1èreS - TP02: GEOGEBRA - CORRIGE Equation cartésienne de

1èreS - TP02: GEOGEBRA - CORRIGE
Equation cartésienne de droite et généralisation
2. Constructions et conjectures
Dans GeoGebra, afficher la fenêtre d'algèbre: dans le menu "affichage", cocher "fenêtre algèbre".
A l'aide A l'aide du bouton , créer trois curseurs a, b et c.
Dans le champ de saisie en bas de l'écran, entrer l'expression
* * 0
a x b y c
+ + =
, tracer la courbe, puis grâce à un
"clic droit", changer la couleur de cette courbe pour du rouge.
En manipulant les curseurs a, b et c, conjecturer la nature du lieu des points M dont les coordonnées
x
et
y
vérifient
la relation
0
ax by c
+ + =
. Rédigez ci-dessous votre conjecture:
L'ensemble obtenu est une droite du plan.
Déterminez les valeurs de a, b et c pour lesquelles on obtient des cas particuliers (verticalité, horizontalité, ensemble
vide, point, plan tout entier...)
Si a=0 , b=0 et c=0, l'équation devient
0 0
=
. Elle est donc vérifiée par tous les points du plan, et l'ensemble de points
obtenus est la plan tout entier (mais GeoGebra ne l'affiche pas).
Si a=0 et b=0, mais que c ≠ 0, l'équation devient
0
c
=
. Elle n'est vérifiée par aucun point du plan, et l'ensemble
obtenu est l'ensemble vide.
Si a=0 et b ≠ 0 , l'équation devient
c
y
b
= −
, l'ensemble obtenu est une droite horizontale.
Si a ≠ 0 et b = 0 , l'équation devient
c
x
a
= −
, l'ensemble obtenu est une droite verticale.
3. Pour aller plus loin...
Tracer en bleu la courbe correspondant à l'équation
* ^ 2 * 0
a x b y c
+ + =
,
et en vert celle correspondant à l'équation
* ^ 2 * ^ 2 0
a x b y c
+ + =
.
En manipulant les curseurs a, b et c, essayez de reconnaître ces courbes.

Courbe d'équation
2
0
ax by c
+ + =
: l'ensemble obtenu semble être une parabole.
Courbe d'équation
2 2
0
ax by c
+ + =
: l'ensemble obtenu semble être une hyperbole ou une ellipse selon les valeurs
prises par les différents curseurs.
Remarque: une conique est une courbe obtenue lorsque l'on coupe un cône par un plan: parabole, hyperbole, ellipse
(et cercle).
4. Quelques précisions
a) Pour quelles valeurs de a, b, c l'équation
0
ax by c
+ + =
décrit-elle l'ensemble vide? Le plan tout entier?
Pour
0
a
=
,
0
b
=
et
0
c
≠
, l'ensemble décrit est l'ensemble vide.
Pour
0
a
=
,
0
b
=
et
0
c
=
, l'ensemble décrit est le plan tout entier.
b) Démontrez par le calcul que
2
0
ax by c
+ + =
, avec
0
a
≠
et
0
b
≠
, décrit une parabole.
Pour
0
a
≠
et
0
b
≠
,on a:
2 2 2
0
a c
ax by c by ax c y x
b b
+ + = ⇔ = − − ⇔ = − −
; c'est un trinôme du second
degré, dont la courbe représentative est bien une parabole.