fonctions sinus et cosinus

FONCTIONS SINUS ET COSINUS
I. Le cercle trigonométrique (rappel) :
Définition :
On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1, de centre l'origine du repère et muni d’un sens
appelé « sens direct » (le sens contraire des aiguilles d’une montre).
J
M
+
O
I’
I
J’
A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante :
–
si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct.
–
si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.
La longueur de l’arc est alors |x|.
Exemple :
La longueur totale du cercle est : 2 ×  × R = 2 ×  × 1 = 2.
1

Le point J est repéré par le nombre : 4 ×2 = 2 (un quart de tour dans le sens direct)

Le point J’ est repéré par le nombre : – 2 =
de tour dans le sens direct)
3
2
(un quart de tour dans le sens indirect ou trois quarts
Remarque :
π 1
Tout point peut être repéré par une infinité de nombres. Par exemple A est associé aux nombres 4 (
8
9π
1
17 π
1
7π 7
de tour),
(un tour +
de tour),
(deux tours +
de tour), −
(
de tour dans le sens
4
8
4
8
4
8
indirect).
Exemples :
Angles
….…………………….
Longueur de l’arc
1

de tour ……………………
IOA = 45° =
8

1
×
2
=
.
4
8
1

de tour …………………….
IOB = 60° =
6

1
×
2
=
.
3
6
1

de tour ……………………
IOC = 120° =
3
1
2
× 2 =
.
3
3
1

de tour (sens indirect) ….
IOD = 30° =
12

IOI ' = 180° = un demi-tour ………………
J
C
+
B
A
120°
O
60°
45°
I’
I
30°

1
– 12 × 2 = – 6 .
D
1
× 2 = .
2
J’
Remarque :
Les longueurs d’arc et les mesures d’angles sont proportionnelles.
II. Le radian, nouvelle unité de mesure d'angle :
Définition :
Le radian est une unité de mesure des angles. On note cette unité rad. La mesure d'un angle en radian est
la longueur de l'arc qu'il intercepte dans le cercle trigonométrique.
Exemple :
Voici un tableau qui fait correspondre quelques valeurs d'angles en degrés avec leurs conversions en
radians.
Angle en degrés
0
Angle en radians
0
30
π
6
45
π
4
60
π
3
90 180
π 
2
Remarque :
y
N
Les mesures d’angles en degrés et en radians
sont proportionnelles.
III. Angles orientés :
v
⃗
J
N'
(⃗
u ;⃗v ) M
1°) Définition :
Définition :
O
Remarque :
Il s'agit de la mesure de l'angle formé par des
u et de ⃗
v ayant la même origine.
représentants de ⃗
Elle est positive si on se déplace de u⃗ à v⃗ dans le
sens direct, négative sans cela.
u
⃗
v
⃗
u et ⃗
v deux vecteurs non nuls. Le
Soient ⃗
couple (⃗u ;⃗v ) est appelé angle orienté.
u
⃗
v
⃗
M'
I
x
u
⃗
Exemple :
u et ⃗
v sont deux vecteurs, ⃗
u et ⃗
v
Sur la figure ci-contre, ⃗
OM et ⃗
ON des représentants respectifs de ⃗
et M et N les points d'intersection respectifs de [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique.
Dans cet exemple, on a (⃗u ;⃗v ) =
5π
19 π
29 π
ou (⃗u ;⃗v ) = –
(on soustrait 2) ou encore (⃗u ;⃗v ) =
12
12
12
(on ajoute 2) ou encore …
Remarques :
–
On peut noter l'angle de différentes façons : (⃗u ;⃗v ) = (⃗
OM ; ⃗
ON ) = (⃗
OM ' ;⃗
ON ' ) .
(⃗u ;⃗v ) désigne aussi bien l'angle que sa mesure.
–
2°) Mesure principale :
Remarque :
Un angle orienté a une infinité de mesures. La différence entre deux mesures d'un même angle est un
multiple de 2. On dit que la mesure de l'angle est définie à 2 près et on note (⃗u ;⃗v ) =  + k × 2 ou
(⃗u ;⃗v ) =  + 2k avec k ∈ ℤ.
Définition :
Parmi toutes les mesures d'un angle, une seule est comprise dans l'intervalle ]−π ;π ] . Cette mesure est
appelée la mesure principale de l'angle.
Exemple :
Dans l'exemple précédent, la mesure principale de (⃗u ;⃗v ) est
La mesure principale de  =
5π
.
12
π
17 π
est − 3 .
3
IV. Cosinus et sinus :
J
1°) Définition :
M
B
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O, I ; J).
O
̂ ou ( ⃗
Soit x une mesure de l'angle IOM
OI ; ⃗
OM) .
I’
A
J’
Dans le triangle rectangle OAM, on a :
De même,
cos x =
OA
OM
sin x =
AM OB
=
OM OM
cos x =
OA
(le cercle a pour rayon 1)
1
sin x =
OB
(le cercle a pour rayon 1)
1
cos x = OA
sin x = OB
donc cos x est l’abscisse de M.
donc sin x est l’ordonnée de M.
Exemple :
Cos 0 = 1 ; cos π = 0 ; sin 0 = 0 ; sin π = 1.
2
2
( )
( )
Conclusion :
Si M est le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).
I
2°) Propriétés et valeurs remarquables :
Propriété :
-
Pour tout x, on a –1  cos x  1 et –1  sin x  1.
-
Dans le triangle OAM rectangle en A on a OM = 1, OA = cos x et AM = sin x, alors d’après le
théorème de Pythagore OA² + AM² = OM² et donc : cos²x + sin²x = 1 (on rappelle que cos²x est une
notation qui signifie (cos x)²).
Quelques valeurs remarquables :
Angle x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
π
4
π
3
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
3
2
π
2
0
1
3°) Angles associés :
Propriété :
Soit x un réel
cos (–x) = cos (x)
sin (–x) = –sin (x)
cos ( – x) = –cos (x)
sin ( – x) = sin (x)
cos ( + x) = –cos (x)
sin ( + x) = –sin (x)
sin π −x = cos (x)
2
cos π − x = sin (x)
2
( )
cos ( π + x ) = –sin (x)
2
/2 + x
x
x
O
+x
Par symétries illustrées sur la figure ci-contre.
/2 – x
–x
( )
sin ( π + x ) = cos (x)
2
Preuve :
J
I
–x
4°) Équations trigonométriques :
Propriété :
 étant un réel fixé :
 + 2k
{
x=α+ 2 k π
kℤ
ou
x=−α+ 2 k π ;
cos x = cos  ⇔
–+2k
O
{
x=β+ 2 k π
sin x = sin  ⇔ ou
k∈ℤ
x=π−β+ 2 k π ;
+2k
– + 2k
O
Exemple :
x=π +2 k π
6
π
a) Résolvons cos x = cos
. D'après la propriété précédente ou
.
6
π
x=− + 2 k π
6
{
( )
b) Résolvons sin x =
√3 . sin x = √3 ⇔ sin x = sin π .
(3)
2
2
x=π +2 k π
x=π +2 k π
3
3
D'après la propriété précédente ou
⇔ ou
.
π
2
π
x=π− +2 k π
x=
+2 k π
3
3
{
{
III. Fonctions sinus et cosinus :
1°) Fonction sinus :
On commence par tracer la partie rouge de la courbe ci-dessous.
Propriété :
Pour tout réel x, sin (–x) = –sin (x). On dit que la fonction sinus est impaire.
Conséquence :
La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Remarque :
Ceci permet de tracer la partie bleue de la courbe ci-dessous.
Propriété :
Pour tout réel x, sin (x + 2) = sin x. On dit que la fonction sinus est périodique de période 2.
Conséquence :
Dans le repère (O; ⃗i , ⃗j) la courbe de la fonction sinus est invariante par toute translation de vecteur
2 k π ⃗i ; k  ℤ.
Remarque :
Ceci permet de tracer le reste de la courbe ci-dessous (en violet).
Vocabulaire :
Cette courbe s’appelle une sinusoïde.
2°) Fonction cosinus :
On commence par tracer la partie rouge de la courbe ci-dessous.
Propriété :
Pour tout réel x, cos (–x) = cos (x). On dit que la fonction cosinus est paire.
Conséquence :
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Remarque :
Ceci permet de tracer la partie bleue de la courbe ci-dessous.
Propriété :
Pour tout réel x, cos (x + 2) = cos x. On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2.
Conséquence :
Dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ) la courbe de la fonction cosinus est invariante par toute translation de vecteur
2 k π ⃗i ; k  ℤ.
Remarque :
Ceci permet de tracer le reste de la courbe ci-dessous (en violet).
Vocabulaire :
Cette courbe s’appelle aussi une sinusoïde.