Chapitre 4 : Trigonométrie

3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
CHAPITRE IV
TRIGONOMETRIE
COURS
1) Le cercle trigonométrique
•
Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon 1 qui est orienté, ce qui veut dire qu’on
a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens négatif (celui des aiguilles d’une
montre) :
C
•
(
)
Soit C un cercle trigonométrique de centre O et I, J deux points de C tel que O,OI ,OJ est
un R.O.N. du plan. Alors les axes (OI ) et (OJ ) subdivisent le cercle en quatre quadrants
notés : (I), (II), (III) et (IV) :
C
-1-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
•
(
)
Soit (T) la tangente à C en I munie du repère I ,OJ , x ∈ ℝ et X ( x ) ∈ (T ) :
C
En « enroulant » (T) autour de C à partir du point fixe commun I (vers « le haut » dans le
sens positif, vers « le bas » dans le sens négatif), on voit qu’à tout réel x on peut associer un
point unique M ∈ C . Nous noterons f ( x) = M cette correspondance.
En remarquant que le périmètre de C vaut p = 2π puisque son rayon vaut 1, on a :
f ( π) = f (
)= f (
)= f (
)= f (
) = …=
π
f   = f (
 2 
)= f (
)= f (
)= f (
)= …=
f ( )= f (
)= f (
)= f (
)= f (
)=…= L
f (0) = f (
)= f (
)= f (
)= f (
) = …=
Et de manière générale : ∀x ∈ ℝ ∀k ∈ ℤ
f ( x + k ⋅ 2π) = f ( x )
En effet, ajouter k ⋅ 2π à x revient à faire k tours complets à partir de f ( x) = M dans un sens
ou dans l’autre (selon le signe de k) pour retomber sur le même point M que x !
•
Ainsi l’ensemble des nombres x + k ⋅ 2π (où k ∈ ℤ ) caractérise le point M et donc également
l’angle IOM . De plus si x ∈ [0 , 2π ] alors x est égal à la longueur de l’arc IM donc tout
-2-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
nombre de la forme x + k ⋅ 2π est une mesure de la longueur de l’arc IM à un multiple entier
de 2π près ! Ceci nous amène à poser la définition suivante :
•
Définition
Les nombres x + k ⋅ 2π (où k ∈ ℤ ) sont les mesures en radians (rd) de l’angle IOM et aussi
de l’arc IM . Ainsi :
mesIOM = mesIM = x + 2kπ rd
Autre notation : mesIOM = x + k ⋅ 2 π ≡ x (2π) (on lit : « x modulo 2π »)
•
Exemples :
mesIOJ =
π
π
+ k ⋅ 2π ≡
(2π)
2
2
mesIOK = π + k ⋅ 2π ≡ π (2π)
mesIOL =
•
3π
3π
+ k ⋅ 2π ≡
(2π)
2
2
Chaque angle a donc
- une infinité de mesures, mais la différence entre deux mesures est toujours un multiple
entier de 2π si on mesure en rd, un multiple entier de 360 si on mesure en degrés.,
- une seule mesure comprise entre 0 rd et 2π rd : c’est la plus petite mesure positive.
- une seule mesure comprise entre −π rd et π rd : c’est la mesure principale.
•
Correspondance entre degrés et radians : π rd = 180° .
Les transformations se font par une règle de trois :


180° = π rd

1° = π rd


180

 x° = x ⋅ π rd

180
respectivement :


 π rd = 180°

 1 rd = 180°


π

⋅
180
°
x
 x rd =

π
Exemples :
0° = 0 rd , 30° =
π
π
π
π
rd , 45° = rd , 60° = rd , 90° = rd .
6
4
3
2
Exercices 1 - 3
-3-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
2) Fonctions trigonométriques
a) Fonctions sinus et cosinus
•
Définitions
Soit C un cercle trigonométrique, x ∈ ℝ et f ( x ) = M ∈ C (voir 1)), alors:
(
)
o l’abscisse de M dans le repère O,OI ,OJ est appelée cosinus de x (ou cosinus de
l’angle IOM ) et est notée cos x.
(
)
o l’ordonnée de M dans le repère O,OI ,OJ est appelée sinus de x (ou sinus de
l’angle IOM ) et est notée sin x.
•
(
)
Ainsi dans le repère O,OI ,OJ on a M(cos x, sin x), c’est-à-dire
OM = cos x ⋅ OI + sin x ⋅ OJ
C
•
Propriétés immédiates
o Les fonctions sin x et cos x existent pour tout réel x, donc Dsin = Dcos = ℝ
o
∀x ∈ ℝ −1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ co s x ≤ 1
Ceci est évident puisque le rayon de C vaut 1.
-4-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
o
sin x = 0 ⇔ x = k ⋅ π (k ∈ ℤ) ≡ 0 ( π ) et co s x = 0 ⇔ x =
π
π
+ k ⋅ π (k ∈ ℤ ) ≡ ( π )
2
2
En effet d’après la figure ci-dessus :
sin x = 0 ⇔ M = I ou M = K ⇔ x ∈ {0 , π , 2π ,3π ,… ,−π ,−2π ,−3π ,…}
⇔ x = k ⋅ π (k ∈ ℤ) ≡ 0 ( π)
co s x = 0 ⇔ M = J ou M = L
π
π
π
π
 π π

⇔ x ∈  , + π , + 2π , + 3π ,… , − π , − 2π ,…
2
2
2
2
 2 2

⇔ x=
π
π
+ k ⋅ π (k ∈ ℤ) ≡ ( π )
2
2
o Le signe de cos x et de sin x dépend du quadrant dans lequel se trouve M :
sin x ≥ 0 ⇔ M ∈ ( I ) ∪ ( II )
⇔ 0 ≤ x ≤ π (2π)
sin x ≤ 0 ⇔ M ∈ ( III ) ∪ ( IV ) ⇔ π ≤ x ≤ 2π (2π)
π
π
co s x ≥ 0 ⇔ M ∈ ( I ) ∪ ( IV ) ⇔ − ≤ x ≤ (2π )
2
2
π
3π
co s x ≤ 0 ⇔ M ∈ ( II ) ∪ ( III ) ⇔ ≤ x ≤
(2π )
2
2
o
∀x ∈ ℝ ∀k ∈ ℤ sin ( x + 2kπ) = sin x et cos ( x + 2kπ) = cos x
Ceci découle immédiatement du fait que f ( x + k ⋅ 2π ) = f ( x ) et on exprime cette
propriété en disant que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π .
•
Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle
Soit ∆ ( ABC ) un triangle rectangle en A et x la mesure de l’angle ABC . En classe de 4e
vous avez défini cos x et sin x par :
cos x =
côté adjacent
BA
côté opposé AC
et sin x =
.
=
=
hypoténuse
BC
hypoténuse
BC
Montrons que ces définitions, valables uniquement pour 0 < x <
π
(en radians), sont
2
compatibles avec celles, plus générales, que nous venons de voir en utilisant le cercle
trigonométrique. Pour cela nous allons distinguer deux cas :
1er cas : BC = 1
Alors le cercle C de centre B passant par C est un cercle trigonométrique et en choisissant
convenablement le R.O.N. d’origine B on a : cos x = AB et sin x = AC :
-5-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
C
et comme BC = 1 on a bien cos x = BA =
BA
AC
et sin x = AC =
.
BC
BC
2e cas : BC ≠ 1
Prenons par exemple BC > 1 (le cas BC < 1 étant analogue) et notons C’ le point de
[ BC ] tel que BC' = 1 et A’ le point de [ BA] tel que ∆ ( BA' C' ) est rectangle en A’.
Comme ( AC ) ( A' C' ) on a d’après le théorème de Thalès :
Or
BA
BC
BA BA'
BA'
et comme cos x =
d’après le 1er cas appliqué au
=
⇔
=
BA' BC'
BC BC'
BC'
triangle ∆ ( BA' C' ) , on a bien cos x =
•
BA
BC
AC
.
=
=
BA' BC' A' C'
BA
AC
. On montre de même que sin x =
.
BC
BC
Valeurs remaquables
Vous avez montré en classe de 4e que sin
sin
π
π 1
π
π
3
= cos = , que sin = cos =
et que
3
6
2
6
3 2
π
π
π
2
= cos =
. Or f ( 0 ) = I (1,0) donc co s 0 = 1 et sin 0 = 0 et f   = J (0 ,1)
 2 
4
4
2
donc cos
π
π
= 0 et sin = 1 . D’où le tableau des valeurs remarquables suivant :
2
2
-6-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
x (rd)
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
b) Fonctions tangente et cotangente
•
Définitions
A partir des fonctions trigonométriques principales cos x et sin x , on définit les fonctions
tangente (notée tan x) et cotangente notée cot x) par :
tan x =
sin x
cos x
et cot x =
cos x
sin x
 π
π

+ kπ , donc Dtan = ℝ \  + kπ / k ∈ ℤ
2
 2

•
C.E. pour tan x: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
•
C.E. pour cot x: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , donc Dcot = ℝ \ {kπ / k ∈ ℤ}
•
Interprétation géométrique
Soient (T) la tangente à C au point I et (T’) la tangente à C au point J, E ∈ (T ) ∩ (OM ) et
E' ∈ (T ' ) ∩ (OM ) :
-7-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
Montrons que : E (1,tan x ) et
E' (cot x,1) dans le cas où M ∈ ( I ) (voir figure), les
autres cas étant analogues.
Dans ∆ (OIE ) :
MM ' = sin x , OM ' = co s x , OI = 1 et ( MM ' ) ( EI ) donc d’après le théorème de
Thalès on a
OM ' MM '
cos x sin x
EI
sin x
. D’où :
=
=
⇔
=
⇔ EI = tan x .
OI
EI
1
EI
1
cos x
Dans ∆ (OJE' ) :
OM '' = sin x , M '' M = co s x , OJ = 1 et ( MM '' ) ( E' J ) donc d’après le théorème de
Thalès on a
OM '' M '' M
sin x co s x
E' J co s x
=
. D’où :
=
⇔
=
⇔ E' J = co t x .
OJ
E' J
1
E' J
1
sin x
Justification géométrique des domaines de tan x et cot x :
Si x ≡
π
( π ) , alors (OM ) ∩ (T ) = ∅ donc E n’existe pas et si x ≡ 0 ( π) , alors
2
(OM ) ∩ (T ' ) = ∅ donc E’ n’existe pas !
•
Remarques
o Pour sin x ≠ 0 et co s x ≠ 0 on a : cot x =
1
, ce qui explique pourquoi la touche
tan x
« cot » ne figure pas sur les calculatrices !
o tableau des valeurs remarquables :
x (rd)
0
π
6
π
4
π
3
ta n x
0
1
3
=
3
3
1
3
3
1
1
3
=
3
3
cot x
π
2
0
Exercice 4
3) FORMULES
a) Formule fondamentale et ses transformées
•
Avec les notations utilisées aux paragraphes précédents, M (cos x,sin x) et M ′ (cos x,0) ,
on peut appliquer le théorème de Pythagore au triangle ∆ (OM ′M ) rectangle en M ′ :
2
2
OM ′ 2 + MM ′ 2 = OM 2 ⇔ (cos x ) + ( sin x) = 12 = 1
-8-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
•
Simplification des notations :
n
n
n
Au lieu d’écrire ( sin x) , (cos x) , (tan x ) , on peut écrire : sin n x, cos n x, tan n x .
•
Avec ces notations simplifiées la relation fondamentale s’écrit :
∀x ∈ ℝ cos 2 x + sin 2 x = 1
•
π

Pour x ∈ ℝ \  + kπ on a :
 2

o 1 + tan 2 x = 1 +
o 1 + tan 2 x =
o
sin 2 x cos 2 x + sin 2 x
1
=
=
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
1
1
⇔ cos 2 x =
2
cos x
1 + tan 2 x
sin 2 x = 1− co s 2 x = 1−
1
1 + tan 2 x −1
tan 2 x
=
=
1 + tan 2 x
1 + tan 2 x
1 + tan 2 x
π

1
D’ où : ∀x ∈ ℝ \  + kπ cos 2 x =
 2

1 + tan 2 x
sin 2 x =
tan 2 x
1
1 + tan 2 x =
2
1 + tan x
cos 2 x
Exercice 5 - 7
b) sin ( π − x) , co s ( π − x) , ta n ( π − x)
•
Soient x ∈ ℝ , M (cos x,sin x) et M ′ (cos ( π − x) ,sin ( π − x )) , alors M et M ′ sont
symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses
opposées, en d’autres termes :
∀x ∈ ℝ sin ( π − x ) = sin x
•
Pour tout x ∈ Dtan on a : tan ( π − x) =
co s ( π − x) = − cos x
sin ( π − x )
sin x
=
= − tan x
cos ( π − x) − cos x
-9-
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
co s ( π − x) −co s x
=
= −co t x
sin ( π − x )
sin x
•
Pour tout x ∈ Dcot on a : co t ( π − x ) =
•
Application : ces formules permettent de passer du 2e au 1er quadrant, p.ex. :
sin

2π
π
π
3
= sin  π −  = sin =


3
3
3
2
co s

3π
π
π
2
= co s  π −  = −co s = −


4
4
4
2
ta n

5π
π
π
3
= ta n  π −  = −ta n = −


6
6
6
3
c) sin ( π + x) , co s ( π + x ) , ta n ( π + x)
•
Soient x ∈ ℝ , M (cos x,sin x) et M ' (cos ( π + x ) ,sin ( π + x )) , alors M et M ′ sont
symétriques par rapport à l’origine O donc ils ont des ordonnées et des abscisses
opposées, en d’autres termes :
∀x ∈ ℝ sin ( π + x ) = − sin x
co s ( π + x ) = − cos x
•
Pour tout x ∈ Dtan on a : tan ( π + x) =
sin ( π + x ) − sin x
=
= tan x
cos ( π + x) − cos x
•
Pour tout x ∈ Dcot on a : co t ( π + x) =
co s ( π + x ) −co s x
=
= co t x
sin ( π + x ) − sin x
- 10 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
•
Ces deux dernières formules montrent que les fonctions tan et cot sont périodiques de
période π .
•
Application : ces formules permettent de passer du 3e au 1er quadrant, p.ex. :
sin

4π
π
π
3
= sin  π +  = − sin = −



3
3
3
2
co s

5π
π
π
2
= co s  π +  = −co s = −


4
4
4
2
ta n

7π
π
π
3
= ta n  π +  = ta n =


6
6
6
3
d) sin (−x ) , co s (−x) , ta n (−x )
•
Soient x ∈ ℝ , M (cos x,sin x) et M ' (cos (−x ) ,sin (−x )) , alors M et M ′ sont symétriques
par rapport à l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées, en
d’autres termes :
∀x ∈ ℝ sin (−x) = − sin x
co s (−x) = cos x
•
Pour tout x ∈ Dtan on a : tan (−x ) =
sin (−x) − sin x
=
= − tan x
cos (−x )
cos x
•
Pour tout x ∈ Dcot on a : co t (−x) =
co s (−x ) co s x
=
= −co t x
sin (−x ) − sin x
•
Ces formules montrent que la fonction cos est paire alors que les fonctions sin, tan et cot
sont impaires.
- 11 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
•
Application : ces formules permettent de passer du 4e au 1er quadrant, p.ex. :
 π
 π
π
3
π
2
π
π
3
sin −  = − sin = −
, co s −  = co s =
, ta n− = −ta n = −

 3 


6
6
3
3
2
4
4
2
Exercice 8
π

π

π

e) sin  ± x , co s  ± x , ta n  ± x
 2



2

2

•
 π

π

Soient x ∈ ℝ , M (cos x,sin x) , M ′ (cos x,0) , et les images N cos  + x ,sin  + x et
 2
  2



π

N ′ 0 ,sin  + x de M et M ′ par la rotation de centre O et d’angle 90° . Comme une
 2


rotation conserve les distances, on a :
π

π

OM ′ = ON ′ ⇔ cos x = sin  + x et MM ′ = NN ′ ⇔ sin x = co s  + x .
 2


2

π

Or on voit que cos x et sin  + x ont toujours même signe alors que sin x et
 2

π

co s  + x ont toujours des signes contraires, d’où :
 2

π

π

∀x ∈ ℝ sin  + x = cos x co s  + x = − sin x
 2
 2


•
Pour tout x ∈ Dcot
π

on a : tan  + x =
 2

π

sin  + x
 2

co s x
=
= −co t x .
π
 − sin x
cos  + x
 2

- 12 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
π

co s  + x

π

2
 − sin x
= − tan x .
on a : co t  + x =
=
 2



π
co s x
sin  + x
 2

•
Pour tout x ∈ Dtan
•
π

π

Pour tout x ∈ ℝ on a : sin  − x = sin  + (−x ) = cos (−x ) = cos x .
 2


2

•
π

π

Pour tout x ∈ ℝ on a : co s  − x = co s  + (−x ) = − sin (−x) = sin x .
 2


2

•
π

π

Pour tout x ∈ Dcot on a : tan  − x = tan  + (−x ) = −co t (−x ) = cot x .
 2

 2

•
π

π

Pour tout x ∈ Dtan on a : co t  − x = co t  + (−x) = − tan (−x ) = tan x .
 2


2

•
Application : ces formules permettent de transformer sinus en cosinus et réciproquement !
Exercice 9
4) Courbes représentatives des fonctions trigonométriques.
a) Fonction sinus
Soit f ( x) = sin x , alors :
f (−x) = sin (−x ) = − sin x = − f ( x ) donc f est impaire et Gsin est
D f = ℝ ; ∀x ∈ ℝ
symétrique par rapport à O ; f est périodique de période 2π donc la courbe de sin sur
[0; 2π ] est répétée indéfiniment « vers la gauche » et « vers la droite ».
Calculons quelques points de la courbe de sin :
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
3π
4
π
7π
6
3π
2
7π
4
2π
sin x
0
0,5
0,7
0,9
1
0,7
0
− 0 ,5
−1
−0 , 7
0
b) Fonction cosinus
Soit g ( x ) = cos x , alors :
Dg = ℝ ; ∀x ∈ ℝ
g (−x) = cos (−x ) = co s x = g ( x ) donc g est paire et Gco s est symétrique
- 13 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
par rapport à (Oy) ; g est périodique de période 2 π donc la courbe de cos sur [ 0; 2 π ] est
répétée indéfiniment « vers la gauche » et « vers la droite ».
Autre façon de voir : g( x ) = cos x = sin ( x + π2 ) = f ( x + 2π ) donc on obtient Gco s par
− π 
translation de vecteur u  2  de Gsin .
 0 
c) Fonction tangente
Soit h ( x ) = ta n x , alors :
π

Dtan = ℝ \  + kπ / k ∈ ℤ et h est périodique de période π donc il suffit de connaître
 2

Gta n sur un intervalle de longueur π , par exemple sur ]− π2 ; 2π [
Calculons quelques points de la courbe de tan :
x
0
π
6
π
4
π
3
tan
0
0,6
1
1,7
π
2
Exercice 10 - 11
- 14 -
− π6
− π4
− π3
−0 , 6
−1
−1,7
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
EXERCICES
1)
2)
Convertissez en degrés :
a)
2π
rd
3
b)
7π
rd
6
c)
5π
rd
3
d)
3π
rd
4
e)
13π
rd
12
f)
14π
9
Convertissez en radians :
a) 225°
b) 315°
c) −240°
d) 210°
e) 135°
f) −300°
g) 20°
h) −40°
3)
Donnez la mesure principale de :
a) 320°
b) 550°
c) 4271°
d) −80071°
e)
97 π
2
f)
87 π
rd
4
g) −
905π
rd
7
- 15 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
4)
Résolvez les équations suivantes sur [−π , π ] :
a) cos ( π + 2 x ) = 0

π
b) sin 3 x +  = 0

5

π
c) tan 2 x +  = 0

3
 5 x − π 
d) cos 
=0
 8 

π  5x
e) cos 2 x −  sin = 0

3
3
5)
Cet exercice est à faire sans calculatrice !
a) Sachant que cos x =
 π
1
et x ∈ 0 ,  , calculez sin x et tan x .
 2 
3
π 
b) Sachant que cos x = −0 ,3 et x ∈  , π  , calculez sin x et tan x .
 2 
c) Sachant que s inx =
 π 3π 
4
et x ∈  ,  , calculez co s x et tan x .
 2 2 
5
 3π 
d) Sachant que s inx = −0 , 2 et x ∈  π ,  , calculez co s x et tan x .
 2 
 3π

e) Sachant que tan x = − 8 et x ∈  , 2 π  , calculez co s x et sin x .
 2

 5π 
f) Sachant que tanx = 2 6 et x ∈  2 π ,  , calculez co s x et sin x .

2 
 π 
g) Sachant que cotx = −4 3 et x ∈ − ,0 , calculez co s x et sin x .
 2 
6)
Vérifiez les identités suivantes :
a) cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x − sin 2 x
1
2
b) (1 + cos x)(1 + sin x) = (1 + cos x + sin x )
2
c) sin x (1− cot anx ) = cos x (tan x −1)
2

1 
1 + sin x
d) tan x +
=



cos x 
1− sin x
- 16 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
e) sin a (1 + tan a ) + cos a (1 + co t a ) =
f) tan 2 a + cot 2 a + 2 =
g)
1
1
+
cos a sin a
1
sin a cos 2 a
2
1 + sin a
cos a
=
cos a
1− sin a
h) sin 4 x + co s 4 x = 1− 2 sin 2 x cos 2 x
7)
Simplifiez les expressions suivantes :
a) sin 2 x (1 + cot an 2 x)
b) sin 2 x (1 + cot an 2 x) − cos 2 x (1 + tan 2 x)
c) sin 6 a + cos 6 a + 3 sin 2 a ⋅ cos 2 a −1
d) 3( sin 4 x + cos 4 x) − 2 ( sin 6 x + cos 6 x)
2
e) sin8 a − 2 (1− sin 2 a cos 2 a) + cos8 a
f) sin 6 x − 2 sin 4 x + cos 6 x + sin 2 x − cos 4 x
8)
Calculez sans calculatrice :
a) cos
19π
6
b) tan 120°
 9π 
c) sin − 
 4 
 89 π 
d) sin −
 3 
 53π 
e) cos −
 6 
f) cot
37π
4
g) sin 330°
h) sin
53π
4
i)
47 π
4
tan
j) tan
8π
3
- 17 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
k) sin
l)
31π
78π
+ cos
6
2
cos 855°
 13π 
17 π
m) sin −
+ cos
 6 
3
n) cos 135°− sin 210°
o) tan 300°− cot an 225°
p)
q)
cos (−20°)
cos 160°
sin 100°
cos (−10°)
3π
5
π
sin
10
cos
r)
5π
7
s)
3π
cot an
14
tan
9)
Simplifiez les expressions suivantes :
π

sin  − α
 2

a)
sin (−α )
π

cos  + α
 2

b)
π

cos  − α
 2

π

sin  − α cos ( π + α )
 2

c)
cos ( π − α ) co t ( π + α )
π

co s  + α sin ( π + α )
 2

d)
tan (α − π) cos (−α )

π
sin α − 

2
e)
 3π

tan  − α
 2

- 18 -
3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
f)
 5π

tan  + β
 4
π


cos  + β
 4
 3π


si n  − β
 4

g)
sin (90°− a ) tan (45° + a )
cos (360°− a ) tan (225° + a )
h)
sin (−a ) sin (90° + a ) cos (−a )
cos (180° + a ) cos (270°− a )
i)
sin (180°− a ) sin (90° + a )
+
cos (90°− a ) sin (270° + a )
j)
ta n (270° + a ) sin (180°− a )
−
tan (180°− a ) sin (270°− a )
 3π

sin (a − π ) co t  − a cos (2π − a )
 2

k)
 3π
 
π
tan (3π + a ) t an  + a cos a − 
 2

 
2
l)
sin (270°− α) cos (α − 90°) cot (α − 360°)
tan (540° + α) co t (−α) cos (180° + α)
10) Montrez comment on peut obtenir le graphe des fonctions suivantes par transformations
successives de graphes de fonctions élémentaires :
a)

4π 
f ( x) = sin 2 x + 

3
 x
b) f ( x) = 5 − sin − 
 2 
c)
π

f ( x) = 3 − cos  − x
 3


π
d) f ( x) = 3 − sin  x + 

4
11) Analysez la périodicité des fonctions suivantes :
a)

π
f ( x) = sin 2 x + 

6

π
b) f ( x) = co s 5 x − 

3
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3e B – Chapitre IV – Trigonométrie
c)

π
f ( x) = ta n 3 x + 

4
d) f ( x) = sin 5 x + cos 3 x
cos (2 x −1)
sin 4 x
e)
f ( x) =
f)
x
x
f ( x) = cos − sin
4
6
g)
f ( x) = 7 − tan
x
5

π
3 x + 4π
h) f ( x) = tan 3x +  − sin

5
6
- 20 -