Géométrie analytique dans le plan

Géométrie analytique dans le plan
Courbes planes usuelles
La droite
La forme générale de l’équation d’une droite est
ax + by = c.
Lorsque b = 0, elle est verticale et lorsque a = 0, elle est horizontale. Dans
le cas générique où b 6= 0, on l’écrit plutôt sous la forme
y = mx + d.
Le nombre m = −a/b est la pente et le nombre d = c/b est l’ordonnée à
l’origine (la valeur de l’ordonnée y lorsque l’abscisse x vaut 0). Par deux
points donnés (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) passe une et une seule droite. Lorsque
x1 = x2 , elle est verticale, d’équation
x = x1
et lorsque x1 6= x2 , elle admet pour équation
y =
y2 − y1
(x − x1 ) + y1 .
x2 − x1
Exemple
La droite passant par les points (1, 2) et (3, 5) a pour équation
y =
5−2
3
1
(x − 1) + 2 = x + .
3−1
2
2
1
8
6
4
3
2
y =
1
x+
2
-1
1
2
2
3
4
5
Le cercle
L’équation du cercle de centre (a, b) et de rayon r est
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
Il peut être paramétré sous la forme :
x = a + r cos t,
y = b + r sin t,
0 ≤ t < 2π.
Exemple
Le cercle de centre (1, 2) et de rayon 3 admet pour équation
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 9,
c’est-à-dire
x2 + y 2 − 2x − 4y − 4 = 0.
2
5
4
3
2
1
-2
-1
x 2+ y 2- 2 x - 4 y - 4 = 0
1
2
3
4
-1
L’ellipse
L’ellipse centrée à l’origine et dont les axes coïncident avec les axes de
coordonnées a pour équation
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Si a ≥ b > 0, 2a est la longueur du grand axe, 2b est celle du petit et le
nombre
b2
e = 1− 2
a
est l’excentricité de l’ellipse, qui mesure jusqu’à quel point elle diffère d’un
cercle (pour lequel l’excentricité est nulle) ; par exemple, l’orbite de la Terre
autour du Soleil est une ellipse d’excentricité égale à 0,08 environ. L’ellipse
peut être paramétrée sous la forme
x = a cos t
,
y = b sin t
,
0 ≤ t < 2π.
Exemple
L’ellipse suivante a une excentricité de 0, 4 environ.
3
1.0
0.5
-1.0
x2 + y2 = 1
-0.5
0.5
1.0
y2
2
x +
=1
-0.5
0.81
-1.0
L’hyperbole
L’hyperbole centrée à l’origine et admettant l’axe des abscisses comme
axe de symétrie a pour équation
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
Les droites
b
x
a
sont ses asymptotes. L’hyperbole peut être paramétrée au moyen des fonctions hyperboliques :
y=±
cosh t =
et + e−t
,
2
sinh t =
et − e−t
.
2
On a en effet
x = a cosh t,
y = b sinh t,
Exemple
4
−∞ ≤ t < +∞.
Les asymptotes de l’hyperboles suivantes sont les droites d’équations
y = 0, 9 x et y = − 0, 9 x.
3
y = ± 0.9 x
2
y2
x2 -
1
=1
0.81
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
La parabole
La parabole d’axe vertical est le graphe du polynôme quadratique
y = ax2
et celle d’axe horizontal a pour équation
x = ay 2 .
Exemple
2
y = 2x 2
-1.0
1
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
1
-1
y2
x=
3
-2
Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
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