1) Expérience aléatoire

Exposé 4 : Description mathématique d’une expérience aléatoire : Ensemble des événements
élémentaires, événements, probabilité
(On se limitera au cas où l’ensemble des événements élémentaires est fini.)
Pré requis :
- language ensembliste
- récurrence (pour une démonstration)
Cadre : Soit
Ω
un ensemble fini
1) Expérience aléatoire
a) Définitions
Expérience aléatoire : expérience reproductible dont le résultat est a priori
incertain.
On la modélise par l’ensemble des issues
w
, appelé univers et noté
Ω
.
Exemple : pile ou face, jeu de dés, tirage au loto.
Exemple 1 : 3 lancers d’une pièce équilibrée.
{ , , , , , , , }
' {0,1, 2,3} ( " ")
PPP PPF PFP FPP PFF FPF FFP FFF
nombre de pile
Ω =
Ω =
b) Notion d’évènements
Un événement lié à une expérience aléatoire sera représenté par le sous-
ensemble de
Ω
constitué des issues qui le réalisent. L’ensemble des
événements est noté
( )
℘ Ω
.
Exemple : obtenir un cœur dans un jeu de carte
( )
A B B
∪ ⊂ Ω
Terminologie :
notation terminologie terminologie probabiliste
Ensemble Univers (et événement certain)
Ensemble vide Evénement impossible
Partie Evénement
Elément Eventualité
Singleton Evénement élémentaire
Complémentaire de A Evénement contraire de A
Union A ou B
A B Intersection A et B
A B = Parties disjointes Evénements imcompatibles
Ω
∅
∩
∩
∅
A
( )
A
⊂ Ω
{
}
a
( )
a
∈ Ω

2) Notion de probabilité
a) Définition et propriétés
Définition : On appelle probabilité sur
Ω
(fini) toute application
P
de
( )
℘ Ω
dans
[
]
0,1
vérifiant :
( ) 1
P
Ω =
Si A B
∩ = ∅
alors
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
∪ = +
Propriétés : Soit
P
une probabilité de
Ω
.
i.
( ) 0
P
∅ =
ii.
( ), ( ) 1 ( )
A P A P A
∀ ∈℘ Ω = −
iii.
Si
, ( \ ) ( ) ( ) ( ) ( )
A B P B A P B P A et P A P B
⊂ = − ≤
iv.
, ( ) ( ) ( ) ( )
A et B P A B P A P B P A B
∀ ∪ = + − ∩
Preuve :
i.
On a
Ω ∩ ∅ = ∅
donc
( ) ( ) ( )
P P P
Ω ∪ ∅ = ∅ + Ω
or
Ω ∪ ∅ = Ω
D’où
( ) ( ) ( )
P P P
Ω = ∅ + Ω
d’où ( ) P
∅ = ∅
ii.
A A
∩ = ∅
donc
( ) ( ) ( )
P A A P A P A
∪ = +
D’où
( ) 1 ( ) ( )
P P A P A
Ω = = + et
( ) 1 ( )
P A P A
= −
iii.
Soient
A
et
B
tels que
A B
⊂
,on a
( \ )
B A B A
= ∪
( \ )
A B A
∩ = ∅
donc
( ) ( ( \ )) ( ) ( \ )
P B P A B A P A P B A
= ∪ = +
D’où
( \ ) ( ) ( )
P B A P B P A
= −
Une probabilité étant toujours positive, on a
( ) ( )
P B P A
≥
iv.
( \ ( ))
( \ ( ))
A B A B A B
A B A B
∪ = ∪ ∩
∩ ∩ = ∅
Avec ( )
A B B
∩ ⊂
d’où le résultat
Exercice : calculer
( )
P A B C
∪ ∪
b) Détermination d’une probabilité
Proposition : soit
{
}
1
,...,
n
w w
Ω =
i.
Si
P
est une probabilité de
Ω
et qu’on note
i
p
les probabilités
{
}
( )
i
P w
, on
a,
{
}
1,...,
i n
∀ ∈
0
i
p
≥
et
1
1
n
i
i
p
=
=
∑
ii.
Soient 1
, ,
n
p p
…
tel que
{
}
1,..., 0
i
i n p
∀ ∈ ≥
et
1
1
n
i
i
p
=
=
∑
alors il existe une
unique probabilité
P
sur
Ω
telle que
{
}
1,..., ({ })
i i
i n P w p
∀ ∈ ≥
et dans ce cas,
pour tout
A
de
( )
℘ Ω
on a
1
( )
n
i
i
P A p
=
=
∑
(*)

Preuve :
i.
que tous les
i
p
soient positifs est immédiat (ce sont des probabilités)
Comme
1
{ }
n
i
i
w
=
Ω =
∪
et que les
{
}
i
w
sont deux a deux disjoints :
1 1
1
( ) ( { }) ({ }) 1
nn n
i i i
i i
i
P P w P w p
= =
=
Ω = = = =
∑ ∑∪
car
( ) 1
P
Ω =
ii.
Sous les conditions données, on définit une application
P
de
( )
℘ Ω
dans
[
]
0,1
a
l’aide de l’égalité (*). On vérifie que c’est bien une probabilité. On a :
1
( ) 1
n
i i
wi i
P p p
∈Ω =
Ω = = =
∑ ∑
Et pour tout
A
et
B
inclus dans
Ω
tel que A B
∩ = ∅
( ) ( ) ( )
i i i
wi A B wi A wi B
P A B p p p P A P B
∈ ∪ ∈ ∈
∪ = = + = +
∑ ∑ ∑
D’où l’existence de la probabilité.
L’unicité est immédiate (comme tout événement
A
est réunion disjointe des
évènements élémentaires qui le composent, une probabilité
P
est entièrement
caractérisée par la donnée des
({ })
i
P w
.
c) Equiprobabilité
Définition : Il y a équiprobabilité si
{ }
1
1,..., ({ })
i
i n P w
n
∀ ∈ =
Proposition : En cas d’équiprobabilité,
( )
( )
( )
Card A
P A Card =
Ω
Exercice : les anniversaires (on a besoin des combinatoires)
Une classe de 34 élèves. Quelle est la probabilité que deux enfants aient leurs
anniversaires le même jour ?
Résolution :
Ω
= ensemble de 34 listes formées des 365 jours.
On suppose qu’il y a équiprobabilité.
34
( ) 365
Card Ω =