Géométrie analytique dans le plan

Géométrie analytique dans le plan
Courbes planes usuelles
La droite
La forme générale de l’équation d’une droite est
ax +by =c.
Lorsque b= 0, elle est verticale et lorsque a= 0, elle est horizontale. Dans
le cas générique où b6= 0, on l’écrit plutôt sous la forme
y=mx +d.
Le nombre m=−a/b est la pente et le nombre d=c/b est l’ordonnée à
l’origine (la valeur de l’ordonnée ylorsque l’abscisse xvaut 0). Par deux
points donnés (x1, y1)et (x2, y2)passe une et une seule droite. Lorsque
x1=x2, elle est verticale, d’équation
x=x1
et lorsque x16=x2, elle admet pour équation
y=y2−y1
x2−x1
(x−x1) + y1.
Exemple
La droite passant par les points (1,2) et (3,5) a pour équation
y=5−2
3−1(x−1) + 2 = 3 2x+1 2.
1

y=3
2
x+1
2
-1
1
2
3
4
5
2
4
6
8
Le cercle
L’équation du cercle de centre (a, b)et de rayon rest
(x−a)2+ (y−b)2=r2.
Il peut être paramétré sous la forme :
x=a+rcos t, y =b+rsin t, 0≤t < 2π.
Exemple
Le cercle de centre (1,2) et de rayon 3admet pour équation
(x−1)2+ (y−2)2= 9,
c’est-à-dire
x2+y2−2x−4y−4 = 0.
2

x2+y2-2 x -4 y -4=0
-2
-1
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
5
L’ellipse
L’ellipse centrée à l’origine et dont les axes coïncident avec les axes de
coordonnées a pour équation
x2
a2+y2 b2= 1.
Si a≥b > 0,2aest la longueur du grand axe, 2best celle du petit et le
nombre
e= 1 −b2
a2
est l’excentricité de l’ellipse, qui mesure jusqu’à quel point elle diffère d’un
cercle (pour lequel l’excentricité est nulle) ; par exemple, l’orbite de la Terre
autour du Soleil est une ellipse d’excentricité égale à 0,08 environ. L’ellipse
peut être paramétrée sous la forme
x=acos t , y =bsin t , 0≤t < 2π.
Exemple
L’ellipse suivante a une excentricité de 0,4environ.
3

x2+y2=1
x2+y2
0.81
=1
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
L’hyperbole
L’hyperbole centrée à l’origine et admettant l’axe des abscisses comme
axe de symétrie a pour équation
x2
a2−y2 b2= 1.
Les droites
y=±b
ax
sont ses asymptotes. L’hyperbole peut être paramétrée au moyen des fonc-
tions hyperboliques :
cosh t=et+e−t
2,sinh t=et−e−t 2.
On a en effet
x=acosh t, y =bsinh t, −∞ ≤ t < +∞.
Exemple
4

Les asymptotes de l’hyperboles suivantes sont les droites d’équations
y= 0,9xet y=−0,9x.
x2-y2
0.81
=1
y= ± 0.9 x
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
La parabole
La parabole d’axe vertical est le graphe du polynôme quadratique
y=ax2
et celle d’axe horizontal a pour équation
x=ay2.
Exemple
y=2x2
x=1
3
y2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
-2
-1
1
2
Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
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