1èreS - TP02: GEOGEBRA - CORRIGE Equation cartésienne de

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1èreS - TP02: GEOGEBRA - CORRIGE
Equation cartésienne de droite et généralisation
2. Constructions et conjectures
Dans GeoGebra, afficher la fenêtre d'algèbre: dans le menu "affichage", cocher "fenêtre algèbre".
A l'aide A l'aide du bouton
, créer trois curseurs a, b et c.
Dans le champ de saisie en bas de l'écran, entrer l'expression
a * x + b * y + c = 0 , tracer la courbe, puis grâce à un
"clic droit", changer la couleur de cette courbe pour du rouge.
En manipulant les curseurs a, b et c, conjecturer la nature du lieu des points M dont les coordonnées
la relation
x et y vérifient
ax + by + c = 0 . Rédigez ci-dessous votre conjecture:
L'ensemble obtenu est une droite du plan.
Déterminez les valeurs de a, b et c pour lesquelles on obtient des cas particuliers (verticalité, horizontalité, ensemble
vide, point, plan tout entier...)
Si a=0 , b=0 et c=0, l'équation devient 0 = 0 . Elle est donc vérifiée par tous les points du plan, et l'ensemble de points
obtenus est la plan tout entier (mais GeoGebra ne l'affiche pas).
Si a=0 et b=0, mais que c≠0, l'équation devient c = 0 . Elle n'est vérifiée par aucun point du plan, et l'ensemble
obtenu est l'ensemble vide.
c
y = − , l'ensemble obtenu est une droite horizontale.
b
c
Si a≠0 et b=0 , l'équation devient x = − , l'ensemble obtenu est une droite verticale.
a
Si a=0 et b≠0 , l'équation devient
3. Pour aller plus loin...
a* x ^ 2 + b* y + c = 0,
et en vert celle correspondant à l'équation a * x ^ 2 + b * y ^ 2 + c = 0 .
Tracer en bleu la courbe correspondant à l'équation
En manipulant les curseurs a, b et c, essayez de reconnaître ces courbes.
Courbe d'équation
ax 2 + by + c = 0 : l'ensemble obtenu semble être une parabole.
Courbe d'équation
ax 2 + by 2 + c = 0 : l'ensemble obtenu semble être une hyperbole ou une ellipse selon les valeurs
prises par les différents curseurs.
Remarque: une conique est une courbe obtenue lorsque l'on coupe un cône par un plan: parabole, hyperbole, ellipse
(et cercle).
4. Quelques précisions
a) Pour quelles valeurs de a, b, c l'équation
ax + by + c = 0 décrit-elle l'ensemble vide? Le plan tout entier?
Pour a = 0 , b = 0 et c ≠ 0 , l'ensemble décrit est l'ensemble vide.
Pour a = 0 , b = 0 et c = 0 , l'ensemble décrit est le plan tout entier.
b) Démontrez par le calcul que
Pour a ≠ 0 et b ≠ 0 ,on a:
ax 2 + by + c = 0 , avec a ≠ 0 et b ≠ 0 , décrit une parabole.
a
c
ax 2 + by + c = 0 ⇔ by = −ax 2 − c ⇔ y = − x 2 − ; c'est un trinôme du second
b
b
degré, dont la courbe représentative est bien une parabole.
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