoints :
i =1
n
n
n
i =1
i =1
P (Ω) = P (∪ {wi }) = ∑ P ({wi }) = ∑ pi = 1 car P (Ω) = 1
i =1
ii.
Sous les conditions données, on définit une application P de ℘(Ω) dans [ 0,1] a
l’aide de l’égalité (*). On vérifie que c’est bien une probabilité. On a :
n
P (Ω) =
∑ p =∑p
i
wi∈Ω
i
=1
i =1
Et pour tout A et B inclus dans Ω tel que A ∩ B = ∅
P ( A ∪ B ) = ∑ pi = ∑ pi + ∑ pi = P ( A) + P ( B)
wi∈ A∪ B
wi∈ A
wi∈B
D’où l’existence de la probabilité.
L’unicité est immédiate (comme tout événement A est réunion disjointe des
évènements élémentaires qui le composent, une probabilité P est entièrement
caractérisée par la donnée des P ({wi }) .
c) Equiprobabilité
Définition : Il y a équiprobabilité si ∀i ∈ {1,..., n} P({wi }) =
Proposition : En cas d’équiprobabilité, P ( A) =
1
n
Card ( A)
Card (Ω)
Exercice : les anniversaires (on a besoin des combinatoires)
Une classe de 34 élèves. Quelle est la probabilité que deux enfants aient leurs
anniversaires le même jour ?
Résolution : Ω = ensemble de 34 listes formées des 365 jours.
On suppose qu’il y a équiprobabilité.
Card (Ω) = 36534